Beispiel.

Zeige: Eine komplexe Zahl $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ ist reell genau dann, wenn $ \mbox{$z = \bar z$}$. Eine komplexe Zahl $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ ist in $ \mbox{$\mathrm{i}\mathbb{R}$}$ (d.h. $ \mbox{$z = \mathrm{i}\, {\operatorname{Im}}(z)$}$) genau dann, wenn $ \mbox{$z = -\bar z$}$.

Zeige: Für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ ist $ \mbox{$z^2 + z\bar z + \bar z^2\in\mathbb{R}$}$.

Zeige: Für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ sind $ \mbox{$z + \bar z = 2{\operatorname{Re}}(z)$}$ und $ \mbox{$z - \bar z = 2\mathrm{i}\, {\operatorname{Im}}(z)$}$.