Lösung.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) & = &... ...mm} \\ & = & {\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1}}\; . \\ \end{array}$}$
Nun ist wegen $ \mbox{$1\leq\sqrt{1+1/n}\leq 1+1/n$}$ und $ \mbox{$1\to 1$}$ sowie $ \mbox{$1+1/n\to 1$}$ mit dem Vergleichskriterium $ \mbox{$\sqrt{1+1/n}\to 1$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$.

Also folgt nach den Grenzwertregeln $ \mbox{$\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \to 1/2$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$.