Lösung.

Zunächst ist stets

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcl} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} & < & \fr... ...\frac{1}{x} - \frac{1}{y} & > & -\frac{1}{y} & \geq & -1\; . \\ \end{array}$}$

Wir behaupten, daß $ \mbox{$\sup M = 1$}$. Dies ist eine obere Schranke, und es bleibt zu zeigen, daß $ \mbox{$s < 1$}$ keine obere Schranke mehr ist. Da $ \mbox{$0 = \frac{1}{1} - \frac{1}{1}\in M$}$, dürfen wir $ \mbox{$s\geq 0$}$ annehmen. Für $ \mbox{$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > s$}$ wählen wir $ \mbox{$x = 2/(1+s)$}$ (ist $ \mbox{$\geq 1\;\;$}$!) und $ \mbox{$y = 4/(1-s)$}$ (ist ebenfalls $ \mbox{$\geq 1\;\;$}$!) und erhalten

$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \; =\; \frac{s+1}{2} - \frac{1-s}{4} \; =\; \frac{3s+1}{4} \; >\; s\; . $}$
Somit ist $ \mbox{$s$}$ keine obere Schranke. Da $ \mbox{$1=\sup M$}$ nicht in $ \mbox{$M$}$ liegt, besitzt $ \mbox{$M$}$ kein Maximum.

Zum Beweis von $ \mbox{$\inf M = -1$}$ merken wir an, daß $ \mbox{$s$}$ genau dann eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist, wenn $ \mbox{$-s$}$ eine untere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist. Aus $ \mbox{$-1\notin M$}$ folgt, daß $ \mbox{$M$}$ kein Minimum besitzt.