Lösung.

Wir behaupten $ \mbox{$\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)^2 = \frac{4}{3}n^3 - \frac{1}{3}n$}$.

Beweis durch Induktion.

Induktionsanfang. Für $ \mbox{$n = 0$}$ gilt

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{-1} (2k+1)^2 = 0 = \frac{4}{3}0^3 - \frac{1}{3}0\; . $}$

Induktionsschritt. Wir nehmen an, die Formel stimme für $ \mbox{$n$}$. Wir müssen zeigen, daß sie auch für $ \mbox{$n+1$}$ gilt. Wir berechnen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sum_{k=0}^n (2k+1)^2 & = & \left(\su... ...ce*{2mm}\\ & = & \frac{4}{3}(n+1)^3 - \frac{1}{3}(n+1)\; . \\ \end{array}$}$

Korollar: $ \mbox{$n^3 - n$}$ ist stets durch $ \mbox{$3$}$ teilbar.