Lösung.

Ist $ \mbox{$z = x + \mathrm{i}y$}$ mit $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$, so ist $ \mbox{$z = \bar z$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$x + \mathrm{i}y = x - \mathrm{i}y$}$, d.h. wenn $ \mbox{$y = 0$}$ ist, d.h. $ \mbox{$z = x \in\mathbb{R}$}$.

Ferner ist $ \mbox{$z = -\bar z$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$x + \mathrm{i}y = -x + \mathrm{i}y$}$, d.h. wenn $ \mbox{$x = 0$}$ ist, d.h. $ \mbox{$z =  \mathrm{i}y \in\mathrm{i}\mathbb{R}$}$.

Um den genannten Ausdruck als reell nachzuweisen, berechnen wir sein Konjugiertes. Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline {z^2 + z\bar z + \bar z^2} ... ...z^2 + \bar z z + z^2 \\ & = & z^2 + z\bar z + \bar z^2\; , \\ \end{array}$}$
und somit $ \mbox{$z^2 + z\bar z + \bar z^2 \in\mathbb{R}$}$.

Schließlich werden $ \mbox{$z + \bar z = (x + \mathrm{i}y) + (x - \mathrm{i}y) = 2x = 2{\operatorname{Re}}(z)$}$ und $ \mbox{$z - \bar z = (x + \mathrm{i}y) - (x - \mathrm{i}y) = 2\mathrm{i}y = 2\mathrm{i}\, {\operatorname{Im}}(z)$}$.