Lösung.

Für $ \mbox{$n=0$}$ gilt die Aussage wegen $ \mbox{$0=0$}$.

Für $ \mbox{$n\geq 1$}$ wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sum_{k=0}^n k{n\choose k}z^k(1-z)^{n... ...-k}\vspace{2mm}\\ & = & nz(z+(1-z))^{n-1}\\ & = & nz\; . \\ \end{array}$}$