Lösung.

(i)
Mit $ \mbox{$y_i = 1$}$ für $ \mbox{$1\leq i\leq n$}$ wird mit Cauchy-Schwarz
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\sum_{i = 1}^n x_i\cdot 1\right... ...ight)\vspace*{2mm} \\ & = & n\cdot\sum_{i = 1}^n x_i^2\; . \\ \end{array}$}$

(ii)
Mit $ \mbox{$y_i = i$}$ für $ \mbox{$1\leq i\leq n$}$, mit $ \mbox{$p = 3$}$ und $ \mbox{$q = 3/2$}$ wird mit Hölder
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{i = 1}^n i x_i \;\leq\; \left(\sum_{i = 1}^n i^3\right)^{1/3}\left(\sum_{i = 1}^n x_i^{3/2}\right)^{2/3}\; , $}$
woraus wir
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\sum_{i = 1}^n i x_i\right)^{3/... ...& \frac{n(n+1)}{2}\cdot\left(\sum_{i = 1}^n x_i^{3/2}\right) \\ \end{array}$}$
ersehen.