Michael Eisermann

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui
trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gachis.
— Danach wird es, so hoffe ich, Leute geben,
die aus all diesem Gekritzel schlau werden.
Évariste Galois (1811–1832) in seinem Abschiedsbrief
am Vorabend seines ebenso törichten wie tödlichen Duells

Algebra

Vorlesung im Sommersemester 2010.

Vorlesung (Michael Eisermann) Mo 09:45 - 11:15 Raum V57.04
Mi 09:45 - 11:15 Raum V57.04
Übung 1 (Philipp Schmid) Mi 08:00 - 9:30 Raum V57.7.530
Übung 2 (Leo Margolis) Mi 11:30 - 13:00 Raum V57.7.530
Übung 3 (Tobias Hatt) Mi 11:30 - 13:00 Raum V57.7.527
Übung 4 (Tobias Hatt) Do 09:45 - 11:15 Raum V57.8.333

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Rückmeldungen? Ich freue mich über Ihre Kommentare und Anregungen! Bitte lassen Sie mich wissen, wie Ihnen die Veranstaltung gefällt, wie Sie mit dem Stoff zurecht kommen, und was sich verbessern lässt. (Vorlesungsumfrage)

Aktuelles

Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: aktuelle und vergangene Lehrveranstaltungen

Aperitif

Zum Einstieg zwei klassische Fragen: die erste geometrisch, die zweite algebraisch.

Fünfeck Sechseck Siebeneck

Sie wissen, wie man ein regelmäßiges Fünfeck mit Zirkel und Geodreieck zeichnet? Gut! Aber kann man das regelmäßige Fünfeck auch nur mit Zirkel und Lineal konstruieren? Für das regelmäßige Sechseck haben Sie dies vermutlich schon in der Grundschule getan: Die Figur ergibt sich spielerisch von selbst, auch wenn man gar nicht danach sucht. Geht das auch für das regelmäßige Siebeneck? Falls ja, so gebe man eine Konstruktion an, andernfalls beweise man ihre Unmöglichkeit.

Graph von X^5-5X+12 Graph von X^5-X+1

Sie kennen die reellen bzw. komplexen Lösungen der Gleichung X5 = 1? Gut! Aber wie viele reelle bzw. komplexe Lösungen hat die Gleichung X5-5X+12 = 0 und kann man diese Lösungen auch so schön hinschreiben? Geht das auch für X5-X+1 = 0?

Einleitung und Motivation

Algebra ist, grob gesagt, die mathematische Theorie zum Lösen von Gleichungen. Sie untersucht dazu die Struktur der verwendeten Rechenoperationen und der zugrundeliegenden Objekte. Die allgegenwärtigen Strukturen sind hier Gruppen, Ringe, Körper.

Das einfachste Beispiel sind Gleichungen der Form a⋅x + b = 0. Für a ≠ 0 hat diese Gleichung die Lösung x = -b/a. Die hierzu nötigen Operationen + und ⋅ und ihre Inversen - und / führen unmittelbar zum algebraischen Begriff des Körpers. Lineare Gleichungssysteme über einem Körper werden in der linearen Algebra untersucht. Hier zeigt sich bereits die klärende Kraft algebraischer Begriffsbildung.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit nicht-linearen, und zwar polynomiellen Gleichungen beschäftigen. Das einfachste und bekannteste Beispiel ist die quadratische Gleichung ax2+bx+c=0. Für a ≠ 0 hat diese Gleichung zwei Lösungen, und diese können durch die berühmte Formel (-b ± √(b^2-4ac))/(2a) ausgedrückt werden. Diese Formel nutzt neben den Körperoperationen nur das Ziehen von Quadratwurzeln. In diesem Sinne ist die quadratische Gleichung also "durch Wurzeln auflösbar".

Ähnliche Lösungen für Gleichungen dritten Grades wurden von den italienischen Mathematikern Nicolo Tartaglia (1499-1557) und Gerolamo Cardano (1501-1576) gefunden, und Gleichungen vierten Grades wurden von Cardanos Schüler Lodovico Ferrari (1522-1565) gelöst. Diese Lösungsformeln sind zwar zunehmend kompliziert, benutzen aber nur die Körperoperationen und das Wurzelziehen.

Nach solchen Lösungsformeln für Gleichungen fünften und höheren Grades wurde mehrere Jahrhunderte lang vergeblich gesucht. Schließlich kam die große Überraschung: der norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1829) bewies, dass es derartige allgemeine Formeln nicht geben kann. Die tieferen Gründe hierfür wurden von dem französischen Mathematiker Évariste Galois (1811-1832) aufgedeckt. Die Entwicklung der nach ihm benannten Galois-Theorie ist das Hauptziel dieser Vorlesung.

Die Grundidee ist einfach: Zu jeder Gleichung betrachtet man die Symmetrien, die zwischen ihren Lösungen bestehen. Dies führt zum Begriff der Galois-Gruppe: Sie misst die Kompliziertheit einer Gleichung, und eine auflösbare Gleichung erkennt man daran, dass ihre Galois-Gruppe auflösbar ist. Durch die Galois-Korrespondenz kann man so Fragen zu Körpern übersetzen in Fragen zu Gruppen. Letztere lassen sich in vielen günstigen Fällen lösen, was den Erfolg der Galois-Theorie begründet.

Die Galois-Theorie ist ein faszinierendes Beispiel dafür, dass manchmal konkrete Probleme erst lösbar werden, wenn man sie mit der nötigen Abstraktion behandelt. So entsteht aus der klassischen Algebra (über den reellen und komplexen Zahlen) durch Abstraktion und Vereinheitlichung die moderne Algebra (über allgemeineren Ringen und Körpern). Die Vorlesung wird sich hierzu mit dem nötigen Handwerkszeug der Gruppen, Ringe und Körper befassen, die auch überall sonst in der Algebra unerlässlich sind und zum Grundvokabular vieler Anwendungen gehören.

Etymologie - Herkunft und Bedeutung des Wortes Algebra

Das deutsche Wort Algebra (english algebra, französisch algèbre, spanisch álgebra) ist arabischen Ursprungs: al-gabr bedeutete in der medizinischen Fachsprache soviel wie 'Brüche heilen' oder 'Knochen wieder einrenken'. Diese heute vergessene Bedeutung findet sich noch Anfang des 17. Jahrhunderts bei Cervantes: Als Don Quijote einen Ritter vom Pferd stößt muss letzterer seine Knochenbrüche von einem Algebristen behandeln lassen. (Näheres hierzu bei Heinz Lüneburg.)

Der persische Mathematiker al-Chwarizmi (ca. 780-850) übertrug diese Bedeutung von der medizinischen auf die mathematische Praxis. Sein Lehrbuch Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen beschreibt Rechenmethoden im Umgang mit negativen Zahlen in Gleichungen, die durch beidseitiges Addieren der entsprechenden positiven Zahl an den richtigen Platz gebracht werden.

Beim Lösen von Gleichungen renkt man die Terme sozusagen wieder ein.

In der Algebra wächst zusammen, was zusammengehört.

Alles wird gut.

Zielsetzung der Vorlesung

Die Vorlesung soll die Grundlagen der Algebra vermitteln.

Diese Ergebnisse und Techniken werden in vielen Gebieten der Mathematik benötigt. Die Vorlesung soll auch zu weiterführenden Kursen in der Algebra befähigen.

The constructs of the mathematical mind are at the same time free and necessary.
The individual mathematician feels free to define his notions and set up his axioms
as he pleases. But the question is will he get his fellow mathematician interested
in the constructs of his imagination. We cannot help the feeling that certain
mathematical structures which have evolved through the combined efforts of
the mathematical community bear the stamp of a necessity not affected by
the accidents of their historical birth. Everybody who looks at the spectacle of
modern algebra will be struck by this complementarity of freedom and necessity.
Hermann Weyl (1885-1955)

Literatur

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Algebra. Hier ein paar Vorschläge:

In der Bibliothek wird ein Präsenzregal mit diesen und weiteren Titeln eingerichtet.

Schmökern Sie nach Möglichkeit auch in ein paar Klassikern der Moderne:

Diese Lehrwerke haben sich über Jahrzehnte bewährt und jedes ist auf seine Art zeitlos elegant. (Die Jahreszahl gibt jeweils eine der letzten Auflagen bzw. Neuauflagen an.)

Es gibt auch gute Skripte zur Algebra, die online frei erhältlich sind:

Die Expository Papers von Keith Conrad (Conneticut) bieten ein reichhaltiges Menü zu vielen Themen der Algebra, manche Leckerbissen und gehaltvolle Kost.

Organisation der Vorlesung

Voraussetzungen

Formale Voraussetzung, im Rahmen der Prüfungsordnung des Bachelor-Studiengangs Mathematik, ist die Orientierungsprüfung nach den ersten beiden Semestern.

Inhaltliche Voraussetzung sind die Grundvorlesungen Lineare Algebra und Analysis: Hieraus stammen viele Beispiele und motivierende Fragen der Algebra. (Wenn Sie unsicher sind, beginnen Sie mit den Fingerübungen zur Wiederholung.)

Die Grundlagen der Algebra werden in der Vorlesung eigenständig entwickelt. Wie in allen fortgeschrittenen Veranstaltungen der Mathematik ist hierzu die Beherrschung grundlegender Arbeitsweisen (mathematische Sprache, Logik, Beweistechniken, ...) und Begriffsbildungen (Mengen, Abbildungen, ...) unabdingbare Voraussetzung. Zudem werden die omnipräsenten Begriffe und Methoden der linearen Algebra verwendet (Vektorraum, Basis, Dimension, lineare Abbildung, Matrix, Determinante, ...).

Arbeitsaufwand

Dieser Kurs wird mit ca 270 Arbeitsstunden (9 Leistungspunkten) veranschlagt:

Dies sind natürlich nur Schätzungen: die eigene Arbeitszeit und Prüfungsvorbereitung werden hiervon im Allgemeinen abweichen. Nichtsdestotrotz spiegelt dieser Zeitplan eine Grunderfahrung wieder, die Sie sich zu Herzen nehmen müssen:

Mathematik lernt man nicht nur durch Zuschauen sondern durch eigene Arbeit!

Das Verhältnis 1:3 ist dabei durchaus realistisch: Bei nur fünf (!) Präsenzstunden pro Woche müssen sie etwa fünfzehn (!) Stunden eigene Arbeit investieren.

Prüfungen

Klausurtermin: Samstag, den 18.09.2010, 10-12 Uhr.
Hilfsmittel (wie Taschenrechner, Dokumente, etc.) sind nicht zugelassen.
Die Wiki-Seite erlaubt die Erstellung eines offiziellen Spickzettels für die Klausur. (Dieser wird von TeilnehmerInnen erstellt und soll der Klausur beiliegen.)

Dieser Kurs wird mit einer schriftlichen Prüfung abschließen. Hieraus ergibt sich Ihre Note, der sogenannte qualifizierte Schein. Um zur Abschlussklausur zugelassen zu werden, müssen Sie erfolgreich an den Übungen teilnehmen, das heißt:

Im Rahmen des Diplom-Studiengangs kann diese Vorlesung zudem studienbegleitend mündlich geprüft werden. Bitte kontaktieren Sie mich sobald wie möglich per Email, wenn Sie eine mündliche Prüfung anvisieren.

Übungen

Zur Vorlesung werden Übungsgruppen angeboten. Nehmen Sie bitte das Angebot der Übungen gewissenhaft war: Bearbeiten Sie Woche für Woche die Vorlesung und die Übungsaufgaben! Diese Pflicht mag Ihnen lästig erscheinen, strukturiert aber das Semester auf eine sehr effiziente Weise. Anders wird es nicht gehen.

Übungsblätter

In Ihren Grundvorlesungen haben Sie bereits einige algebraische Techniken erlernt. Anhand der Fingerübungen zur Wiederholung können Sie ermessen, wie weit Sie schon gekommen sind. (Die meisten werden Ihnen leicht fallen, vielleicht aber nicht alle.)

Die Übungsblätter zur Algebra werden hier wöchentlich zur Verfügung gestellt:

Übungsschein

Dieser Kurs wird mit einer schriftlichen Prüfung abschließen. Hieraus ergibt sich Ihre Note, der sogenannte qualifizierte Schein. Um zur Abschlussklausur zugelassen zu werden, müssen Sie erfolgreich an den Übungen teilnehmen, das heißt:

Falls es Ihnen außerhalb dieser Vorlesung nützlich sein sollte, kann für die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen ein unbenoteter Übungsschein ausgestellt werden. Für die meisten Teilnehmer wird dies jedoch überflüssig sein, da sie den Kurs durch die Klausur mit einem benoteten Schein abschließen.

Arbeitsgruppen

Der Arbeitsmodus gaga (gemeinsam arbeiten, getrennt abgeben) hat sich bewährt: Übungsaufgaben können und sollen Sie in Kleingruppen gemeinsamen erarbeiten. Dennoch reicht jeder Teilnehmer seine Hausaufgaben eigenhändig handgeschrieben ein. Dabei sollte die jeweilige Arbeitsgruppe namentlich angeben werden.

Kapitel der Vorlesung

  1. Konstruktion mit Zirkel und Lineal
  2. Monoide und Gruppen
  3. Ringe und Körper
  4. Polynomringe
  5. Teilbarkeitstheorie in Integritätsringen
  6. Primfaktorzerlegung in Polynomringen
  7. Matrizenringe und Elementarteilersatz
  8. Moduln und Vektorräume
  9. Grundbegriffe der Gruppentheorie
  10. Symmetrische und alternierende Gruppen
  11. Sylow-Sätze und Anwendungen
  12. Körpererweiterungen
  13. Endliche Körper
  14. Hauptsatz der Galois-Theorie
  15. Anwendungen der Galois-Theorie
Baustelle

Ich habe versucht, parallel zur Vorlesung meine Vorlesungsnotizen hier online zur Verfügung zu stellen. Diese Notizen sind in erster Linie für mich selbst gedacht – und daher vorläufig in rohem Zustand.

Kommentare und Vebesserungsvorschläge nehme ich gerne an.

Im Zweifel schauen Sie lieber in drei gute Lehrbücher als in mein halbgares Skript. Das mag zwar anfangs mehr Mühe bereiten, zahlt sich aber langfristig aus!

Vorlesungstermine

Das Sommersemester ist mit 13 Wochen (wie immer) etwas zu kurz geraten. Der Zeitplan ist daher leider etwas gedrängter als mir lieb ist. Aber sei's drum.

Vorlesungsbeginn am 19. April 2010
V01 Mo 19.Apr[1] Zirkel und Lineal, Koordinatisierung, Teilkörper von R, quadratische Erweiterungen, 3,4,5,6,8-Eck konstruierbar, 7-Eck nicht konstruierbar.
V02 Mi 21.Apr9-Eck, Winkeldreiteilung. [2] Monoide und Gruppen, Grundbegriffe und Beispiele, Homomorphismen, Potenzgesetz, Unterobjekte.
V03 Mo 26.AprSatz von Cayley für Gruppen. [3] Ringe und Körper, Homomorphismen, kategorielle Sprechweise, Unterringe, Ideale.
V04 Mi 28.AprIdeale in Z, Kongruenzen und Quotientenringe, Homomorphiesätze, Charakteristik und Frobenius, Produktringe, chinesischer Restsatz.
V05 Mo 03.MaiTeilerfremde Ideale, chinesischer Restsatz für mehrere Faktoren, Integritätsringe und Bruchkörper, Monoidringe (Definition und Eindeutigkeit).
V06 Mi 05.MaiMonoidringe (Konstruktion). [4] Polynomringe, Gradfunktion und euklidische Division, Nullstellen, Vielfachheit, eindeutige Faktorisierung von Nullstellen.
V07 Mo 10.MaiAbleitung, Interpolation. [5] Teilbarkeit, Grundvokabular, Beispiele und Gegenbeispiele, euklidische Ringe, Algorithmus von Euklid und Bézout.
V08 Mi 12.MaiHauptidealringe, Irreduzibilität, faktorielle Ringe, Primelemente, Lemmata von Gauß und Euklid, Idealkettenbedingungen, Hauptidealringe sind faktoriell.
V09 Mo 17.Mai Teilerfremdheit und Invertierbarkeit, Primideale und maximale Ideale. [6] Faktorialität und Primfaktorzerlegung, Exponentenbewertung, Normierung.
V10 Mi 19.MaiInhalt und Normierung von Polynomen, Lemma von Gauß, Satz von Gauß, Algorithmus für den ggT, Irreduzibilitätskriterien, Kriterium von Eisenstein.
Vorlesungsfreie Zeit vom 24. Mai bis 28. Mai 2010 (Pfingstwoche)
V11 Mo 31.MaiKreisteilungspolynome. [7] Matrizenringe, Determinante über kommutativen Ringen, GLn und SLn, Elementarteilersatz, Algorithmus von Gauß-Bézout.
V12 Mi 02.JunEindeutigkeit. [8] Moduln über einem Ring, Quotientenmoduln, freie Moduln, Rang, Struktursätze endlich erzeugter Moduln über einem Hauptidealring.
V13 Mo 07.JunStruktursätze (Fortsetzung und Schluss). [9] Untergruppen, Nebenklassen, Satz von Lagrange, normale Untergruppen, Quotientengruppen.
V14 Mi 09.JunIsomorphiesätze, Kommutieren, Abelschmachung, Konjugieren, Operationen von Gruppen auf Mengen, Bahn, Standgruppe, Bahnengleichung.
V15 Mo 14.JunAuflösbarkeit von p-Gruppen. [10] Symmetrische Gruppen, Zykelzerlegung, Konjugationsklasse und Zentralisator in Sn, Signatur, alternierende Gruppen.
V16 Mi 16.JunKonjugationsklassen und Zentralisator in An, Einfachheit von An für n≥5, affine Gruppen, Diedergruppen, interne und externe semidirekte Produkte.
V17 Mo 21.JunStruktur der Gruppe (Z/p)×, semidirekte Produkte von Z/p und Z/q. [11] Satz von Cauchy, Sylow-Gruppen, Sylow-Sätze, einfache Klassifikationssätze.
V18 Mi 23.JunAuflösbare Gruppen. [12] Körpererweiterungen, Grad, erzeugter Teilring und Teilkörper, einfache Erweiterungen, algebraische und transzendente Elemente.
V19 Mo 28.JunAlgebraische Erweiterungen, Satz von Kronecker, Adjunktion von Wurzeln, Zerfällungskörper (jeweils Existenz und Eindeutigkeit bis auf Isomorphie).
V20 Mi 30.JunAlgebraisch abgeschlossene Körper, äquivalente Kriterien, algebraischer Abschluss, Existenz, Eindeutigkeit, Forsetzung von Körperhomomorphismen.
V21 Mo 05.Jul[13] Endliche Körper, Existenz und Eindeutigkeit bis auf Isomorphie, Unterkörper, Automorphismen, Galois-Korrespondenz für endliche Körper.
V22 Mi 07.JulHauptsatz der Galois-Theorie, ausführliche Beispiele, separable Polynome / Elemente / Erweiterungen, Charakterisierung vollkommener Körper.
V23 Mo 12.JulKonjugierte Elemente, Separabilitätsgrad, Gradformel, Satz vom primitiven Element, normale Erweiterungen, E|K ist galoisch gdw normal und separabel.
V24 Mi 14.JulSatz von Artin, Galois-Korrespondenz, normale Hülle, Galois-Gruppe einer Gleichung P(x) = 0, Operation auf Nullstellen, Kriterium für Gal(P) = Sp.
V25 Mo 19.Jul[15] Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome, Konstruktion mit Zirkel und Lineal, Charakterisierung konstruierbarer n-Ecke durch Fermat-Zahlen.
V26 Mi 21.JulKreisteilungskörper, die Gleichung Xn-c, zyklische Erweiterungen und Radikalerweiterungen, Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.
Vorlesungsende am 24. Juli 2010

Abschlussklausur im September 2010:

Zu guter Letzt

Hier ein paar knappe (Teil)Antworten auf die eingangs gestellten Fragen — auch wenn diese erst mit Hilfe einer Algebra-Vorlesung wirklich zu verstehen sind. Die Vorlesung diskutiert gleich zum Einstieg Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Regelmäßiges Fünfeck und Siebeneck

Alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beruhen auf Kreisen und Geraden in der Ebene. In kartesischen Koordinaten lassen sich diese durch quadratische bzw. lineare Gleichungen darstellen. Die Koordinaten der so konstruierten Schnittpunkte lassen sich berechnen durch die Körperoperationen + und ⋅ und ihre Inversen - und / sowie Quadratwurzeln für die auftretenden quadratischen Gleichungen. Welche Punkte lassen sich so erreichen ausgehend von zwei vorgegebenen Punkten 0 und 1?

Zirkel und Lineal

Einerseits erfüllt x = cos(2π/5) die Gleichung x2 + x - 1 = 0. Daraus können Sie x berechnen durch die Körperoperationen und eine Quadratwurzel. Diese Rechnung übersetzt sich in eine Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal.

Andererseits ist y = cos(2π/7) Nullstelle des irreduziblen Polynoms y3 + y2 - 2y - 1 und lässt sich nicht durch Quadratwurzeln ausdrücken. (Dies haben wir nachzuweisen.) Demnach ist das regelmäßige Siebeneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Die Wikipedia bietet viel Wissenswertes zum regelmäßigen Fünfeck und Siebeneck. Die Seite zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal bedarf allerdings der Überarbeitung und Ergänzung. Die englische Seite Compass and straightedge constructions ist besser. Vielleicht fühlen Sie sich zu einer Überarbeitung/Übersetzung berufen?

Lösbarkeit polynomieller Gleichungen

Zunächst stellt sich die Frage, ob ein gegebenes Polynom überhaupt reelle bzw. komplexe Nullstellen hat, und wenn ja wie viele. In beiden Fällen ist die Antwort überraschend einfach und der Beweis raffiniert.

Diese Ergebnisse bilden den Abschluss des zeitgleich geplanten Proseminars zum Aufbau des Zahlensystems. Die Lösbarkeit polynomieller Gleichungen durch Körperoperationen und wiederholtes Wurzelziehen wird hingegen erst am Ende der Algebra-Vorlesung aufgeklärt werden. Wer nicht so lange warten will, kann jetzt schon die oben genannte Literatur konsultieren, oder auch auf Wikipedia nachlesen, zum Beispiel über die Gleichung fünften Grades.

A mathematician is a scientist who can figure out anything except
such simple things as squaring the circle and trisecting an angle.
Evan Esar (1899-1995), Esar's Comic Dictionary