C'est par la logique que l'on prouve
et par l'intuition que l'on découvre.
— Mit der Logik beweisen wir,
mit der Intuition entdecken wir.
Henri Poincaré (1854–1912)

Topologie

Vorlesung im Wintersemester 2010/2011.

Dozent: Michael Eisermann
Assistent: Boris Krinn
Tutoren: Carsten Dietzel, Falk Gerwig, Alexander Thumm, Denis Weiler
Vielen Dank an das gesamte Team!

Auf dieser Seite finden Sie:

Als Aperitif ein paar Anwendungen der Topologie
Einen kurzen Überblick zur Einleitung und Motivation
Ein paar Worte zur Zielsetzung und Literatur
Organisation der Vorlesung und der Übungen
Themen der Vorlesung und Vorlesungstermine

Rückmeldungen? Ich freue mich über Ihre Kommentare und Anregungen! Bitte lassen Sie mich wissen, wie Ihnen die Veranstaltung gefällt, wie Sie mit dem Stoff zurecht kommen, und was sich verbessern lässt. > Vorlesungsumfrage (pdf)

We will not back down / We are not afraid / Not a drop of doubt
Hand in hand across this land / Our voices shouting out: No Topology!
Bon Jovi, No Topology

Aktuelles

Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: aktuelle und vergangene Lehrveranstaltungen

Stundenplan

Vorlesung (Michael Eisermann)	Mi 09:45 - 11:15	Raum V57.02
	Fr 11:30 - 13:00	Raum V57.05
Übung 1 (Falk Gerwig)	Do 09:45 - 11:15	Raum V57.7.530
Übung 2 (Alexander Thumm)	Do 11:30 - 13:00	Raum V57.7.530
Übung 3 (Denis Weiler)	Do 14:00 - 15:30	Raum V57.2.552
Übung 4 (Carsten Dietzel)	Mi 14:00 - 15:30	Raum V57.7.135

Aperitif – ein Vorgeschmack auf die Topologie

Was ist Topologie? Ein bekannter Scherz lautet: In der Topologie unterscheidet man nicht zwischen einer Kaffeetasse und einem Doughnut. — Wenn Sie hierüber schmunzeln können, dann sind Sie hier richtig. Andernfalls lesen Sie besser hier weiter.

Warnung: Dem Leser wird im Folgenden die Bereitschaft abverlangt, altgewohnte Denkmuster aufzugeben und sich unvoreingenommen mit topologischen Fragen zu befassen. Eine Traumatisierung zartbesaiteter Leser kann nicht ausgeschlossen werden!

Für besonders Mutige gibt's auf Klick weitere Erläuterungen.

Wie Luitzen Brouwer seinen Kaffee umrührt

Können Sie eine Tasse Kaffee so gründlich umrühren, dass kein Punkt bleibt wo er war? Natürlich soll dabei der Kaffee in der Tasse bleiben und die Tasse am selben Ort... Also, geht das?

Wie Karol Borsuk und Stanislaw Ulam sich ein Stück Marmorkuchen teilen

Jedes Stück Kuchen kann man durch einen geraden senkrechten Schnitt in zwei gleich große Teile zerlegen.

Was aber, wenn es sich um einen Marmorkuchen handelt, und in beiden Teilen auch noch gleich viel Schokolade sein soll? Geht das auch mit einem geraden senkrechten Schnitt?

Was bedeutet die Dimension?

Bei Kaffee und Kuchen philosophieren vier Mathematiker (ein Algebraiker, ein Differentialgeometer, ein Topologe und ein Mengentheoretiker) über den Begriff der Dimension: Unter welchen Bedingungen sind die Räume R^m und Rⁿ isomorph?

Linear vermöge eines R-Vektorraumisomorphismus?
Differenzierbar vermöge eines Diffeomorphismus?
Topologisch vermöge eines Homöomorphismus?
Als bloße Mengen vermöge einer Bijektion?

Wie lautet jeweils die Antwort? Und wie beweist man sie?

Zunächst zur ersten und einfachsten Frage: Unter welchen Bedingungen sind die R-Vektorräume R^m und Rⁿ isomorph? Richtig, das geht nur für m = n. Dieses wichtige Ergebnis beweist man in der linearen Algebra, und es ist die Grundlage für den omnipräsenten Begriff der Dimension von R-Vektorräumen (oder allgemeiner von Vektorräumen über einem beliebigen Körper). Allgemeiner gilt: Ist eine lineare Abbildung R^m → Rⁿ surjektiv, dann gilt m≥n; ist sie injektiv, dann gilt m≤n. (Dies ist ein Spezialfall des Rangsatzes der linearen Algebra.)

Gehen wir nun von linearen zu differenzierbaren Abbildungen: Unter welcher Bedingung sind R^m und Rⁿ diffeomorph? Richtig, auch das geht nur für m = n. Man beweist dies leicht durch ein lokales (infinitesimales) Argument: Jede in einem Punkt x differenzierbare Abbildung f : R^m → Rⁿ erlaubt ein Differential, also eine lineare Abbildung D_xf : R^m → Rⁿ, und man benutzt das obige Ergebnis der linearen Algebra. Allgemeiner gilt: Ist eine stetig differenzierbare Abbildung R^m → Rⁿ (lokal) surjektiv, dann gilt m≥n; ist sie (lokal) injektiv, dann gilt m≤n. (Dies ist ein Spezialfall des Rangsatzes der Differentialrechnung.)

Gehen wir schließlich von glatten zu stetigen Abbildungen: Unter welcher Bedingung sind R^m und Rⁿ homöomorph? Sie vermuten richtig, auch das geht nur für m = n. Aber wie beweist man eine so allgemeine Aussage? Stetige Abbildungen können sehr irregulär sein! Insbesondere steht uns die so überaus nützliche Differentialrechnung nicht mehr zur Verfügung: Es gibt stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind.

Es kommt noch schlimmer: Es gibt stetige surjektive Abbildungen R^m → Rⁿ nicht nur für m≥n sondern auch für beliebige m<n! Warum sollte es nicht auch stetige Bijektionen R^m → Rⁿ geben? Allgemeiner gefragt: Wenn eine stetige Abbildung R^m → Rⁿ (lokal) injektiv ist, gilt dann m≤n? (Für jeden Hömöomorphismus R^m → Rⁿ gälte dann insbesondere m≤n und n≤m, also m=n wie vermutet.)

Die Lineare Algebra und Differentialrechnung helfen uns hier jedenfalls nicht mehr, da sie sich nicht auf so allgemeine, stetige Funktionen anwenden lassen. Hier brauchen wir raffiniertere Werkzeuge der Topologie. Die topologische Invarianz der Dimension wurde erstmals 1910 von Brouwer bewiesen. Vor 1910 war der Satz ein berühmtes Problem, das als sehr beunruhigend empfunden wurde. Sie ahnen jetzt vielleicht warum.

Für Mengen ohne weitere Struktur sieht die Situation ganz anders aus: Für jedes Paar m,n ≥ 1 existieren Bijektionen R^m → Rⁿ. Anders gesagt, die Räume R^m und Rⁿ sind gleichmächtig, enthalten also gleichviele Elemente. Entgegen unserer Intuition ist für m<n die Menge R^m also keineswegs kleiner als Rⁿ. Es ist allein die zusätzliche (topologische/differenzierbare/lineare) Struktur, die den Unterschied ausmacht!

Der Satz vom gekämmten Igel

Kann man einen Igel wirbelfrei kämmen? (Klarstellung: In der Vorlesung kommen weder Personen noch Tiere zu Schaden!)

Herrscht jederzeit an mindestens einem Ort der Erde Windstille? (Inwiefern hängt die Antwort von der Form der Erde ab?)

Klassifikation der kompakten Flächen

Die Kugeloberfläche hat Geschlecht 0 (kein Loch), hingegen hat die Oberfläche eines Doughnuts Geschlecht 1 (ein Loch). Sind sie deshalb verschieden? Was bedeutet das genau und wie beweist man es?

Ebenso wie der Doughnut hat auch die Oberfläche einer Kaffeetasse Geschlecht 1 (durch den Henkel). Sind beide Oberflächen allein deshalb schon topologisch gleich? Ober brauchen wir noch genauere Informationen?

Die Klassifikation der Flächen ist einer der Höhepunkte der Vorlesung.

Darauf sollte man anstoßen – mit einem edlen Tropfen aus der Kleinschen Flasche!

Es handelt sich bei diesem wundersamen Wesen um eine geschlossene, nicht-orientierbare Fläche. Sie besitzt nur eine einzige Seite, sodass innen und außen gleich sind!

Flächen mit nur einer Seite? Diese verblüffende Eigenschaft kennen Sie sicherlich vom Möbius-Band, das aus Papier leicht herzustellen ist. Wenn Sie genau hinschauen, entdecken Sie das Möbius-Band als Teil der Kleinschen Flasche. Genauer: Die Kleinsche Flasche entsteht aus zwei Möbius-Bändern durch Verkleben längs der Ränder. Die Einbettung eines Möbius-Bandes in eine Fläche ist äquivalent zur Nicht-Orientierbarkeit.

Freiheit für alle Gruppen – Nieder mit den Relationen!

Der Satz von Nielsen-Schreier besagt, dass in einer freien Gruppe jede Untergruppe frei ist. (Das ist keine politische sondern eine mathematische Aussage.) Den Beweis kann man rein algebraisch führen, er mündet dann aber leicht in einer heillosen Rechnerei. Man kann den Beweis auch topologisch führen, indem man freie Gruppen als Fundamentalgruppen von Graphen darstellt – und alles löst sich in Wohlgefallen auf. In der Vorlesung wird dies eine schöne Anwendung der Überlagerungstheorie sein.

Einleitung und Motivation

Die Topologie (griechisch τόπος [tópos] ‚Ort’ und λόγος [lógos] ‚Lehre’) ist wörtlich übersetzt die „Lehre vom Ort” und handelt von der Form und gegenseitigen Lage geometrischer Objekte, wie Punkte, Kurven, Flächen, etc. Die obigen Beispiele illustrieren einige geometrische Fragestellungen und erfolgreiche Anwendungen.

Die Topologie ist neben Analysis und Algebra eine der Grundstrukturen der modernen Mathematik und liefert Werkzeuge, um eine Vielzahl sehr unterschiedlicher Phänomene zu behandeln. Sie untersucht die fundamentalen Konzepte der Konvergenz und der Stetigkeit und steht hierdurch in enger Wechselwirkung mit der Analysis, der Geometrie und auch der Algebra. Die Vorlesung will hierzu die notwendigen Grundlagen vermitteln.

In Einstein's general relativity
the structure of space can change but not its topology.
Topology is the property of something that doesn't change
when you bend it or stretch it as long as you don't break anything.
Edward Witten

Als mathematische Disziplin ist die Topologie eine Schöpfung des 20. Jahrhunderts – und damit relativ jung. Sie wurde schnell zum mathematischen Grundwissen, vor allem Dank ihrer spektakulären Erfolge in vielfältigen Anwendungen und Verzweigungen (mengentheoretische, geometrische, algebraische Topologie...).

Was ist mengentheoretische Topologie?

In der Analysis verwendet man eine Metrik zum Messen von Abständen und gewinnt daraus die überaus wichtigen Begriffe der Konvergenz von Folgen und Stetigkeit von Abbildungen. Für viele Begriffsbildungen braucht man aber gar keine Metrik: Es genügt, die offenen Mengen zu kennen. So abstrahiert man von metrischen zu topologischen Räumen, die oft flexibler zu handhaben sind. Der erste, „mengentheoretische” Teil der Vorlesung widmet sich grundlegenden Konstruktionen, wie Produkten und Quotienten, sowie Eigenschaften topologischer Räume, wie Zusammenhang und Kompaktheit.

Point set topology is a disease from which the human race will soon recover.
Henri Poincaré (1854–1912)

Was ist geometrische Topologie?

Je nach Anwendung interessiert man sich für spezielle, besonders schöne topologische Räume, wie zum Beispiel Mannigfaltigkeiten oder simpliziale Komplexe. Dies sind topologische Räume mit zusätzlichen, „geometrischen” Strukturen, die maßgeschneiderte Techniken erlauben und erfordern. In dieser Vorlesung werden wir uns der Einfachheit halber zumeist auf simpliziale Komplexe konzentrieren. Als wichtige Anwendung werde ich den Klassifikationssatz für (triangulierte) Flächen beweisen. Des weiteren möchte ich den Abbildungsgrad von Sphären behandeln, der eine erstaunliche Vielfalt von tiefliegenden Anwendungen eröffnet.

A child’s first geometrical discoveries are topological. —
If you ask him to copy a square or a triangle, he draws a closed circle.
Jean Piaget (1896–1980)

Was ist algebraische Topologie?

Die algebraische Topologie untersucht topologische Räume und stetige Abbildungen mit algebraischen Hilfsmitteln. Den Räumen werden Gruppen zugeordnet (oder andere algebraische Strukturen) und den Abbildungen werden Homomorphismen zugeordnet. So entsteht ein algebraisches Abbild des ursprünglich topologischen Sachverhalts. Oft ist das algebraische Abbild leichter zu verstehen und erlaubt so eine Lösung des topologischen Problems. In günstigen Fällen funktioniert die Übersetzung auch umgekehrt, und die Topologie erleuchtet die Algebra. Mit dem allgegenwärtigen Begriff der Fundamentalgruppe und dem dualen Konzept der Überlagerung beschäftigt sich der dritte Teil der Vorlesung.

In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra
fight for the soul of every individual discipline of mathematics.
Hermann Weyl (1885–1955)

Zielsetzung der Vorlesung

Die Vorlesung soll die Grundlagen der Topologie vermitteln. Ziel sind dabei zwei komplementäre Kompetenzen: das Verständnis sowohl konkreter Anwendungen als auch der allgemeinen Theorie. Das eine ist ohne das andere kaum denkbar.

Topologische Techniken und Ergebnisse werden in vielen Gebieten der Mathematik verwendet. Diese Vorlesung erarbeitet hierzu die nötigen Grundlagen und führt zu Vertiefungen hin, insbesondere der algebraischen Topologie, der Differentialtopologie und Differentialgeometrie, der geometrischen Topologie und Knotentheorie.

People cry, people moan
Look for a dry place to call their home
Try to find some place to rest their bones
While the angels and the devils try to make them their own
Nirvana, Lake of Fire

Einführende Literatur

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Topologie. Je nach Ausrichtung behandeln sie mehr mengentheoretische oder mehr algebraische Topologie. Die folgenden Lehrbücher unterscheiden sich in Ausrichtung und Stil, sind aber allesamt empfehlenswert:

J. Munkres: Topology, Prentice Hall 2000.
M.A. Armstrong: Basic Topology, Springer 1983.
H. Schubert: Topologie, Teubner 1971.
K. Jänich: Topologie, Springer 2005. [ebook]
G. Laures, M. Szymik: Grundkurs Topologie, Springer 2009. [ebook]

In der Bibliothek wird ein Präsenzregal mit diesen und weiteren Titeln eingerichtet.

B. von Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer 2001.
J. Dugundji: Topology, Allyn and Bacon, 1966.
L.A. Steen, J.A. Seebach: Counterexamples in Topology, Dover 1995.
R. Stöcker, H. Zieschang: Algebraische Topologie, Teubner 1994.
J.J. Rotman: An Introduction to Algebraic Topology, Springer 1998.
G.E. Bredon: Topology and Geometry, Springer 1993.
L. Führer: Topologie mit Anwendungen, Vieweg 1977.
E. Ossa: Topologie, Vieweg 1992.

Es gibt auch hervorragende Bücher und gute Skripte, die online frei erhältlich sind:

Algebraic Topology von Prof. Allen Hatcher (Cornell)
Einführung in die Topologie von Prof. Friedhelm Waldhausen (Bielefeld)
Skript zur Topologie / Topology von Prof. Günther Ziegler (Berlin)

Das Buch von Hatcher kann man auch günstig kaufen – über 500 Seiten für unter 30€. Es ist schön geschrieben, umfasst viel Stoff und ist eine gute langfristige Investition.

Zur Wiederholung der dortigen Vorlesung gibt es ein lehrreiches Online-Quiz der ETH Zürich: Quiz1 / Quiz2 / Quiz3 / Quiz4.

Organisation der Vorlesung

Voraussetzungen

Formale Voraussetzung, im Rahmen der Prüfungsordnung des Bachelor-Studiengangs Mathematik, ist die Orientierungsprüfung nach den ersten beiden Semestern.

Inhaltliche Voraussetzung sind die Grundvorlesungen Analysis und lineare Algebra: Hieraus stammen viele Beispiele, Begriffe und Fragen der Topologie, und wir werden vielfach ihre omnipräsenten Methoden verwenden. Notwendig ist insbesondere eine genaue Kenntnis der topologischen Grundbegriffe der Analysis (Metrik, Konvergenz, Stetigkeit, offene und abgeschlossene Mengen, etc.), denn diese werden in der Topologie verallgemeinert und allerorten verwendet.

Die Grundzüge der Topologie werden in der Vorlesung eigenständig entwickelt. Wie in allen fortgeschrittenen Veranstaltungen der Mathematik ist hierzu die Beherrschung grundlegender Arbeitsweisen (mathematische Sprache, Logik, Beweistechniken, ...) und Begriffsbildungen (Mengen, Abbildungen, ...) unabdingbare Voraussetzung.

Allgemeine Voraussetzung: Jede ernsthafte Beschäftigung mit Mathematik erfordert zunächst einmal Interesse, Neugier und Offenheit für Probleme und sodann Kreativität, Sorgfalt und Hartnäckigkeit bei deren Lösung.

Arbeitsaufwand

Dieser Kurs wird mit ca 270 Arbeitsstunden (9 Leistungspunkten) veranschlagt:

ca 70 Stunden Präsenz (Vorlesung und Übung in der Vorlesungszeit)
ca 180 Stunden eigene Arbeit (Vor- und Nachbereitung, Hausaufgaben)
ca 20 Stunden Prüfungsvorbereitung (in den Semesterferien)

Dies sind natürlich nur Schätzungen: die eigene Arbeitszeit und Prüfungsvorbereitung werden hiervon im Allgemeinen abweichen. Nichtsdestotrotz spiegelt dieser Zeitplan eine Grunderfahrung wieder, die Sie sich zu Herzen nehmen müssen:

Mathematik lernt man nicht nur durch Zuschauen sondern durch eigene Arbeit!

Das Verhältnis 1:2 ist dabei durchaus realistisch: Bei nur fünf (!) Präsenzstunden pro Woche müssen sie mindestens zehn (!) Stunden eigene Arbeit investieren.

Diese Zeit müssen Sie bereits während des Semesters parallel zur Vorlesung fest einplanen, um kontinuierlich mitzuarbeiten. Nur bei intensiver Vor- und Nachbereitung werden Ihnen Vorlesung und Übung wirklich etwas nützen. Anders wird es nicht gehen.

Prüfungen

Dieser Kurs wird mit einer schriftlichen Prüfung abschließen. Hieraus ergibt sich Ihre Note, der sogenannte qualifizierte Schein. Um zur Abschlussklausur zugelassen zu werden, müssen Sie erfolgreich an den Übungen teilnehmen, das heißt:

mindestens 50% der Punkte in den Hausaufgaben,
mindestens zweimaliger Vortrag in der Übung.

Im Rahmen des Diplom-Studiengangs kann diese Vorlesung zudem studienbegleitend mündlich geprüft werden. Bitte kontaktieren Sie mich sobald wie möglich per Email, wenn Sie eine mündliche Prüfung anvisieren.

Übungen

Zur Vorlesung werden Übungsgruppen angeboten. Nehmen Sie bitte das Angebot der Übungen gewissenhaft wahr: Bearbeiten Sie Woche für Woche die Vorlesung und die Übungsaufgaben! Diese Pflicht mag Ihnen lästig erscheinen, strukturiert aber das Semester auf eine sehr effiziente Weise. Anders wird es nicht gehen.

Die Einteilung der Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungwoche.

Übungsschein

mindestens 50% der Punkte in den Hausaufgaben,
mindestens zweimaliger Vortrag in der Übung.

Falls es Ihnen außerhalb dieser Vorlesung nützlich sein sollte, kann für die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen ein unbenoteter Übungsschein ausgestellt werden. Für die meisten Teilnehmer wird dies jedoch überflüssig sein, da sie den Kurs durch die Klausur mit einem benoteten Schein abschließen.

Arbeitsgruppen

Der Arbeitsmodus gaga (gemeinsam arbeiten, getrennt abgeben) hat sich bewährt: Übungsaufgaben können und sollen Sie in Kleingruppen gemeinsamen erarbeiten. Dennoch reicht jeder Teilnehmer seine Hausaufgaben eigenhändig handgeschrieben ein. Dabei sollte die jeweilige Arbeitsgruppe namentlich angeben werden.

Themen der Vorlesung

Einführung: Was ist und was soll die Topologie?
Allgemeine Topologie
Metrische Räume (Wiederholung): Euklidische/normierte/metrische Räume, offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen, Konvergenz von Folgen, Stetigkeit von Abbildungen, topologische Äquivalenz von Metriken.
Topologische Räume: Topologische Räume, Beispiele, Funktionenräume, topologische Grundbegriffe, Metrisierbarkeit, Konvergenz, Stetigkeit, Filter.
Konstruktion topologischer Räume: Teilräume, Quotientenräume, Erzeugung von Topologien, Summe und Produkt von topologischen Räumen, Beispiele.
Kompaktheit: Kompaktheit, Produkte, Satz von Tychonoff, lokale Kompaktheit, Kompaktifizierungen, kompakt-offene Topologie.
Trennung: Trennungsaxiome, Konstruktion stetiger Funktionen: Sätze von Urysohn und Tietze, Zerlegung der Eins und Parakompaktheit.
Zusammenhang: Zusammenhang und Zusammenhangskomponenten, Wegzusammenhang und Wegkomponenten, Kategorien, Funktoren.
Geometrische Topologie
Homotopie: Homotope Abbildungen, Homotopiekategorie, Abbildungsgrad, Brouwerscher Fixpunktsatz, Satz vom Igel, topologische Invarianz der Dimension.
Komplexe: Simpliziale Komplexe, Triangulierung, simpliziale Approximation, Euler-Charakteristik.
Flächen: Mannigfaltigkeiten, Überblick in Dimension 1 und 2, Klassifikationssatz für triangulierte Flächen.
Algebraische Topologie
Gruppen: Gruppen und Homomorphismen, normale Untergruppen und Quotienten, freie Gruppen und Präsentation einer Gruppe durch Erzeuger und Relationen.
Fundamentalgruppe und Überlagerungen: Überlagerungen, Hochhebungssatz, Decktransformationen, Galois-Korrespondenz, universelle Überlagerung.

The axiomatic method of postulating what we want has many advantages;
they are the same as the advantages of theft over honest toil.
Bertrand Russel (1872–1970), Introduction to Mathematical Philosophy

Vorlesungstermine

Vorlesungsbeginn am 18. Oktober 2010
V01 Mi 20.Okt	Organisatorische Fragen. [A] Kurze Einführung. [B] Metrische Räume, Beispiele, Grundbegriffe, Konvergenz, Stetigkeit, topologische Äquivalenz.
V02 Fr 22.Okt	[C] Topologische Räume, Beispiele, Metrisierbarkeit, reelle Funktionen mit der Topologie der punktweisen / gleichmäßigen / kompakten Konvergenz.
V03 Mi 27.Okt	Umgebungsaxiome, topologische Grundbegriffe (Inneres, Abschluss, Rand, dicht, diskret, ...), Abzählbarkeitsaxiome, Beispiele, Hausdorff-Eigenschaft.
V04 Fr 29.Okt	Eindeutigkeit von Folgengrenzwerten, abgeschlossene und folgen-abgeschlossene Mengen, stetige Abbildungen, Homöomorphismen, Beispiele.
V05 Mi 03.Nov	Von Folgen zu Filtern, Umgebungsfilter, Konvergenz, Charakterisierung abgeschlossener Mengen und stetiger Abbildungen, Ultrafilter. [D] Teilräume.
V06 Fr 05.Nov	Neue Räume aus alten — Teilräume & Einbettungen, Quotientenräume & Identifizierungen, kanonische Faktorisierung, Beispiele für Quotientenräume.
V07 Mi 10.Nov	Finale Abbildungsfamilien, Finaltopologie, disjunkte Vereinigung, Summe von topologischen Räumen, Beispiele, Erzeugung von Topologien.
V08 Fr 12.Nov	Initiale Abbildungsfamilien, Initialtopologie, kartesisches Produkt, Produkt von Räumen, Metrisierbarkeit von Produkten, Beispiele.
V09 Mi 17.Nov	Die Vorlesung entfällt wegen des Unitages am 17. und 18. November und der daraus resultierenden Vertreibung aus dem Hörsaal.
V10 Fr 19.Nov	[E] Kompaktheit, kompakte Intervalle, endliche Produkte, Satz von Heine-Borel, Extrema stetiger Funktionen, abgeschlossene Abbildungen.
V11 Mi 24.Nov	Kompakte konvexe Mengen in Rⁿ, topologische Vektorräume, Einzigkeit der Vektorraumtopologie auf Rⁿ, Kompaktheit und Filter, Satz von Tyhonoff.
V12 Fr 26.Nov	Kompakte metrische Räume, kompakt vs abzählbar kompakt vs folgenkompakt, lokal-kompakte Räume, Alexandroff-Kompaktifizierung: Beispiele.
V13 Mi 01.Dez	Alexandroff-Kompaktifizierung: Beweis, σ-Kompaktheit, kompakte Erzeugung, eigentliche Abbildungen, Abbildungsräume, Kompakt-Offen-Topologie.
V14 Fr 03.Dez	KO-Topologie: Stetigkeit der Komposition, der Auswertung, der adjungierten Abbildung; Charakterisierung der KO-Topologie, Summe, Produkt, Adjunktion.
V15 Mi 08.Dez	[F] Trennung durch offene Mengen und durch stetige Funktionen, Trennungsaxiome T1, T2, T3, T4, die Sätze von Urysohn und Tietze.
V16 Fr 10.Dez	Anwendungen. Exkurs: lokale / globale Integration. Lokale Endlichkeit, Parakompaktheit, mit T2 folgt T3 und T4, Existenz von Zerlegungen der Eins.
V17 Mi 15.Dez	[G] Zusammenhang, Charakterisierung reeller Intervalle, Zusammenhangs-komponenten, Wege und ihre Verknüpfung, Wegzusammenhang, Beispiele.
V18 Fr 17.Dez	Wegkomponenten, lokaler (Weg)Zusammenhang, Kategorien, kommutative Diagramme, Isomorphismen, Funktoren, topologische und andere Beispiele.
V19 Mi 22.Dez	[H] Homotopiekategorie, Retrakte und Deformationsretrakte, Definition der Umlaufzahl (ohne Konstruktion), Brouwerscher Fixpunktsatz in Dimension 2.
Weihnachtsferien vom 24. Dezember 2010 bis zum 9. Januar 2011
V20 Mi 12.Jan	Definition des Abbildungsgrades (ohne Konstruktion), Brouwerscher Fixpunktsatz, Satz vom Igel, Invarianz der Dimension und des Randes.
V21 Fr 14.Jan	[I] Topologische Mannigfaltigkeiten mit und ohne Rand, Überblick in Dimension 1 und 2 (zunächst ohne Beweis), Einführung simplizialer Komplexe.
V22 Mi 19.Jan	Affine und kombinatorische simpliziale Komplexe, Triangulierung, baryzentrische Unterteilung, simpliziale Approximation.
V23 Fr 21.Jan	[K] Vertretung durch Herrn Boris Krinn: Gruppen und Homomorphismen, normale Untergruppen und Quotienten, freie Gruppen und Präsentationen.
V24 Mi 26.Jan	[I] Euler-Charakteristik, Invarianz (ohne Beweis). [J] Konstruktion der Modellflächen, Klassifikationssatz der kompakten triangulierten Flächen.
V25 Fr 28.Jan	Polygonmodell, Beweis des Klassifikationssatzes, kompakte Flächen mit Rand. [L] Wege, Homotopie bei festen Endpunkten, Wegekategorie.
V26 Mi 02.Feb	Fundamentalgruppe, Funktorialität, Überlagerungen, Beispiele, Hochhebung von Wegen und Homotopien, Fundamentalgruppe der Kreislinie.
V27 Fr 04.Feb	Gruppen und Operationen, freie diskontinuierliche Operationen, Überlagerungen durch Quotientenbildung, Beispiele.
V28 Mi 09.Feb	Anwendungen: Bouquet von Kreislinien, die orthogonale Gruppe SO(3) und Spin, Hochhebungssatz (Eindeutigkeit und Existenz)
V29 Fr 11.Feb	Decktransformationen, normale Überlagerungen, Galois-Korrespondenz, universelle Überlagerung (aus Zeitmangel leider ohne Konstruktion)
Vorlesungsende am 12. Februar 2011

Abschlussklausur im März 2011:

Die Klausur fand am Mittwoch, den 2. März 2011, von 10:00 bis 12:00 Uhr in Hörsaal V.38.04 (Informatik) statt. Klausureinsicht war am Mittwoch, den 30.03.2011, 14 bis 15 Uhr, Raum 7.530. Alles weitere (Einsicht, Scheine, etc.) nach Vereinbarung bei mir.

Zu guter Letzt

Auch wenn die Topologie eine sehr junge Wissenschaft ist, so spielen topologische Beobachtungen und Anwendungen schon seit der Antike eine gewisse Rolle. Das Labyrinth von Minos zum Beispiel erinnert jeden topologisch geschulten Leser an die Fundamentalgruppe und die universelle Überlagerung:

Ariadne gab Theseus ein Knäuel Faden, dessen Ende er am Eingange des Labyrinthes festknüpfte und den er während des Hinschreitens durch die verwirrenden Irrgänge in der Hand ablaufen lassen sollte, bis er an die Stelle gelangt wäre, wo der Minotauros seine Wache hielt. Theseus ward mit seinen Gefährten in das Labyrinth geschickt, erlegte den Minotauros und wand sich mit Hilfe des abgespulten Zwirns aus den Höhlengängen des Labyrinthes glücklich heraus.
Aus dem Theseus-Mythos

Wem die Topologie allzu abstrakt erscheint, den möge John von Neumann trösten:

If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how complicated life is.
John von Neumann (1903–1957)

Zur Illustration zitiere ich eine seltene topologische Zwangshandlung:

Heinz (29 Jahre alt): Ich ziehe so eine Art unsichtbare Linie hinter mir her, und ich habe den Zwang, diese Linie gerade hinter mir herlaufen zu lassen. Die darf nicht verwurstelt sein. Zum Beispiel kann ich kein Karussel fahren, weil ich mich nicht zurückdrehen kann. (...) Und dann habe ich einmal probiert, um eine Litfaßsäule herumzugehen – und schon hatte ich den Salat. Die Linie war verwickelt. Also musste ich zurückgehen. (...) Wenn ich zum Beispiel zur Arbeit fahre, morgens, dann versuche ich abends exakt denselben Weg zurückzufahren, um die Linie wieder aufzusammeln.
Aus Jürgen Domian, Extreme Leben (1996)

Ob diese Zwangsvorstellung durch den Besuch einer Topologie-Vorlesung oder das Selbststudium der Fundamentalgruppe ausgelöst wurde, ist nicht bekannt.

Michael Eisermann