Aufgabe.

Seien $ \mbox{$x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}_{>0}$}$. Zeige die folgenden Ungleichungen.

(i)
$ \mbox{$\left(\sum_{i = 1}^n x_i\right)^2 \;\leq\; n\cdot\sum_{i = 1}^n x_i^2\; .$}$
(ii)
$ \mbox{$\left(\sum_{i = 1}^n ix_i\right)^{3/2} \;\leq\; \frac{n(n+1)}{2}\cdot\sum_{i = 1}^n x_i^{3/2}\; .$}$