Lösung.

Aus der geometrisch-arithmetischen Ungleichung mit $ \mbox{$x_i:=\frac{1}{i}$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\frac{1}{1\cdot 2\cdots n}\righ... ... \; n! & \geq & n^n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)^{\!-n}\ . \end{array}$}$

Aus der geometrisch-arithmetischen Ungleichung mit $ \mbox{$x_i:=i$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle n! \; \leq \; \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^{\!... ...dot\frac{n(n+1)}{2}\right)^{\!n} \; = \; \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\!n}\ . $}$