- (i)
- Wir zeigen zunächst
. Sei
. Dann ist
, also
.
(Hierfür war die Injektivität von
nicht erforderlich.)
Wir zeigen nun
. Sei
, d.h.
. Also gibt es ein
mit
. Nun ist aber
injektiv, und wir können
folgern. Insgesamt ist also
.
- (ii)
- Wir zeigen zunächst, daß
. Sei
, d.h. es gibt ein
mit
. Es ist nun
, und somit
. (Hierfür war die Surjektivität von
nicht erforderlich.)
Wir zeigen nun
. Sei
. Da
surjektiv ist, gibt es ein
mit
.
Insbesondere ist
, und somit
.
- (iii)
- Sei
und
, so daß
weder injektiv noch surjektiv ist.
Es ist
, und
. Ferner ist
.