Abstrakte harmonische Analysis im Sinne dieses Skripts ist die Verbindung von Funktionalanalysis mit Invarianzeigenschaften und Symmetrien und sollte damit als Fortsetzung der Vorlesung Funktionalanalysis betrachtet werden.

Gegenstand der abstrakten harmonischen Analysis sind weitreichende Verallgemeinerungen der aus den Grundvorlesungen bekannten Theorie der Fourierreihen und der Fouriertransformation hin zu einer symmetriebasierten Strukturtheorie von Banachalgebren auf homogenen Räumen.

Zur Motivation einige Beispiele. Die Fouriertransformation auf $\mathrm L^1(\mathbb R)$ \[f(t) = \int \mathrm e^{2\pi \mathrm it\omega} \widehat f(\omega) \,\mathrm d\omega,\qquad \mathrm L^1(\mathbb R)\ni\widehat f \mapsto f \in \mathrm C(\mathbb R),\] ist eng mit der additiven Struktur der reellen Zahlen verbunden. Es gilt der Faltungssatz \[\widehat{f g} (\omega ) =( \widehat f * \widehat g)(\omega)\] für die über die Addition definierte Faltung \[\widehat f*\widehat g (\omega) = \int \widehat f(\omega-\tau)\widehat g(\tau)\,\mathrm d\tau.\] Analoges gilt für periodische Funktionen und ihre Fourierreihen, \[f(t) = \sum_{k\in\mathbb Z} f_k \mathrm e^{2\pi \mathrm ikt} ,\qquad \mathrm \ell^1(\mathbb Z)\ni(\widehat f_k)_{k\in\mathbb Z} \mapsto f \in \mathrm C(\mathbb R/\mathbb Z),\] mit der entsprechenden Faltung auf $\ell^1(\mathbb Z)$. In beiden Fällen wurde die Gruppenstruktur in eine Integraltransformation für Funktionen / Distributionen übersetzt. Diese ist von Interesse, sobald man Problemstellungen mit der durch die Gruppenstruktur beschriebenen Symmetrie untersucht. Eine stark stetige Gruppe unitärer Operatoren ist eine stark stetige Abbildung $U : \mathbb R\to \mathcal L(H)$ in die Operatoren eines Hilbertraumes $H$ mit $U(t+\tau) = U(t) U(\tau)$. Wiederum spielt die additive Struktur von $\mathbb R$ eine Rolle und es wird sich zeigen, daß $U(t)$ eine Darstellung als Fouriertransformierte \[U(t) = \int \mathrm e^{2\pi\mathrm it\omega} \,\mathrm d\boldsymbol\mu(\omega)\] eines regulären projektionswertigen Spektralmaßes besitzt. Dieser als Satz von Stone bekannte Sachverhalt entspricht einem Spektralsatz für (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren und ist nur ein Beispiel eines abstrakten Resultats, welches sich direkt aus den zugrundeliegenden Symmetrien ergibt.

Andere Beispiele ergeben sich beim Studium von Situationen, welche invariant unter Rotationen sind. Hier spielen die Liegruppen $\mathrm{SO}(n)$ und $\mathrm U(n)$, sowie deren homogene Räume eine Rolle. Eine anders geartete Symmetrie ergibt sich bei Problemen der Signaltheorie. Signale sind Funktionen aus $\mathrm L^2(\mathbb R)$, für deren Studium neben den oben schon genutzten Translationen noch Modulationen, also Multiplikationen mit $t\mapsto \mathrm e^{2\pi\mathrm it\omega}$ für gegebenes $\omega\in\mathbb R$, von Bedeutung sind. Beides sind unitäre Operatoren des $\mathrm L^2(\mathbb R)$. Da Translationen und Modulationen nicht kommutieren, erzeugen sie zusammen eine nichtkommutative Gruppe unitärer Operatoren. Diese wird als Heisenberggruppe $\mathbb H_3$ bezeichnet und ihre Struktur ist wichtig in der Zeit-Frequenz-Analysis (Phasenraumanalysis) sowie für Probleme der Quantenmechanik.

Literatur

1 Spektraltheorie von Banachalgebren

In diesem ersten Kapitel sollen ausgewählte Aspekte der Funktionalanalysis von Banachalgebren im Mittelpunkt stehen.

1.1 Banachalgebren

Die wichtigsten Eigenschaften der Resolvente sind in folgender Proposition zusammengefaßt. Für einen Beweis verweisen wir auf die Funktionalanalysis / überlassen ihn als Übung. Wir benötigen im folgenden nur die letzte Aussage.

1.2 Gelfand-Theorie

1.2.0.1 Maximale Ideale und Spektrum

Im folgenden identifizieren wir die Elemente von $\sigma(\mathcal A)$ mit ihren erzeugenden Homomorphismen aus $\mathop{\mathrm{Hom}}(\mathcal A,\mathbb C)$, \[\sigma(\mathcal A) \simeq \mathop{\mathrm{Hom}}(\mathcal A,\mathbb C)\setminus \{0\} = \{\Phi\in\mathop{\mathrm{Hom}}(\mathcal A,\mathbb C)\;:\; \Phi(1)=1\}.\]

Ist $\mathcal A$ separabel, so ist die schwach-*-Topologie auf $\mathop{\mathrm{Hom}}(\mathcal A,\mathbb C)$ von abzählbar vielen Seminormen erzeugt und damit metrisierbar.

1.2.0.2 Anwendungen

1.2.0.3 Der Satz von Gelfand–Naimark

In gewissen Fällen ist die Gelfandtransformation bijektiv. Zur Vorbereitung einer entsprechenden Aussage benötigen wir ein Dichtheitsresultat, welches den bekannten Approximationssatz von Weierstrass verallgemeinert.

Das folgende Lemma liefert ein Kriterium dafür, daß die Gelfandtransformation ein $*$-Homomorphismus ist.

Insbesondere haben wir in (2) gezeigt, daß für eine C*-Algebra $\mathcal A$ mit Eins stets \[\mathop{\mathrm{Hom}}(\mathcal A,\mathbb C)=\mathop{\mathrm{Hom}}_*(\mathcal A,\mathbb C)\] gilt. Das wird im folgenden Abschnitt noch benötigt werden. Vorerst das Hauptresultat: kommutative $C^*$-Algebren mit Eins sind nichts anderes als Algebren stetiger Funktionen auf einem Kompaktum.

1.3 Spektralmaße

1.3.0.1 Konstruktion

Wir wollen das im folgenden etwas allgemeiner fassen und betrachten eine beliebige kommutative $*$-Unteralgebra $\mathcal A$ mit Eins der C*-Algebra $\mathcal L(H)$. Dann gilt

Nachdem wir nun ein Maß auf $\sigma(\mathcal A)$ haben, hindert uns niemand daran auch andere Funktionen zu integrieren. Es bezeichne im folgenden $B(\sigma(\mathcal A))$ die C*-Algebra der beschränkten borelmeßbaren Funktionen auf $\sigma(\mathcal A)$ versehen mit der Supremumsnorm. Für jedes $f\in B(\sigma(\mathcal A))$ ist \[\left| \int_{\sigma(\mathcal A)} f(\zeta) \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,v}(\zeta)\right| \le \|f\|_\infty \|{\boldsymbol\mu}_{u,v}\| \le \|f\|_\infty \|u\|\,\|v\|,\] nach dem Satz von Fréchet–Riesz existiert also ein eindeutig bestimmtes $T_f\in\mathcal L(H)$ mit \[{\pmb(T_f u,v\pmb)} = \int_{\sigma(\mathcal A)} f(\zeta)\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,v}(\zeta)\] für alle $u,v\in H$ und mit $\|T_f\|\le\|f\|_{\infty}$. Für stetiges $f$ stimmt $T_f$ nach Konstruktion mit der inversen Gelfandtransformierten von $f$ überein.

1.3.0.2 Spektralsätze

Sei nun $E\subseteq\sigma(\mathcal A)$ eine Borelmenge und $1_E$ ihre charakteristische Funktion. Dann bezeichne ${\boldsymbol\mu}(E)$ den soeben konstruierten Operator $T_{1_E}$. Die Abbildung ${\boldsymbol\mu} : E \mapsto {\boldsymbol\mu}(E)$ ist ein projektionswertiges Spektralmaß , die dazu notwendigen Eigenschaften folgen direkt aus Satz Satz 1.24.

Ist nun ${\boldsymbol\mu}$ ein Spektralmaß auf $\Sigma$ und $f\in B(\Sigma)$ eine beschränkte borelmeßbare Funktion, so liefert der Satz von Fréchet–Riesz die Existenz eines eindeutig bestimmten Operators $T_f\in\mathcal L(H)$ mit \[\label{eq:1.3.24} {\pmb(T_fu, v\pmb)} = \int_{\Sigma} f(\zeta)\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,v}(\zeta)\] für alle $u,v\in H$. Dieser wird als \[T_f = \int_{\Sigma} f(\zeta)\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}(\zeta)\] bezeichnet.

Damit ergibt sich aus den Sätzen Satz 1.23, Satz 1.24 zusammen mit Definition Definition 1.25 die folgende Spektraldarstellung kommutativer $C^*$-Algebren beschränkter Operatoren.

Korollar Korollar 1.27 ist nicht die allgemeinste Formulierung des Spektralsatzes für normale Operatoren, wir werden ihn später in Satz Satz 1.31 noch wesentlich verallgemeinern und insbesondere charakterisieren, welche Operatoren sich als meßbare Funktionen von $A$ darstellen lassen.

1.3.0.3 Der Bikommutantensatz

Für den folgenden Satz benötigen wir noch eine Bezeichnung. Für eine Teilmenge $\mathcal B\subseteq\mathcal L(H)$ bezeichne \[{[\mathcal B]'} = \{ A\in\mathcal L(H) \;:\; \forall_{B\in\mathcal B }\; AB=BA \}\] den Kommutant.

Eine schwach (und damit stark) abgeschlossene $*$-Algebra von Operatoren mit Identität wird als von-Neumann-Algebra bezeichnet.

Zum Schluß soll noch der Zusammenhang zwischen dem stetigen Funktionalkalkül und dem meßbaren Funktionalkalkül angesprochen werden. Sei dazu $\mathcal A$ kommutative C*-Unteralgebra von $\mathcal L(H)$, welche die Identität $I$ enthält. Sei weiter ${\boldsymbol\mu}$ das zugeordnete Spektralmaß auf $\sigma(\mathcal A)$.

Mit der Polarisationsformel \[4 {\boldsymbol\mu}_{u,v} = {\boldsymbol\mu}_{u+v,u+v}-{\boldsymbol\mu}_{u-v,u-v}+\mathrm i{\boldsymbol\mu}_{u+\mathrm iv,u+\mathrm iv}-\mathrm i{\boldsymbol\mu}_{u-\mathrm iv,u-\mathrm iv}\] ist damit auch klar, daß es sich um eine ${\boldsymbol\mu}_{u,v}$-Nullmenge für alle $u,v\in H$ handeln muss. Motiviert davon sagen wir, eine Borelmenge $E$ auf $\sigma(\mathcal A)$ ist eine ${\boldsymbol\mu}$-Nullmenge, falls ${\boldsymbol\mu}(E)=0\in\mathcal L(H)$ gilt; äquivalent dazu, falls für alle $u,v\in H$ die Menge $E$ eine ${\boldsymbol\mu}_{u,v}$-Nullmenge ist. Ist $H$ separabel, so existiert darüberhinaus ein Maß, welches diese Nullmengen charakterisiert. Sei dazu $e_n$ eine Orthonormalbasis von $H$. Da $(u,v)\mapsto {\boldsymbol\mu}_{u,v}$ eine stetige sesquilineare Abbildung ist, ist ${\boldsymbol\mu}_{u,v}$ durch die abzählbar vielen Maße ${\boldsymbol\mu}_{e_i,e_j}$ bestimmt. Sei nun \[\nu = \sum_{i,j} 2^{-i-j} |{\boldsymbol\mu}_{e_i,e_j}|.\] Diese Reihe ist absolut konvergent (da $\|{\boldsymbol\mu}_{e_i,e_j}\|\le1$) und bestimmt damit ein positives Maß $\nu\in\mathbb M(\sigma(\mathcal A))$. Nach Konstruktion sind alle ${\boldsymbol\mu}_{e_i,e_j}$ bezüglich dieses Maßes absolutstetig. Als Folgerung des Satzes von Radon–Nikodým ergibt sich

Wir verstehen $\mathrm L^\infty(\sigma(\mathcal A),\,\mathrm d\nu)$ als Dualraum zu $\mathrm L^1(\sigma(\mathcal A),\,\mathrm d\nu)$ und versehen ihn mit der schwach-* Topologie. Nach Konstruktion besteht $\mathrm L^\infty(\sigma(\mathcal A),\,\mathrm d\nu)$ gerade aus den Funktionen aus $B(\sigma(\mathcal A))$ modulo $\nu$-Nullfunktionen, was wiederum nach Konstruktion gerade die ${\boldsymbol\mu}$-Nullfunktionen sind. Die schwach-* Topologie auf $\mathrm L^\infty(\sigma(\mathcal A),\,\mathrm d\nu)$ ist nur von der Äquivalenzklasse von $\nu$ bezüglich gegenseitiger Absolutstetigkeit abhängig.

Proof. Wegen Lemma Lemma 1.29 besteht der Nullraum des Funktionalkalküls gerade aus den meßbaren Funktionen $f$ mit ${\boldsymbol\mu}_{u,u}(\{ \zeta : f(\zeta)\ne 0\} )= 0$ für alle $u\in H$. Das sind aber nach Konstruktion gerade die $\nu$-Nullfunktionen. Damit ist die angegebene Abbildung wohldefiniert und nach Satz Satz 1.24 (2) gilt ebenso $T_f\in[[\mathcal A]']'$.

Weiter gilt \[\begin{aligned} {\pmb(T_{f}u,v\pmb)} = \int_{\sigma(A)} f(\zeta) \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,v}(\zeta) = \int_{\sigma(A)} f(\zeta) k_{u,v}(\zeta) \,\mathrm d\nu (\zeta) \end{aligned}\] sowie $k_{u,v}\in \mathrm L^1(\sigma(\mathcal A),\,\mathrm d\nu)$ und das Funktionalkalkül ist stetig. Es bleibt die Surjektivität zu zeigen. Dazu nutzen wir eine Idee von F. Riesz und B. Sz.-Nagy. Für $u\in H$ sei der $A,A^*$-zyklische Unterraum definiert als \[\mathfrak Z(u) = \overline{\mathop{\mathrm{span}}} \{ A^k(A^*)^\ell u\;:\; k,\ell \in\mathbb N_0\},\] wobei der Einfachheit halber $A^0=I=(A^*)^0$ gesetzt wurde. Dann ist $\mathfrak Z(u)$ ein $A$- und $A^*$-invarianter Unterraum, ebenso $\mathfrak Z(u)^\perp$. Da $H$ separabel ist, kann $H$ als orthogonale direkte Summe solcher Unterräume geschrieben werden, wir finden also eine (möglicherweise endliche) Folge $u_k$ mit \[H = \bigoplus_{k=1,2,...} \mathfrak Z(u_k).\] Bezeichne $P_k$ den Orthogonalprojektor auf $\mathfrak Z(u_k)$. Dann gilt $I=\sum_k P_k$ sowie $P_k\in[\mathcal A]'$. Sei nun $B\in[[\mathcal A]']'$. Da $P_k$ mit $B$ kommutiert, ist jeder der Räume $\mathfrak Z(u_k)$ unter $B$ invariant.

Sei $u = \sum_{k} c_k u_k$ (absolut konvergent und) mit geeignet gewählten $c_k>0$. Dann ist $\mathfrak Z(u)$ ebenso $B$-invariant und nach Konstruktion existiert eine Folge $p_n$ von Polynomen $p_n(\zeta,\overline\zeta)$ mit \[\label{eq:1.3.38} \| B u - p_n(A,A^*) u \| \to 0\] für $n\to\infty$. Da damit aber $p_n(A,A^*)u$ eine Cauchyfolge in $H$ ist folgt \[\| (p_n(A,A^*)-p_m(A,A^*))u\|^2 = \int_{\sigma(A)} |p_n(\zeta,\overline\zeta)-p_m(\zeta,\overline\zeta)|^2\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u}(\zeta)\to 0,\qquad m,n\to\infty,\] und somit sind die $p_n$ Cauchyfolgen in $\mathrm L^2(\sigma(A),\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u})$. Also existiert ein $f\in\mathrm L^2(\sigma(A),\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u})$ mit \[\int_{\sigma(A)} |f(\zeta)-p_n(\zeta,\overline\zeta)|^2 \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u}(\zeta)\to 0.\] Seien nun $v,w\in\mathop{\mathrm{span}}\{ A^k(A^*)^\ell u\;:\; k,\ell \in\mathbb N_0\}$. Dann existieren Polynome $q,r\in\mathbb C[X,Y]$ mit $v=q(A,A^*)u$ und $w=r(A,A^*)u$ und damit folgt $\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,w} = q(\zeta,\overline\zeta)\overline{r(\zeta,\overline\zeta)}\,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u}$ und, da $\sigma(A)$ kompakt ist, gilt insbesondere $f\in\mathrm L^2(\sigma(A),\,\mathrm d|{\boldsymbol\mu}_{v,w}|)$ und $p_n$ konvergiert in all diesen Räumen gegen $f$. Da $\mathrm L^2(\sigma(A),\,\mathrm d|{\boldsymbol\mu}_{v,w}|)\hookrightarrow \mathrm L^1(\sigma(A),\,\mathrm d|{\boldsymbol\mu}_{v,w}|)$ stetig eingebettet ist, folgt \[\label{eq:1.3.40} {\pmb(Bv,w\pmb)} = \lim_{n\to\infty} {\pmb(p_n(A,A^*)v,w\pmb)} = \int_{\sigma(A)} f(\zeta) \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,w} = {\pmb(f(A)v,w\pmb)}\] für $v,w\in\mathop{\mathrm{span}}\{ A^k(A^*)^\ell u\;:\; k,\ell \in\mathbb N_0\}$. Da $B$ mit allen $P_k$ kommutiert folgt für dieselbe Folge von Polynomen \[%\label{eq:1.3.38} \| B u_k - p_n(A,A^*) u_k \| = c_k^{-1} \| P_k ( B u - p_n(A,A^*) u ) \| \le c_k^{-1} \| B u - p_n(A,A^*) u \| \to 0\] und damit Konvergenz von $p_n$ in allen $\mathrm L^2(\sigma(A), \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u_k,u_k})$ und somit [eq:1.3.40] für alle $v,w\in D= \mathop{\mathrm{span}}\{ A^\ell (A^*)^m u_k : \ell,m \in\mathbb N_0, k=1,2,..\}\subset H$. Nach Konstruktion ist diese Menge dicht in $H$. Wir zeigen, daß dies sogar für alle $v,w\in H$ gilt. Sei dazu zu $N\in\mathbb N$ die Menge $E_N=\{\zeta\in\sigma(A) : |f(\zeta)|\le N\}\subset\sigma(A)$ definiert. Diese ist borelmeßbar, also ist $Q_N={\boldsymbol\mu}(E_N)\in\mathcal L(H)$ ein Orthogonalprojektor. Da $Q_N$ mit $A$ und $A^*$ kommutiert, gilt $BQ_N=Q_NB$ und ebenso mit $f_N(\zeta)=f(\zeta)1_{E_N}(\zeta)$ auch $p_n(\zeta,\overline\zeta) 1_{E_N}(\zeta) \to f_N(\zeta)$ in allen $\mathrm L^2(\sigma(A),\,\mathrm d|{\boldsymbol\mu}_{v,w}|)$, $v,w\in D$. Also gilt \[{\pmb(BQ_N v,w\pmb)} = \int_{E_N} f(\zeta) \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,w}(\zeta) = \int_{\sigma(A)} f_N(\zeta) \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,w}(\zeta) = {\pmb(f_N(A)v,w\pmb)},\qquad v,w\in D\] und da sowohl $BQ_N$ als auch $f_N(A)$ beschränkt sind, gilt dies stetig fortgesetzt für alle $v,w\in H$. Insbesondere folgt damit (da $Q_Nv \to v$ für $N\to\infty$) \[\int_{\sigma(A)} |f(\zeta)|^2 \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,v}(\zeta) = \lim_{N\to\infty} \int_{E_N} |f(\zeta)|^2 \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,v}(\zeta) = \lim_{N\to\infty} \|BQ_Nv\|^2 = \|Bv\|^2<\infty\] und damit ist $f$ bezüglich aller Spektralmaße ${\boldsymbol\mu}_{v,w}$, $v,w\in H$, quadratintegrierbar. Also gilt insbesondere auch mit dem Satz über majorisierte Konvergenz \[\int_{\sigma(A)} f(\zeta) d{\boldsymbol\mu}_{v,w}(\zeta) = \lim_{N\to\infty} \int_{E_N} f(\zeta) \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{v,w}(\zeta) = \lim_{N\to\infty} {\pmb(BQ_Nv,w\pmb)} = {\pmb(Bv,w\pmb)}\] für alle $v,w\in H$. Sei nun $N>\|B\|$. Angenommen, $E=\{\zeta : |f(\zeta)|>N\}$ wäre keine ${\boldsymbol\mu}$-Nullmenge. Dann gäbe es ein $u\ne0$ im Bild des Projektors ${\boldsymbol\mu}(E)$. Da dann der Träger des Maßes ${\boldsymbol\mu}_{u,u}$ in $E$ enthalten sein muß, folgt \[\| B u \|^2 = \int_{\sigma(A)} |f(\zeta)|^2 \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u}(\zeta) = \int_{E} |f(\zeta)|^2 \,\mathrm d{\boldsymbol\mu}_{u,u}(\zeta) \ge N^2 {\boldsymbol\mu}_{u,u}(E)=N^2 \|u\|^2\] im Widerspruch zur Wahl von $N$. ◻

2 Topologische Gruppen, Maße und Darstellungen

2.1 Lokalkompakte Gruppen und Haarmaße

Proof. Wir skizzieren einen auf H. Cartan¹¹ zurückgehenden Beweis, verzichten allerdings auf einige Details. Der komplette Beweis ist im Buch von Folland zu finden. Da wir ein positives Funktional auf $\mathrm C_c(G)$ suchen, genügt es Integrale nichtnegativer Funktionen zu konstruieren. Jedes positive lineare Funktional auf $\mathrm C_c(G)$ ist automatisch auch stetig. Bezeichne $\mathrm C_c^+(G) = \{ f\in\mathrm C_c(G) : f\ge0\}$.

Schritt 1: Für zwei Funktionen $f,\varphi\in \mathrm C_c^+(G)$, $\varphi\ne0$, bezeichne \[(f:\varphi) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^n c_k \;:\; n\in\mathbb N, \quad y_k \in G, \quad c_k>0, \quad f(x) \le \sum_{k=1}^n c_k L_{y_k} \varphi(x) \right\}\] das Infimum über alle ‘Obersummensummen’ mit Form $\varphi$. Das Infimum ist endlich, da der Träger von $f$ durch endlich viele Translate der offenen Menge $\{ y \in G : \varphi(x) >\frac12 \|\varphi\|_\infty \}$ überdeckt werden kann und $f$ beschränkt ist. Wir zeigen zuerst elementare Eigenschaften, es gilt \[\begin{aligned} (f:\varphi) &= (L_y f:\varphi),\\ (\alpha f:\varphi)& = \alpha (f:\varphi),\\ (f_1+f_2:\varphi) &\le (f_1:\varphi)+(f_2:\varphi),\\ (f_1:\varphi) &\le (f_2:\varphi)\qquad \text{f\"ur $f_1\le f_2$},\\ (f:\varphi) &\ge \|f\|_\infty / \|\varphi\|_\infty\end{aligned}\] für $y\in G$, $f,f_1,f_2\in\mathrm C_c^+(G)$ und $\alpha>0$. Weiterhin gilt $(f:\varphi)\le (f:\psi)\,(\psi:\varphi)$, so daß für ein (von jetzt ab fest gewähltes) $f_0\in \mathrm C_c^+(G)$ das Funktional \[I_\varphi(f) = \frac{(f:\varphi)}{(f_0:\varphi)}\] linksinvariant, homogen und subadditiv ist sowie \[(f_0:f)^{-1} \le I_\varphi(f) \le (f:f_0)\] erfüllt. Die Beweisidee besteht nun darin, einen Grenzwert für $\mathop{\mathrm{supp}}\varphi\to \{1\}$ zu bilden und zu zeigen, daß das Funktional gegen ein positives linksinvariantes Funktional konvergiert.

Schritt 2: Für $f_1,f_2\in\mathrm C_c^+(G)$ und $\varepsilon>0$ existiert eine Umgebung $V$ der Eins, so daß für alle $\varphi\in C_c^+(V)$ \[I_\varphi(f_1)+I_{\varphi}(f_2) \le I_{\varphi}(f_1+f_2) + \varepsilon\] gilt.

Sei $g\in\mathrm C_c^+(G)$ mit $g=1$ auf $\mathop{\mathrm{supp}}(f_1+f_2)$ und sei $\delta>0$. Sei weiter $h=f_1+f_2+\delta g$ und $h_i = f_i / h$ (und $=0$ da wo $f_i=0$ gilt). Da $h_i\in\mathrm C_c^+(G)$ gilt, existiert wegen Lemma Lemma 2.5 eine Umgebung $V$ der Eins mit $|h_i(x)-h_i(y)|<\delta$ für $i=1,2$ und $xy^{-1}\in V$. Gilt nun $\mathop{\mathrm{supp}}\varphi\subset V$, so impliziert $h\le \sum_k c_k L_{x_k}\varphi$ \[f_i(x) = h(x) h_i(x) \le \sum_k c_k \varphi(x_k^{-1} x) h_i(x) \le \sum_{k} c_k \varphi(x_k^{-1}x) (h_i(x_k)+\delta)\] und damit wegen $h_1+h_2\le 1$ \[(f_1:\varphi) + (f_2:\varphi) \le \sum_k c_k (h_1(x_k)+h_2(x_k)+2\delta) \le \sum_k c_k (1+2\delta).\] Also folgt nach Infimumsbildung über alle zulässigen $c_k$ \[I_\varphi(f_1)+I_\varphi(f_2) \le (1+2\delta) I_\varphi(h) \le (1+2\delta)( I_\varphi(f_1+f_2) + \delta I_\varphi(g) ).\] Wählt man nun $\delta$ so klein, daß $2\delta(f_1+f_2 :f_0 ) +\delta(1+2\delta) (g:f_0 )<\varepsilon$ gilt, folgt die Behauptung.

Schritt 3: Für jedes $f$ sei $X_f=[(f_0:f)^{-1},(f:f_0)]\subset\mathbb R_+$ und $X$ das Produkt aller $X_f$. Da jedes $X_f$ ein kompaktes Intervall ist, impliziert der Satz von Tychonov, daß $X$ kompakt ist. Die Menge $X$ besteht also aus Funktionen von $\mathrm C_c(G)\to(0,\infty)$ deren Werte in $f$ im Intervall $X_f$ liegen. Insbesondere gilt $I_\varphi\in X$ für alle $\varphi\in\mathrm C_c^+(G)$. Sei weiter zu jeder Umgebung $V$ von $1\in G$ die Menge $K(V)=\overline{\{I_\varphi : \mathop{\mathrm{supp}}\varphi\subset V\}}$ definiert. Dann gilt für jede endliche Auswahl $V_1,\ldots, V_n$ die endliche Durchschnittseigenschaft \[\varnothing \ne K\left(\bigcap_{j=1}^n V_j\right) \subset \bigcap_{j=1}^n K(V_j).\] Also impliziert Kompaktheit von $X$, daß \[\bigcap_{V} K(V) \ne\varnothing.\] Sei also $I\in\bigcap_V K(V)$. Dann impliziert Schritt 2 Linearität von $I$ und Schritt 1 die Linksinvarianz zusammen mit der Positivität. Also ist $I$ ein Haarmaß.

Schritt 4: Eindeutigkeit. Seien $\lambda$ und $\mu$ zwei Haarmaße auf $G$. Seien weiter $f,g\in\mathrm C_c^+(G)$. Sei weiter $U$ eine relativ kompakte Umgebung der Eins mit $U=U^{-1}$ und $A=(\mathop{\mathrm{supp}}f)U\cup U(\mathop{\mathrm{supp}}f)$ sowie $B=(\mathop{\mathrm{supp}}g)U\cup U(\mathop{\mathrm{supp}}g)$. Dann sind $A$ und $B$ relativ kompakt und für jedes $y\in U$ ist $x\mapsto f(xy)-f(yx)$ in $A$ getragen sowie $x\mapsto g(xy)-g(yx)$ in $B$.

Sei nun $\varepsilon>0$. Dann finden wir wegen Lemma Lemma 2.5 eine symmetrische Umgebung $V\subset U$ mit $|f(xy)-f(yx)|<\varepsilon$ und $|g(xy)-g(yx)|<\varepsilon$ für alle $x$ und $y\in V$. Sei nun $h\in \mathrm C_c^+(G)$ mit $h(x)=h(x^{-1})$ und $\varnothing\ne\mathop{\mathrm{supp}}h\subset V$. Dann gilt \[\begin{aligned} \int h(x)\,\mathrm d\lambda(x) \int f(y)\,\mathrm d\mu(y) = \iint h(x)f(y)\,\mathrm d\lambda(x)\,\mathrm d\mu(y) = \int h(x) \int f(xy)\,\mathrm d\mu(y) \,\mathrm d\lambda(x)\end{aligned}\] und wegen $h(x)=h(x^{-1})$ \[\begin{aligned} \int h(y)\,\mathrm d\mu(y) \int f(x)\,\mathrm d\lambda(x) &= \iint h(x^{-1}y)\,\mathrm d\mu(y) f(x)\,\mathrm d\lambda(x) = \iint h(y^{-1}x) f(x) \,\mathrm d\mu(y)\,\mathrm d\lambda(x)\notag\\ &= \iint h(x) f(yx) \,\mathrm d\lambda(x)\,\mathrm d\mu(y)\end{aligned}\] und damit \[\begin{aligned} & \left| \int h(x)\,\mathrm d\lambda(x) \int f(y)\,\mathrm d\mu(y) - \int h(x)\,\mathrm d\mu(x) \int f(y)\,\mathrm d\lambda(y) \right|\notag\\ & \qquad\qquad= \left| \iint h(x) (f(xy)-f(yx)) \,\mathrm d\lambda(x)\,\mathrm d\mu(y)\right| = \varepsilon\mu(A)\int h\,\mathrm d\lambda\end{aligned}\] und entsprechend für $g$ \[\begin{aligned} \left| \int h(x)\,\mathrm d\lambda(x) \int g(y)\,\mathrm d\mu(y) - \int h(x)\,\mathrm d\mu(x) \int g(y)\,\mathrm d\lambda(y) \right| = \varepsilon\mu(B)\int h\,\mathrm d\lambda.\end{aligned}\] Also folgt nach Division durch $\int h\,\mathrm d\lambda\int f\,\mathrm d\lambda$ beziehungsweise $\int h\,\mathrm d\lambda\int g\,\mathrm d\lambda$ und Addition \[\left| \frac{\int f\,\mathrm d\mu}{\int f\,\mathrm d\lambda} - \frac{\int g\,\mathrm d\mu}{\int g \,\mathrm d\lambda}\right| \le \left| \frac{\int f\,\mathrm d\mu}{\int f\,\mathrm d\lambda} - \frac{\int h\,\mathrm d\mu}{\int h \,\mathrm d\lambda}\right|+ \left| \frac{\int h\,\mathrm d\mu}{\int h\,\mathrm d\lambda} - \frac{\int g\,\mathrm d\mu}{\int g \,\mathrm d\lambda}\right| \le \varepsilon\left(\frac{\mu(A)}{\int f\,\mathrm d\lambda} + \frac{\mu(B)}{\int g\,\mathrm d\lambda}\right)\] und da $\varepsilon$, $f$ und $g$ beliebig waren sind $\mu$ und $\lambda$ proportional. ◻

2.2 Unitäre Darstellungen

Die Menge ${\mathop{\mathrm{Com}}}(\pi)$ ist eine Unteralgebra von $\mathcal L(H)$. Analog zu Satz Satz 1.28 folgt, daß $\mathop{\mathrm{Com}}(\pi)$ schwach abgeschlossen ist und es sich damit um eine von-Neumann-Algebra handelt.

2.3 Integrierte Darstellungen

Unitäre Darstellungen erlauben es, strukturelle Aussagen über die Banachalgebra $\mathrm L^1(G)$ zu treffen. Sie stehen in engem Zusammenhang zu $*$-Homomorphismen der Gruppenalgebra in geeignete Operatoralgebren. Sei dazu $\pi$ unitäre Darstellung und $f\in\mathrm L^1(G)$. Dann bestimmt die Identität \[{\pmb( \pi(f) u,v\pmb)} = \int_G f(x) \, {\pmb(\pi(x)u,v\pmb)} \,\mathrm dx ,\qquad u,v\in H,\] ein eindeutiges Element $\pi(f)\in\mathcal L(H)$. Dieses wird kurz als \[\label{eq:2.2.9} \pi(f) = \int_G f(x) \pi(x) \,\mathrm dx\] bezeichnet. Wir bezeichnen weiter einen Homomorphismus $\pi : \mathrm L^1(G) \to \mathcal L(H)$ als nichtentartet, falls für jede Folge¹³ $f_n\in\mathrm L^1(G)$ mit $f_n\stackrel*{\rightharpoonup} \delta_1$ in $\mathbb M_b(G) = (\mathrm C_0(G))'$ \[\mathop{\mathrm{w-lim}}_{n\to\infty} \pi(f_n)=I\] gilt. Ist $G$ diskret und $\delta\in\mathrm L^1(G)$ das Einselement, so impliziert dies $\pi(\delta)=I$.

2.4 Funktionen positiven Typs

Zyklische Darstellungen kann man durch spezielle Funktionen auf der Gruppe $G$ bis auf Äquivalenz klassifizieren. Es gilt

Im folgenden sollen solche Funktionen genauer betrachtet werden. Vorerst eine Definition:

Wir benötigen noch ein paar elementare Eigenschaften von Funktionen positivem Typs. Bezeichne dazu im folgenden $\mathcal P_1(G)= \{F\in \mathcal P(G) : F(1)=1\}$. Es gilt $\partial_{\rm ext}\mathcal P_{\le1}(G) = \partial_{\rm ext}\mathcal P_1(G) \cup \{0\}$, die Menge $\partial_{\rm ext}\mathcal P_1(G)$ beschreibt also genau die Äquivalenzklassen irreduzibler unitärer Darstellungen von $G$.

Der Satz von Gelfand–Raikov impliziert, daß jede lokalkompakte Gruppe genug irreduzible Darstellungen besitzt, um ihre (topologische) Gruppenstruktur zu beschreiben. Er war der Ausgangspunkt für ein intensives Studium abstrakter harmonischer Analysis auf Gruppen. Wir wollen uns im folgenden auf spezielle Familien von Gruppen beschränken und für diese alle irreduziblen unitären Darstellungen klassifizieren sowie die mit ihnen verbundenen Integraltransformationen untersuchen.

3 Lokalkompakte abelsche Gruppen

Im folgenden sei $G$ eine additiv geschriebene lokalkompakte abelsche Gruppe.

3.1 Charaktere

Auf kompakten Gruppen wird das Haarmaß so normalisiert, daß ${\boldsymbol{|}G\boldsymbol{|}}=1$ gilt.

3.2 Spektralzerlegungen unitärer Darstellungen

Eine Folgerung ist hervorzuheben. Speziell für den Fall $G=\mathbb R$ erhält man den Satz von Stone. Dieser charakterisiert stark stetige Gruppen unitärer Operatoren beziehungsweise in einer äquivalenten Fassung (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren. Wir geben zwei Fassungen, die zweite kann als Spezialfall der ersten aufgefaßt werden.

Eine weitere unmittelbare Folgerung von Satz Satz 3.8 ist die nachfolgende Charakterisierung von Funktionen positiven Typs.

3.3 Dualität

Inversion der Fouriertransformation

Wir normieren das Haarmaß auf $\widehat G$ im folgenden so, daß $c=1$ gilt und nennen $\,\mathrm d\xi$ das zu $\,\mathrm dx$ duale Haarmaß.

Der Pontrjaginsche Dualitätssatz

3.4 Symmetriezerlegungen

Im folgenden sollen Operatoren betrachtet werden, welche zusätzliche Symmetrie besitzen. Das einfachste Beispiel sind translationsinvariante Operatoren auf dem $\mathbb R^n$. Bei diesen handelt es sich stets um Faltungen und sie werden durch die Fouriertransformation diagonalisiert. Das geht auch allgemeiner:

Das gerade konstruierte Modell des Hilbertraums $H$ ist durch das gegebene Spektralmaß eindeutig bestimmt. Wir werden uns im folgenden den Hilbertraum immer durch dieses kanonsiche Modell gegeben denken. Verflechtungsoperatoren zerfallen in Operatoren auf $\mathrm L^2(\Sigma_n,\,\mathrm d\nu;\ell^2(n))$ für die einzelnen Mengen $\Sigma_n$ und diese wiederum in Multiplikationen mit $\mathcal L(\ell^2(n))$-wertigen Funktionen. Für letztere benötigen wir noch eine Definition.

Weiterhin ist eine Funktion $f : \Sigma \to H$ für einen separablen Hilbertraum $H$ genau dann $\mathcal B(\Sigma)$-$\mathcal B(H)$-meßbar, wenn sie stark meßbar ist, also wenn eine Folge $f_N$ borelmeßarer Funktionen mit endlichem Wertebereich existiert und $f_N(\xi)\to f(\xi)$ in $H$ fast überall gilt; und letzteres genau dann, wenn sie schwach meßbar ist, also wenn für alle $v\in H$ \[\Sigma\ni\xi \mapsto {\pmb(f(\xi),v\pmb)}\] $\mathcal B(\Sigma)$-$\mathcal B(\mathbb C)$-meßbar ist. Für einen Beweis nutzt man die Darstellung $f(\xi) = \sum_k {\pmb(f(\xi),\mathrm e_k\pmb)} \mathrm e_k$. Ist $f$ meßbar, dann ist die skalare Funktion $\xi\mapsto {\pmb(f(\xi),\mathrm e_k\pmb)}$ ebenfalls meßbar und kann damit durch Treppenfunktionen approximiert werden. Damit liefern endliche Summen eine Folge endlich-wertiger Funktionen, die punktweise fast überall gegen $f$ konvergiert. Also folgt starke Meßbarkeit. Borelmeßbarkeit folgt, da punktweise Grenzwerte borelmeßbarer Funktionen wieder borelmeßbar sind.

Beispiel 3.35. Für Anwendungen des Satzes Satz 3.33 wird die unitäre Abbildung eines Hilbertraumes $H$ in sein kanonisches Modell in expliziter Form benötigt. Wie wir schon gesehen haben, ist sie für die linksreguläre Darstellung von $G$ in $\mathrm L^2(G)$ gerade durch die Fouriertransformation gegeben. Wir wollen im folgenden ein zweites Beispiel im Detail diskutieren und betrachten dazu die Aktion eines Gitters $\Lambda$ auf $\mathrm L^2(\mathbb R^n)$. Dies führt zur sogenannten Floquet²⁵–Bloch²⁶-Zerlegung des Raumes $\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ und zur Charakterisierung periodischer Operatoren auf diesem Raum.

Sei also im folgenden $\Lambda\subset\mathbb R^n$ ein Gitter und $\Lambda^\circ = \{ \xi\in \mathbb R^n : \forall_{x\in\Lambda} \, \xi\cdot x \in\mathbb Z\}$ das zugehörige duale Gitter. Weiter sei $\Xi = \mathbb R^n/\Lambda^\circ = \widehat\Lambda$ die zu $\Lambda$ duale Gruppe und $\Omega\subset\mathbb R^n$ eine Translationszelle des Gitters $\Lambda$. Als kanonische Wahl bietet sich dafür die Wigner²⁷–Seitz²⁸-Zelle \[\Omega = \{ x\in\mathbb R^n : |x| < \mathop{\mathrm{dist}}(x, \Lambda\setminus\{0\}) \}\] an. Sei nun $f\in\mathrm C_c(\mathbb R^n)$. Dann kann zu $\xi\in\Xi$ die Reihe \[\label{eq:3.4:FloquetBloch} f_\xi(x) = \sum_{y\in\Lambda} f(x-y) \mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi \cdot y}\] betrachtet werden. Diese ist für jedes $x$ eine endliche Summe und erfüllt \[\label{eq:3.4.27} f_\xi(x+z) = \sum_{y\in\Lambda} f(x+z-y) \mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi \cdot y} = \sum_{y\in\Lambda} f(x-y) \mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi \cdot (y+z)} = f_\xi(x) \mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi\cdot z}\] für alle $z\in\Lambda$ sowie \[\begin{aligned} \frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \int_\Xi \int_\Omega | f_\xi(x) |^2 \,\mathrm dx \,\mathrm d\xi&=\frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}}\sum_{y,z\in\Lambda} \int_\Xi \mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi\cdot(y-z)} \,\mathrm d\xi \int_\Omega f(x-y) \overline{f(x- z)} \,\mathrm dx \notag\\ & = \sum_{y\in\Lambda} \int_\Omega |f(x-y)|^2 \,\mathrm dy = \int_{\mathbb R^n} |f(x)|^2 \,\mathrm dx,\end{aligned}\] da die $\mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi\cdot y}$ Funktionen zu $y\in\Lambda$ eine Orthogonalbasis von $\Xi$ bilden. Damit ergibt sich eine Isometrie von $\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ in $\mathrm L^2(\Xi,\widetilde{\,\mathrm d\xi}; \mathrm L^2(\Omega))\simeq \mathrm L^2(\Xi\times\Omega,\widetilde{\,\mathrm d\xi}\otimes\,\mathrm dx)$ mit dem normierten Maß $\widetilde{\,\mathrm d\xi} = {\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}^{-1} \,\mathrm d\xi$. Diese ist surjektiv. Angenommen, $g\in \mathrm L^2(\Xi\times\Omega,\widetilde{\,\mathrm d\xi}\otimes\,\mathrm dx)$ erfüllt $g\perp f_\xi$ für alle $f\in\mathrm L^2(\mathbb R^n)$. Dann folgt \[\begin{aligned} 0 &= \frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \int_\Xi \int_\Omega g(\xi,x) \overline{f_\xi(x)} \,\mathrm dx\,\mathrm d\xi = \frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \sum_{y\in\Lambda} \int_\Xi \int_\Omega g(\xi,x) \overline{f(x-y)} \mathrm e^{-2\pi\mathrm i\xi\cdot y}\,\mathrm dx\,\mathrm d\xi\notag\\ &= \sum_{y\in\Lambda} \int_{\Omega-y} \left(\frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \int_\Xi g(\xi,x+y) \mathrm e^{-2\pi\mathrm i\xi\cdot y} \,\mathrm d\xi \right) \overline{f(x)} \,\mathrm dx\notag\\ &= \sum_{y\in\Lambda} \int_{\Omega-y} \widehat g(y,x+y) \overline{f(x)} \,\mathrm dx = \int_{\mathbb R^n} \widetilde g(x) \overline{f(x)}\,\mathrm dx\end{aligned}\] für $\widetilde g(x) = \widehat g(y,x+y)$ für $x\in \Omega-y$. Nun ist aber mit der Parsevalidentität \[\int_{\mathbb R^n} |\widetilde g(x)|^2 \,\mathrm dx = \sum_{y\in\Lambda} \int_{\Omega} |\widehat g(y,x)|^2 \,\mathrm dx = \frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \int_\Xi \int_\Omega |g(x)|^2 \,\mathrm dx\] und somit folgt $\widetilde g=0$ und damit auch $g=0$ und die angegebene Isometrie ist ein Isomorphismus \[\mathrm L^2(\mathbb R^n) = \mathrm L^2(\Xi,\widetilde{\,\mathrm d\xi}; \mathrm L^2(\Omega)).\] Aus der Rechnung folgt insbesondere die Inversionsformel \[f(x) = \frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \int_\Xi \mathrm e^{-2\pi\mathrm i\xi\cdot y} f_\xi(x+y) \,\mathrm d\xi,\qquad x\in \Omega-y,\quad y\in\Lambda\] der Floquet–Bloch-Transformation [eq:3.4:FloquetBloch].

Proposition 3.2 (Floquet–Bloch-Zerlegung). Sei $\Lambda\subset\mathbb R^n$ ein Gitter, $\Xi=\mathbb R^n/\Lambda^\circ$ die zu $\Lambda$ duale Gruppe und $\Omega$ eine Translationszelle von $\Lambda$. Dann gilt $\mathrm L^2(\mathbb R^n) \simeq \mathrm L^2(\Xi\times\Omega)$ mit der Floquet–Bloch-Transformation \[f_\xi(x) = \sum_{y\in\Lambda} f(x-y) \mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi \cdot y},\qquad x\in\Omega,\quad \xi\in\Xi,\] mit der Inversen \[f(x) = \frac1{{\boldsymbol{|}\Xi\boldsymbol{|}}} \int_\Xi \mathrm e^{-2\pi\mathrm i\xi\cdot y} f_\xi(x+y) \,\mathrm d\xi,\qquad x\in \Omega-y,\quad y\in\Lambda\] als Isomorphismus.

Weiter entspricht die Translation um $y\in\Lambda$ in $\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ auf dem $\mathrm L^2(\Xi\times \Omega)$ der Multiplikation mit $\xi\mapsto\mathrm e^{2\pi\mathrm i\xi\cdot y}$ und die so erhaltene Darstellung ist das gesuchte kanonische Modell.

Satz 3.1 (Floquet–Bloch-Zerlegung von Operatoren). Sei $\Lambda\subset\mathbb R^n$ ein Gitter, $\Xi=\mathbb R^n/\Lambda^\circ$ die zu $\Lambda$ duale Gruppe und $\Omega$ eine Translationszelle von $\Lambda$. Dann sind äquivalent:

Der Operator $A\in\mathcal L(\mathrm L^2(\mathbb R^n))$ kommutiert mit allen Gittertranslationen des Gitters $\Lambda$.
Es existiert eine beschränkte schwach meßbare Funktion \[a : \Xi \to \mathcal L(\mathrm L^2(\Omega)),\] so daß \[g=Af \qquad\Longleftrightarrow\qquad g_\xi = a(\xi) f_\xi \quad \text{fast \"uberall in $\xi\in\Xi$}\] für die Floquet–Bloch-Transformierten $f_\xi$ und $g_\xi$ der Funktionen $f,g\in\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ gilt.

Anwendungen findet die Floquet–Bloch-Zerlegung insbesondere in der Festkörperphysik, also dem Studium von Schrödingeroperatoren mit periodischem Potential. Dazu ist Satz Satz 3.33 auf den $\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ sowie den Definitions-/Formbereich des Operators (z.B. die Sobolevräume $\mathrm H^2(\mathbb R^n)$ und $\mathrm H^1(\mathbb R^n)$) anzuwenden. Wir werden dies beispielhaft in der Übung diskutieren.

4 Kompakte Gruppen

In diesem Kapitel betrachten wir kompakte, aber dafür im allgemeinen nichtabelsche, Gruppen $G$. Diese erlauben ebenso wie lokalkompakte abelsche Gruppen eine komplette Beschreibung aller irreduziblen unitären Darstellungen sowie eine zugeordnete (nichtkommutative) harmonische Analysis. Es sei daran erinnert, daß kompakte Gruppen immer unimodular sind.

4.1 Darstellungen kompakter Gruppen

4.2 Das Peter–Weyl-Theorem

Es ist natürlich, die Räume $\mathcal E_\pi$ als Teilräume des Hilbertraumes $\mathrm L^2(G)$ (versehen mit dem linksinvarianten Haarmaß der Gruppe $G$) zu verstehen.

Die Räume $\mathcal E_\xi$ sind sowohl unter Links- als auch unter Rechtstranslationen invariant. Die gerade konstruierte Orthonormalbasis erlaubt dafür eine einfache Basisdarstellung.

Sei im folgenden \[\mathcal E= \mathop{\mathrm{span}}\bigcup_{[\xi]\in\widehat G} \mathcal E_\xi\] die Menge der (endlichen) Linearkombinationen von Matrixelementen. Die Funktionen aus $\mathcal E$ kann man als Verallgemeinerung der trigonometrischen Polynome auf die Gruppe $G$ auffassen.

Die matrixwertige Funktion $\widehat f(\xi)$ auf den irreduziblen Darstellungen von $G$ wird als (nichtkommutative) Fouriertransformierte von $f$ bezeichnet. Die Fouriertransformation besitzt analoge Eigenschaften zu der auf abelschen Gruppen.

4.3 Symmetriezerlegungen

Sei $\pi : G \to \mathcal L(H)$ unitäre Darstellung der kompakten Gruppe $G$ in einem Hilbertraum $H$. Ziel ist es wiederum, alle Operatoren $A\in\mathop{\mathrm{Com}}(\pi)$ zu beschreiben. Als motivierendes Beispiel betrachten wir wiederum linksinvariante Operatoren, also Operatoren, welche mit Linkstranslationen kommutieren.

4.4 Laplacereihen und Darstellungen der Gruppe $\mathrm{SO}(n)$

Die Orthogonalpolynome $p_k$ mit [eq:4:gegenbauerorth] und geeigneter Normierung werden als Gegenbauerpolynome zum Gewicht $\alpha=(n-2)/2$ bezeichnet. Diese, sowie die Funktionen $\mathcal Y_k$, sind nach Konstruktion reellwertig. Da $\mathcal Y_k$ auf $\Pi_{k-1}$ orthogonal ist, handelt es sich um die Einschränkung eines homogenen Polynoms vom Grad $k$.

5 Darstellungen der Heisenberggruppe

5.1 Symplektische Vektorräume und die Heisenberggruppe

Die so konstruierte Gruppe wird als zu $S$ zugeordnete Heisenberggruppe ³⁵ bezeichnet. Das kanonische Modell endlichdimensionaler symplektischer Vektorräume liefert die Familie der (symmetrischen) Heisenberggruppen $\mathbb H_n$ \[\mathbb H_n = \{ (x,\xi,\tau) \;|\; x,\xi\in\mathbb R^n,\; \tau \in\mathbb R\}\] mit der Operation \[(x,\xi,\tau)\boxplus (y,\eta,\sigma) = (x+y, \xi+ \eta, \tau+\sigma + \textstyle\frac12(x\cdot \eta-y\cdot\xi) ),\] dem neutralen Element $0=(0,0,0)$ und dem Inversen $\boxminus (x,\xi,\tau) = ( -x, -\xi, - \tau )$. Versehen mit der Topologie des $\mathbb R^{2n+1}$ handelt es sich um eine lokalkompakte topologische Gruppe. Sie ist unimodular und das Haarmaß durch das Lebesguemaß gegeben.

5.2 Der Satz von Stone–von Neumann

Im folgenden sollen alle irreduziblen Darstellungen der Heisenberggruppe konstruiert werden. Wir folgen dabei nicht dem Originalbeweis von Stone und von Neumann sondern den Arbeiten von Mackey³⁶ (die sich auf viele andere Gruppen verallgemeinern lassen). Die Konstruktion basiert auf der Hellinger–Hahn-Zerlegung von Spektralmaßen sowie folgendem elementaren Lemma.

5.9. Die endlichdimensionalen Darstellungen sind eher uninterressant und werden im folgenden keine Rolle spielen. Für die unendlichdimensionalen Darstellungen der Heisenberggruppe schreiben wir \[\rho_\lambda(x,\xi,\tau) = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\lambda \tau + \pi\mathrm i\lambda x\cdot\xi} M_{\xi} T_{\lambda x} ,\qquad \lambda\in\mathbb R\setminus\{0\}.\] Diese werden als Schrödingerdarstellungen ³⁸ von $\mathbb H_n$ bezeichnet. Der Parameter $\lambda$ entspricht dem Planckschen Wirkungsquantum der Quantenmechanik. Im folgenden werden wir Variablen in $\mathbb H_n$ mit Großbuchstaben bezeichnen und schreiben somit kurz $\rho_\lambda(X)$ für $\rho_\lambda(x,\xi,\tau)$.

Bevor wir weitere Aussagen beweisen, fassen wir zuerst einige wichtige Formeln zusammen.

Da die Schrödingerdarstellungen irreduzibel sind, gilt für jedes feste $\lambda\in\mathbb R\setminus\{0\}$ und jede Nichtnullfunktion $f\in\mathrm L^2(\mathbb R^n)$, $f\ne 0$, \[\mathrm L^2(\mathbb R^{n}) = \overline{\mathop{\mathrm{span}}}\{ \rho_\lambda(X) f : X\in\mathbb H_n \}.\]
Weiter ist für jedes $f\in\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ mit $\|f\|_2=1$ die Funktion \[V_f(X) = {\pmb(\rho_\lambda(X) f,f\pmb)}\] von positivem Typ auf $\mathbb H_n$ und normiert. Sie wird als quadratische Fourier–Wigner-Verteilung ³⁹ von $f$ zum Parameter $\lambda$ bezeichnet. Wir beschränken uns auf den Fall $\lambda=1$. Einsetzen der Definition der Schrödingerdarstellung liefert dann für $X=(x,\xi,\tau)$ \[\begin{aligned} V_f(x,\xi,\tau) &= {\pmb(\rho(x,\xi,\tau)f,f\pmb)} = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau} \int_{\mathbb R^n} \mathrm e^{ \pi\mathrm i( x-2y)\cdot\xi} f(y- x) \overline{f(y)} \,\mathrm dy\notag\\ &= \mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau} \int_{\mathbb R^n} \mathrm e^{- 2 \pi\mathrm iy\cdot\xi} f\left(y-\frac { x}2\right) \overline{f\left(y+\frac { x}2\right)} \,\mathrm dy,\end{aligned}\] die $\tau$-Abhängigkeit wird oft ignoriert und stattdessen $\mathcal V_f(x,\xi)=V_f(x,\xi,0)$ betrachtet. Eng dazu verwand sind die Matrixkoeffizienten der Darstellung, \[V_{f,g}(X) = {\pmb(\rho(X) f,g\pmb)},\qquad f,g\in\mathrm L^2(\mathbb R^{2n}),\] mit expliziter Form \[V_{f,g}(x,\xi,\tau) = {\pmb(\rho(x,\xi,\tau)f,g\pmb)} = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau} \int_{\mathbb R^n} \mathrm e^{- 2 \pi\mathrm iy\cdot\xi} f\left(y-\frac{ x}2\right) \overline{g\left(y+\frac{ x}2\right)} \,\mathrm dy.\] Wiederum beschränkt man sich oft auf den Fall $\tau=0$ und definiert $\mathcal V_{f,g}(x,\xi) = V_{f,g}(x,\xi,0)$. In diesem Fall gilt die Moyal-Identität ⁴⁰ \[{\pmb(\mathcal V_{f_1,g_1},\mathcal V_{f_2,g_2}\pmb)}_{\mathrm L^2(\mathbb R^{2n})} = {\pmb(f_1,f_2\pmb)}_{\mathrm L^2(\mathbb R^n)}\, \overline{ {\pmb(g_1,g_2\pmb)} }_{\mathrm L^2(\mathbb R^n)}\] (welche direkt aus der Plancherel-Identität der Fouriertransformation folgt) sowie die Abschätzung \[\| \mathcal V_{f,g}\|_\infty \le \|f\|_2 \|g\|_2.\] Die stetige Fortsetzung $\mathcal V : \mathrm L^2(\mathbb R^n) \widehat\otimes \mathrm L^2(\mathbb R^n) \to \mathrm L^2(\mathbb R^{2n})$ ist unitär und wird als Fourier–Wigner-Transformation bezeichnet.
Sei $F\in\mathrm L^1(\mathbb H_n)$. Dann liefert die zugeordnete integrierte Darstellung den Operator \[\rho_\lambda(F) = \int_{\mathbb H_n} F(X) \rho_\lambda(X) \,\mathrm dX = \iiint F(x,\xi,\tau) \mathrm e^{2\pi\mathrm i\lambda\tau+\pi\mathrm i\lambda x\cdot\xi} M_{\xi}T_{\lambda x} \,\mathrm dx\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\tau.\] Es gilt $\rho_\lambda(F)\in\mathcal L(\mathrm L^2(\mathbb R^n))$ mit $\|\rho_\lambda(F)\|\le \|F\|_1$. Verwandt dazu ist die nichtkommutative Fouriertransformation, wir definieren \[\widehat F(\rho_\lambda) = \int_{\mathbb H_n} F(X) \rho_\lambda(\boxminus X)\,\mathrm dX\] und geben wiederum der Vollständigkeit halber eine explizite Formel dafür an. Es gilt für $F\in\mathrm L^1(\mathbb H_n)$ und $\phi\in\mathrm L^2(\mathbb R^n)$ \[\begin{aligned} \widehat F(\rho_\lambda) \phi(x) &= \iiint F(y,\eta,\sigma) \rho_\lambda(-y,-\eta,-\sigma)\phi(x) \,\mathrm dy\,\mathrm d\eta\,\mathrm d\sigma\\\notag &=\iiint F(y,\eta,\sigma) \mathrm e^{-2\pi\mathrm i\lambda\sigma+\pi\mathrm i\lambda y\cdot\eta+2\pi\mathrm ix\cdot\eta } \phi(x+\lambda y) \,\mathrm dy\,\mathrm d\eta\,\mathrm d\sigma\\\notag &= |\lambda|^{-n}\iiint F(\lambda^{-1}(y-x),\eta,\sigma) \mathrm e^{\pi\mathrm i(x+y)\cdot \eta - 2\pi\mathrm i\lambda\sigma }\phi(y) \,\mathrm dy\,\mathrm d\eta\,\mathrm d\sigma\end{aligned}\] und $\widehat F(\rho_\lambda)$ ist ein Integraloperator mit Integralkern \[|\lambda|^{-n} \iint F(\lambda^{-1}(y-x),\eta,\sigma) \mathrm e^{\pi\mathrm i(x+y)\cdot \eta - 2\pi\mathrm i\lambda\sigma } \,\mathrm d\eta\,\mathrm d\sigma.\]

Für das folgende benötigen wir den Schwartzraum $\mathcal S(\mathbb H_n)$ auf der Heisenberggruppe; wir bezeichnen eine Funktion $\mathbb H_n\to\mathbb C$ als Schwartzfunktion, falls sie als Funktion auf $\mathbb R^{2n+1}$ Schwartz ist.

5.3 Der Bargmannraum

Der Bargmannraum besitzt als Hilbertraum analytischer Funktionen einige bemerkenswerte Eigenschaften. So ist die Punktauswertung stetig und der Raum mit einem reproduzierenden Kern ausgestattet. Das erlaubt insbesondere die effektive Berechnung von Operatoren.

Die Funktion $E_z(w)$ wird als reproduzierender Kern des Hilbertraumes $\mathcal H(\mathbb C^n)$ bezeichnet. Er entspricht auch dem Integralkern des Orthogonalprojektors $\mathrm L^2(\mathbb C^n, \mathrm e^{-\pi|z|^2}\,\mathrm dz) \to \mathcal H(\mathbb C^n)$. In $\mathcal H(\mathbb C^n)$ besitzt jeder beschränkte Operator einen analytischen Integralkern:

5.4 Phasenraumdarstellungen und Operatoren

Allerdings gilt eine Positivität im Mittel. Sei dazu \[\Phi_{a,b}(x,\xi) = 2^n (ab)^{-n/2} \mathrm e^{-2\pi (\frac{x^2}a+\frac{\xi^2}b )},\qquad a,b>0.\] Dann gilt die Halbgruppeneigenschaft $\Phi_{a,b}*\Phi_{c,d}=\Phi_{a+c,b+d}$ für die Faltung auf $\mathbb R^{2n}$. Damit folgt nun

Die Aussage dieses Lemmas gilt auch für unbeschränkte Operatoren, solange die reproduzierenden Kerne $E_z$ für alle $z$ zum Definitionsbereich des Operators $T$ und seines adjungierten $T^*$ gehören. Damit gibt es eine Bijektion zwischen Operatoren und Wicksymbolen. Im Falle von Anti-Wickoperatoren ist dies anders, nicht jeder Operator besitzt ein Antiwicksymbol. Sei dazu $p: \mathbb C^n\to\mathbb C$ beschränkt und meßbar, so kann man $p$ den Anti-Wickoperator \[T_p^{\rm AW} f (z) = \int_{\mathbb C^n} p(\overline w,w) \mathrm e^{\pi z\cdot\overline w} f(w) \mathrm e^{-\pi |w|^2} \,\mathrm dw\] zuordnen (man schreibt $p(\overline z,z)$ um die nicht-Holomorphie der Funktion $p$ zu betonen). Dieser entspricht der Projektion der Funktion $p(\overline z,z)f(z)$ auf den Teilraum $\mathcal H(\mathbb C^n)$ der holomorphen Funktionen in $\mathrm L^2(\mathbb C^n, \mathrm e^{-\pi|z|^2}\,\mathrm dz)$ und ist damit Beispiel eines Toeplitzoperators. Solche Operatoren besitzen eindeutig bestimmte Symbole:

Das gerade gezeigte Lemma gilt natürlich auch für unbeschränkte Anti-Wickoperatoren, falls $|p(\overline z,z)|\le C \mathrm e^{\delta|z|^2}$ für ein $\delta<\pi/2$ gilt. Damit kann man einem Operator $T$, welcher ein Anti-Wicksymbol besitzt, dieses eindeutig zuordnen. Wir bezeichnen dies mit $\sigma_T^{\rm AW}$. Es stellt sich die Frage, welche Operatoren Anti-Wicksymbole besitzen. Das sind recht wenige.

Ein Operator, welcher ein Anti-Wicksymbol besitzt, besitzt damit notwendigerweise das Weylsymbol \[\sigma(x,\xi) = 2^n \int_{\mathbb C^n} \mathrm e^{-2\pi | (x+\mathrm i\xi)-z|^2} \sigma_T^{\rm AW} (\overline z,z)\,\mathrm dz,\] welches damit Einschränkung einer ganzen Funktion des $\mathbb C^{2n}$ auf den $\mathbb R^{2n}$ ist. Trotz allem sind Anti-Wickoperatoren schön, für diese ist $T_p^{\rm AW}$ selbstadjungiert und positiv definit, falls $p$ als Funktion positiv und reellwertig ist. So einfache Kriterien gelten weder für Weyl- noch für Wickoperatoren.

6 Einige Sätze aus der Funktionalanalysis

6.1 Der Satz von Krein–Milman

Es sei im folgenden $V$ ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und $K \subset V$. Ein Randpunkt $x \in \partial K$ heißt Extremalpunkt , wenn es keine zwei Punkte $y , z \in K \cup \partial K$ gibt, so daß $y\ne z$ und $x=ty+(1-t)z$ für ein $0 < t <1$. Die Menge der Extremalpunkte von $K$ bezeichnen wir mit $\partial_{\rm ext} K$. Eine nichtleere Teilmenge $B \subset K$ heißt extremal , wenn für zwei Elemente $y,z \in K$, deren Verbindungsstrecke $\overline{yz} = \{ t y + (1-t)z : 0 < t < 1 \}$ \[\overline{yz} \cap B \neq \varnothing\] erfüllt, bereits $y,z\in B$ gilt. Eine kompakte extremale Teilmenge von $K$ heißt minimale kompakte extremale Teilmenge von $K$, wenn sie keine echten kompakten, extemalen Teilmengen enthält. Bevor wir den Satz von Krein–Milman beweisen, benötigen wir zwei Lemmata.

Lemma 6.1. Eine minimale kompakte extremale Teilmenge $A$ von $K$ ist einelementig.

Proof. Wir nehmen an, $A$ enthält zwei verschiedene Punkte $a,b$. Dann existiert nach Hahn–Banach ein $\varphi \in V'$, so daß $f = \Re \varphi$ verschiedene Werte auf $a$ und $b$ annimmt. Sei $\rho := \min_A f$. Wegen Kompaktheit von $A$ ist die Menge \[B:= \{ k \in A | f(k) = \rho \}\] nicht leer und es gilt $B \neq A$, da $f$ auf $A$ unterschiedliche Werte annimmt. Wegen Stetigkeit von $f$ ist $B$ eine abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge $A$ und damit selbst kompakt. Wir zeigen, daß $B$ extremal in $A$ (und damit auch in $K$) ist, was der Minimalität von $A$ widerspricht. Seien $y,z \in A$ mit $\overline{yz} \cap B \neq \varnothing$. Dann gibt es ein $t \in (0,1)$ mit \[\begin{aligned} \rho = f(ty+(1-t)z) = tf(y) + (1-t)f(z).\end{aligned}\] Nach Definition von $B$ gilt $f(y) \ge \rho$, $f(z) \ge \rho$. Ist eine Ungleichheit strikt, so erhält man in der obigen Gleichung den Widerspruch $\rho > \rho$. Also gilt $f(z) = \rho = f(y)$ und damit $y,z \in B$, was zeigt, daß $B$ extremal in $A$ ist. ◻

Lemma 6.2. Ist $K \neq \varnothing$ kompakt, dann gibt es extremale Punkte in $K$.

Proof. Sei $\mathcal{A}$ die Familie aller kompakten, extremalen Teilmengen von $K$. Diese ist wegen $K \in \mathcal{A}$ nicht leer und mit der Mengeninklusion partiell geordnet. Sei $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$ eine Kette, dann ist $\bigcap \mathcal{B}$ eine nicht leere, kompakte, extremale Menge in $K$, die zur Familie $\mathcal{A}$ gehört und eine untere Schranke für $\mathcal{B}$ ist. Nach dem Lemma von Zorn hat $\mathcal{A}$ folglich ein minimales Element, welches nach Lemma Lemma 6.1 die Form $\{ a \}$ für ein $a\in K$. $K$ hat also den Extremalpunkt $a$. ◻

Satz 6.3 (Krein–Milman). Ist $K$ kompakt, so gilt $K \subset \overline{\mathop{\mathrm{conv}}} \,\partial_{\rm ext} K$.

Proof. Es sei $K \neq \varnothing$. Dann ist nach Lemma Lemma 6.2 $\partial_{\rm ext} K \neq \varnothing$ und folglich $N := \overline{\mathop{\mathrm{conv}}} \partial_{\rm ext} K$ nichtleer, konvex und abgeschlossen. Wir nehmen an, daß ein $x \in K$ existiert, welches nicht in $N$ enthalten ist. Nach dem Trennungssatz von Hahn–Banach, Beweis in der Funktionalanalysis, existiert dann ein $\varphi \in V'$ mit $f(x) < \inf_N f$, wobei $f = \Re \varphi$. Wir definieren \[B:= \{ k \in K | f(k) = \rho := \min_K f \}.\] Dann ist $B$ (analog zum Beweis von Lemma Lemma 6.1) extremal in $K$ sowie nicht leer und abgeschlossen, also als Teilmenge von $K$ kompakt. Nach Lemma Lemma 6.2 existiert folglich ein Extremalpunkt $b \in B$. Weil $B$ extremal in $K$ ist, ist $b$ Extremalpunkt von $K$ und es gilt $b \in \partial_{\rm ext} K \subset N$. Wir erhalten \[\rho = f(b) \ge \inf_N f > f(x) \ge \min_K f = \rho.\] Ein Widerspruch. ◻

6.2 Der Satz von Stone-Weierstraß

Sei im folgenden $X$ ein kompakter Hausdorffraum, $\mathrm C(X)$ der Raum der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf $X$.

Satz 6.4 (Stone-Weierstraß). Sei $A \subset\mathrm C(X)$ eine *-Unteralgebra mit Eins, die punktetrennend auf $X$ ist. Dann ist $A$ dicht in $\mathrm C(X)$.

Proof. Es bezeichne $A^\perp$ den Annihilator von $A$, also die Menge aller $\mu \in \mathrm C(X)'$, so daß $\int_X fd\mu = 0$ für alle $f \in A$ gilt. Wir definieren\[K := \{ \mu \in A^\perp : \lVert \mu \rVert \le 1 \},\] dann ist $K$ konvex (als Schnitt eines Unterraums mit einer Kugel) und schwach*-kompakt (nach dem Satz von Alaoglu). Ist $K=0$, so ist $A^\perp =0$, also $A =\mathrm C(X)$. Wir nehmen also an, daß $K \neq 0$ gilt. Sei $\mu \in K$ ein extremaler Punkt, welcher nach Lemma Lemma 6.2 existiert. Dann gilt offenbar $\lVert \mu \rVert = 1$. Weiter sei $E$ der Träger von $\mu$. Dieser ist als abgeschlossene Teilmenge von $X$ kompakt und es gilt $|\mu|(E) = 1$. $E$ ist offenbar die kleinste Menge mit diesen beiden Eigenschaften. Wir wählen ein $f\in A$ mit $0 < f(x) < 1$ für alle $x \in E$ und definieren \[d\sigma = f d\mu, \hspace{0.5cm} d\tau = (1-f)d\mu.\] Weil $A$ eine Algebra ist, gilt $d\sigma, d\tau \in A^\perp$. Weiter gilt wegen $0<f<1$ auf $E$ auch $\lVert \tau \rVert > 0$ und $\lVert \sigma \rVert >0$. Wir können berechnen: \[\lVert \sigma \rVert + \lVert \tau \rVert = \int_E f d|\mu| + \int_E (1-f) d|\mu| = |\mu|(E) = 1.\] Es folgt, daß $\mu = \lVert \sigma \rVert (\sigma/ \lVert \sigma \rVert) + \lVert \tau \rVert (\tau/ \lVert \tau \rVert)$ eine konvexe Kombination von $\sigma_1 = (\sigma/ \lVert \sigma \rVert)$ und $\tau_1 = (\tau/ \lVert \tau \rVert)$ ist, welche beide in $K$ enthalten sind. Da $\mu$ Extremalpunkt ist, gilt aber $\mu = \sigma_1$, also $f d\mu = \lVert \sigma \rVert d\mu$ und damit $f(x) = \lVert \sigma \rVert$ für alle $x \in E$. Sei nun $g \in A$ und $g$ nehme auf $E$ nur reelle Werte an. Hat $g$ eine Nullstelle in $E$, so existiert wegen Kompaktheit von $g$ eine Konstante $c$, so daß $g+c >0$. Wegen $1 \in A$ ist $g+c \in A$. Wegen Kompaktheit von $E$ existiert weiter eine Konstante $\lambda \in \mathbb R$, so daß $0 < \lambda(g+c) < 1$. Nach der obigen Rechnung folgt, daß $\lambda(g+c)$ und damit $g$ konstant (auf E) ist. Hätte $E$ zwei verschiedene Elemente $a\neq b$, so würde, da $A$ punktetrennend ist, ein $f \in A$ existieren mit $f(a) \neq f(b)$. Da $A$ *-Unteralgebra ist, sind $\Re f, \Im f \in A$. Da aber $\Re f (a) \neq \Re f(b)$ oder $\Im f(a) \neq \Im f(b)$ gilt, gäbe es eine auf $E$ nicht konstante, reellwertige Funktion in $A$. Ein Widerspruch. Also ist $E$ einelementig und somit $\mu = c \delta_x$ mit $E=\{ x \}$ und einer Konstanten $c$. Aber mit $1 \in A$ folgt $0=\int_X 1 d\mu = c \delta_x(X) = c$. Ein Widerspruch zu $\lVert \mu \rVert =1$. Also ist der Fall $K \neq 0$ nicht möglich und der Satz bewiesen. ◻

6.3 Die Hellinger–Hahn-Zerlegung von Spektralmaßen

Sei $H$ separabler Hilbertraum und $\boldsymbol\mu$ ein $\mathcal L(H)$-wertiges Spektralmaß auf einem lokalkompakten Hausdorffraum $\Sigma$. Sei weiter zu jeder beschränkten borelmeßbaren Funktion $f\in\mathrm B(\Sigma)$ durch der Operator $T_f\in\mathcal L(H)$ via [eq:1.3.24] definiert. Dann gilt

Lemma 6.5. Es gibt eine (möglicherweise endliche) Folge $(u_k)$ von Vektoren $u_k\in H$ mit $\|u_k\|=1$, so daß \[H = \bigoplus_k \mathfrak Z(u_k) ,\qquad \mathfrak Z(u_k) = \overline{\mathop{\mathrm{span}}} \{ T_f u_k : f\in \mathrm B(\Sigma) \} %\simeq \int^\oplus_{\Sigma} \C \d\mu_{u_k,u_k}(\zeta) .\] als orthogonale direkte Summe gilt.

Proof. Man startet mit einer in $H$ dichten Folge und normiert das erste von Null verschiedene Element. Dies liefert $\mathfrak Z(u_1)$. Danach projiziert man die weiteren Folgenglieder auf $\mathfrak Z(u_1)^\perp$ und wählt das erste mit von Null verschiedener Projektion. Dies normiert liefert $\mathfrak Z(u_2)$. Da $u_2\perp\mathfrak Z(u_1)$ gilt, folgt $\mathfrak Z(u_2)\perp \mathfrak Z(u_1)$. Im Schritt $k$ projiziert man auf $(\mathfrak Z(u_1)\oplus \cdots \oplus\mathfrak Z(u_{k-1}))^\perp$ und normiert wiederum die erste von Null verschiedene Projektion. Etc. Das liefert die gesuchte Folge $(u_k)$ und nach Konstrution gilt $H=\bigoplus_k \mathfrak Z(u_k)$. ◻

Das Lemma ist der Ausgangspunkt um folgendes Theorem zu beweisen. Wir schreiben $u\ll v$ falls $\boldsymbol\mu_{u,u}\ll \boldsymbol\mu_{v,v}$. Gilt $\mathfrak Z(u)\perp \mathfrak Z(v)$, so folgt $\boldsymbol\mu_{u+v,u+v} = \boldsymbol\mu_{u,u} + \boldsymbol\mu_{v,v}$ und damit $u \ll u+v$.

Satz 6.6 (Hellinger⁴⁴–Hahn). Sei $H$ separabel und $\mu$ ein $\mathcal L(H)$-wertiges Spektralmaß. Dann existiert eine (möglicherweise endliche) Folge $(v_k)$ von Vektoren $v_k\in H$ mit $\|v_k\|=1$, so daß

$H = \bigoplus_k \mathfrak Z(v_k)$;
für $k=1,2,\ldots$ gilt $v_{k+1}\ll v_k$.

Proof. Teil 1: Der Beweis beruht auf einer summenerhaltenden Transformation zyklischer Unterräume. Nach Lemma Lemma 6.5 existiert eine Folge $(u_k)$ mit \[H = \bigoplus_k \mathfrak Z(u_k) = \mathfrak Z(u_1) \oplus \mathfrak Z(u_2) \oplus\cdots\] und wir zeigen zuerst, daß es damit auch eine Folge $u_{k,1}$ gibt, so daß \[H = \bigoplus_k \mathfrak Z(u_{k,1}) =\mathfrak Z(u_{1,1}) \oplus \mathfrak Z(u_{2,1}) \oplus\cdots\] gilt und $u_{k,1}\ll u_{1,1}$ für alle $k$ erfüllt ist. Wir erlauben dabei Nullsummanden.

Schritt 1: Rekursive Zerlegung $\mathfrak Z(u_k) = \mathfrak Z(w_{k,1})\oplus \mathfrak Z(w_{k,2})$. Dazu sei $w_{1,1}=u_1$ und und $w_{1,2}=0$. Nachdem $w_{1,1}, w_{1,2}, w_{2,1},\ldots, w_{k-1,1},w_{k-1,2}$ konstruiert sind, sei \[\tilde w_k = \sum_{\ell=1}^{k-1} {\ell^{-1}} w_{\ell,1},\qquad \tilde u_k = \tilde w_k + k^{-1} u_k.\] Nach Konstruktion ist ${\tilde w_k} \ll \tilde u_k$ sowie $u_k\ll \tilde u_k$. Sei nun $\rho_k$ die Dichtefunktion von $\mu_{\tilde w_k,\tilde w_k}$ bezüglich $\mu_{\tilde u_k,\tilde u_k}$ und $\tilde\rho_k(\zeta) = 1$ für $\rho_k(\zeta)=0$ und $=0$ für $\rho_k(\zeta)>0$. Es gilt $\tilde\rho_k\in\mathrm L^2(\Sigma,\,\mathrm d\mu_{u_k,u_k})$ und damit erfüllen \[w_{k,1}=T_{\tilde \rho_k} u_k \in \mathfrak Z(u_k),\qquad \text{und}\qquad w_{k,2} = u_k - w_{k,1}\] nach Konstruktion $w_{k,1}\perp w_{k,2}$ sowie $\mathfrak Z(u_k) = \mathfrak Z(w_{k,1})\oplus \mathfrak Z(w_{k,2})$.

Schritt 2: Regularisation. Sei nun $(u_{k,1})$ definiert durch \[u_{1,1} = \sum_{k=1}^\infty k^{-1} w_{k,1} ,\qquad\text{sowie}\qquad u_{k,1} = w_{k,2}, \quad k=2,3,\ldots\] Die Reihe konvergiert in $H$, da die Elemente paarweise orthogonal sind und $\|w_{k,1}\| \le \|u_k\|=1$ gilt. Weiter ist nach Konstruktion $w_{k,1}\ll u_{1,1}$. Es bleibt zu zeigen, daß auch $w_{k,2}\ll u_{1,1}$ gilt.

Da $u_k = w_{k,1}+w_{k,2}$ orthogonale Summe ist, folgt $w_{k,2} \ll u_k \ll \tilde u_k$. Analog gilt wegen $\tilde u_k =\tilde w_{k+1}+ k^{-1} w_{k,2}$ auch $\tilde w_{k+1} \ll \tilde u_k$. Allerdings gilt hier auch die Umkehrung. Die Dichtefunktion erfüllt nach Konstruktion \[\frac{\,\mathrm d\boldsymbol \mu_{\tilde w_{k+1},\tilde w_{k+1}}}{\,\mathrm d\boldsymbol \mu_{\tilde u_k,\tilde u_k}} (\zeta) = \frac{\,\mathrm d\boldsymbol \mu_{\tilde w_{k},\tilde w_{k}}}{\,\mathrm d\boldsymbol \mu_{\tilde u_k,\tilde u_k}} (\zeta) + \tilde\rho_k (\zeta) >0\] für alle $\zeta\in\Sigma$. Also ist $\tilde u_k\ll \tilde w_{k+1} \ll u_{1,1}$ und $w_{k,2}\ll u_{1,1}$ ist gezeigt.

Schritt 3: Wir streichen alle $u_{k,1}=0$ und Normieren die verbleibenden. Wir nutzen wieder die Notation $u_{k,1}$ für die dabei entstehende Folge. Dann ergibt sich \[H = \bigoplus_k \mathfrak Z(u_{k,1}) ,\qquad \text{sowie}\qquad \qquad u_{k,1} \ll u_{1,1}\] mit normierten Vektoren $u_{k,1}$.

Teil 2: Für jedes $\ell=2,3,\ldots$ wenden wir Teil 1 auf die Summe $\bigoplus_{k\ge \ell} \mathfrak Z(u_{k,\ell-1})$ an und konstruieren auf diese Weise eine Folge $u_{k,\ell}$ mit \[\bigoplus_{k\ge\ell} \mathfrak Z(u_{k,\ell-1}) = \bigoplus_{k\ge\ell} \mathfrak Z(u_{k,\ell}) ,\qquad \text{sowie}\qquad \qquad u_{k,\ell} \ll u_{\ell,\ell} \quad\text{f\"ur $k\ge\ell$}\] mit normierten Vektoren $u_{k,\ell}$. Damit folgt insbesondere für $v_k=u_{k,k}$ \[H = \bigoplus_{k} \mathfrak Z(v_k),\qquad\qquad v_k\ll v_\ell \quad\text{f\"ur $k\ge \ell$}\] und damit die Behauptung. ◻

Wir bezeichnen eine Folge $v_k$ mit den Eigenschaften des Satzes Satz 6.6 als eine Hellinger–Hahn-Folge des Spektralmaßes $\boldsymbol\mu$. Da für $f\in\mathrm B(\Sigma)$ und $u\in H$ \[\| T_f u \|^2 = \int_\Sigma |f(\zeta)|^2 \,\mathrm d\boldsymbol\mu_{u,u}(\zeta)\] gilt, sind die zyklischen Unterräume kanonisch isomorph zu \[\mathfrak Z(u) \simeq \mathrm L^2(\Sigma, \,\mathrm d\boldsymbol\mu_{u,u})\] und die Hellinger–Hahn-Zerlegung liefert einen Isomorphismus $H \simeq \bigoplus_k \mathrm L^2(\Sigma, \,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_k,v_k})$ für eine bezüglich Absolutstetigkeit geordnete Folge von Maßen. Es stellt sich die Frage, inwieweit die Hellinger–Hahn-Zerlegung eindeutig ist. Dazu schreiben wir $u\sim v$, falls $u\ll v\ll u$.

Korollar 6.7. Seien $u_k$ und $v_k$ zwei Hellinger–Hahn-Folgen desselben Spektralmaßes $\boldsymbol\mu$. Dann gilt $u_k\sim v_k$.

Proof. Es sei $u_{k,\ell}$ die Projektion von $u_k$ auf $\mathfrak Z(v_\ell)$. Dann gibt es insbesondere Funktionen $f_{k,\ell}\in\mathrm L^2(\Sigma,\,\mathrm d\mu_{v_\ell,v_\ell})$ mit $u_{k,\ell} = T_{f_{k,\ell}} v_\ell$. Weiter gilt wegen \[u_k = \sum_{\ell} u_{k,\ell} = \sum_\ell T_{f_{k,\ell}} v_\ell\] für die Radon–Nikodým-Dichten bezüglich $\boldsymbol\mu_{v_1,v_1}$ \[\frac{ \,\mathrm d\boldsymbol \nu_{u_k,u_k} }{\,\mathrm d\boldsymbol\nu_{v_1,v_1}}(\zeta) = \sum_{\ell} |f_{k,\ell}(\zeta)|^2 \frac{\,\mathrm d\boldsymbol\nu_{v_\ell,v_\ell}}{\,\mathrm d\boldsymbol\nu_{v_1,v_1}}(\zeta)\] als monotone (und damit konvergente) Reihe. Also existiert eine meßbare Dichtefunktion und $u_k \ll v_1$. Wenn man die Rollen von $u_k$ und $v_k$ vertauscht, folgt insbesondere $v_1\ll u_1$. Weiter gilt $| f_{k,\ell}(\zeta) \overline{f_{k',\ell}(\zeta)} | \le \frac12 ( |f_{k,\ell}(\zeta)|^2 |f_{k',\ell}(\zeta)|^2 )$ und die Reihe \[\sum_{\ell} f_{k,\ell}(\zeta) \overline{f_{k',\ell}(\zeta)} \frac{ \,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_{\ell},v_{\ell}} }{\,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_1,v_1}}\] konvergiert nach dem Satz über die majorisierte Konvergenz gegen eine integrierbare Funktion. Wir zeigen, daß der Grenzwert fast überall gleich Null ist. Sei dazu $E\subset\Sigma$ borel. Gliedweise Integration liefert dann \[\begin{aligned} \sum_{\ell} \int_{E} f_{k,\ell}(\zeta) \overline{f_{k',\ell}(\zeta)} \frac{ \,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_{\ell},v_{\ell}} }{\,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_1,v_1}} \,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_1,v_1} &= \sum_{\ell} \int_{E} f_{k,\ell}(\zeta) \overline{f_{k',\ell}(\zeta)}\,\mathrm d\boldsymbol\mu_{v_\ell,v_\ell} \notag\\ &= \sum_k {\pmb(\boldsymbol\mu(E) u_{k,\ell},u_{k',\ell}\pmb)} = {\pmb(\boldsymbol\mu(E) u_k,u_{k'}\pmb)} = 0 \end{aligned}\] unter Ausnutzung von $\mathfrak Z(u_k)\perp \mathfrak Z(u_{k'})$.

Angenommen, wir haben schon gezeigt, daß $u_k\ll v_k\ll u_k$ für alle $k\le n$ gilt. Sei nun $E\subset\Sigma$ eine Nullmenge bezüglich $\boldsymbol\mu_{v_n,v_n}$. Angenommen, $E$ ist keine Nullmenge bezüglich $\boldsymbol\mu_{u_n,u_n}$, dann gilt für die Dichtefunktionen $\rho_k$ von $\boldsymbol\mu_{v_k,v_k}$ bezüglich $\boldsymbol\mu_{v_1,v_1}$ und $\sigma_k$ von $\boldsymbol\mu_{u_k,u_k}$ bezüglich $\boldsymbol\mu_{v_1,v_1}$ sowohl $\rho_k(\zeta)=0$ f.ü. auf $E$ für alle $k\ge n$ und es existiert eine Nichtnullmenge $E_0\subset E$ mit $\sigma_k(\zeta) >0$ für alle $k\le n$. Also gilt auf $E_0$ \[\begin{aligned} & \sum_{\ell=1}^{n-1} |f_{k,\ell}(\zeta)|^2 {\rho_\ell(\zeta)} ={ \sigma_k(\zeta) }, \\ & \sum_{\ell=1}^{n-1} f_{k,\ell}(\zeta) \overline{f_{k',\ell}(\zeta)} {\rho_{\ell}(\zeta) } = 0,\qquad k\ne k', \end{aligned}\] für $k,k'=1,2,\ldots, n$. Wir betrachten ein $\zeta\in E_0$. Damit sind die $n$ Vektoren \[\left( f_{k,1}(\zeta) \big( \frac{\rho_{1}(\zeta) }{\sigma_k(\zeta)} \big)^{1/2}, \ldots, f_{k,n-1}(\zeta) \big( \frac{\rho_{n-1}(\zeta) }{\sigma_k(\zeta)} \big)^{1/2} \right)^\top \in \mathbb C^{n-1}\] normiert und paarweise orthogonal. Widerspruch. ◻

Wir bezeichnen zwei Spektralmaße $\boldsymbol\mu$ und $\boldsymbol\nu$ auf $\Sigma$ mit Werten in $\mathcal L(H_1)$ und $\mathcal L(H_2)$ als unitär äquivalent, falls es einen unitären Operator $U : H_1\to H_2$ mit \[\boldsymbol\mu_{u,v} = \boldsymbol\nu_{Uu,Uv}\] für alle $u,v\in H_1$ gibt.

Korollar 6.8 (Hellinger–Hahn). Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

Zwei Spektralmaße $\boldsymbol\mu$ und $\boldsymbol\nu$ auf $\Sigma$ sind unitär äquivalent.
Für zugeordnete Hellinger–Hahn Folgen $u_k$ und $v_k$ gilt $u_k\sim v_k$ für alle $k$.

Proof. Angenommen, die Spektralmaße sind unitär äquivalent. Dann ist $w_k=Uu_k$ ebenfalls eine Hellinger–Hahn-Folge für $\boldsymbol\nu$ und das gerade gezeigte Korollar liefert die Behauptung. Für die Rückrichtung nutzt man die nach Voraussetzung unitären Abbildungen \[U : \mathrm L^2(\Sigma,\,\mathrm d\boldsymbol\mu_{u_k,u_k})\ni f \mapsto \left(\frac{\,\mathrm d\boldsymbol\mu_{u_k,u_k}}{\,\mathrm d\boldsymbol\nu_{v_k,v_k}}\right)^{1/2} f \in \mathrm L^2(\Sigma,\,\mathrm d\boldsymbol\nu_{v_k,v_k})\] und setzt sie auf $H_1\to H_2$ fort. Nach Konstruktion liefert dies eine Äquivalenz der Spektralmaße. ◻

7 Einige Sätze aus der Funktionentheorie

Funktionentheorie mehrerer komplexer Veränderlicher unterscheidet sich vom komplex eindimensionalen Fall an mehreren zentralen Stellen. Da sie im Skript benutzt wurde, eine kurze Zusammenstellung wesentlicher Aussagen. Im folgenden sei für $z,w\in\mathbb C^n$ durch $z\cdot w = \sum_{j=1}^n z_j w_j$ die (in beiden Variablen holomorphe!) Fortsetzung des Euklidischen Innenproduktes bezeichnet. Dies weicht vom üblichen Gebrauch in der mathematischen Literatur ab. Weiter sei $|z|=\sqrt{z\cdot\overline z}$ die Länge des Vektors $z\in\mathbb C^n$.

7.1 Der Satz von Hartogs

Sei $U\subset\mathbb C^n$ ein Gebiet. Eine Funktion $f: \mathbb C^n\subset U \to\mathbb C$ heißt holomorph auf $U$, falls sie auf $U$ differenzierbar ist, es also zu jedem $z_0\in U$ ein $f'(z_0)\in\mathbb C^n$ mit \[f(z_0+h)-f(z_0) = f'(z_0)\cdot h + o(|h|)\] gibt. Sie heißt weiterhin analytisch auf $U$, falls sie lokal um jeden Punkt $z_0\in U$ durch eine konvergente Potenzreihe \[f(z) = \sum_{\alpha} c_\alpha (z-z_0)^\alpha,\qquad |z-z_0|\le r,\] mit Koeffizienten $c_\alpha\in\mathbb C$ dargestellt werden kann.

Lemma 7.1 (Osgood⁴⁵). Angenommen, $f:\mathbb C^n\supset U \to \mathbb C$ ist stetig und besitzt in jedem Punkt in $U$ partielle komplexe Ableitungen $\partial_{z_j} f$, $j=1,\ldots n$. Dann ist $f$ ist analytisch.

Proof. Sei $z\in U$ und seien $r_1,\ldots,r_n>0$ Radien, so daß die abgeschlossene Polydisk \[\prod_{j=1}^n B_{r_j}(z_j) = \prod_{j=1}^n \{ \zeta_j\in\mathbb C: |\zeta_j-z_j|\le r_j \} \subset U\] in $U$ enthalten ist. Sei weiter $\Gamma_j = \{ \zeta_j\in\mathbb C: |\zeta_j-z_j|\le r_j \}$. Dann impliziert partielle komplexe Differenzierbarkeit partielle Holomorphie und damit die Gültigkeit der Cauchyschen Integralformel \[f(z) = \frac1{(2\pi\mathrm i)^n} \oint_{\Gamma_1} \cdots \oint_{\Gamma_n} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)} \,\mathrm d\zeta_n \cdots \,\mathrm d\zeta_1.\] Da wir über eine kompakte Menge integrieren, der Integrand als stetig vorausgesetzt wurde und für $|z_j|<|\zeta_j|$ die geometrischen Reihen \[\frac{1}{\zeta_j-z_j} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z_j^{k}}{\zeta_j^{k+1}}\] absolut konvergieren, folgt nach Vertauschen von Integration und Summation \[f(z) = \sum_\alpha c_\alpha z^\alpha,\qquad\qquad c_\alpha = \frac1{(2\pi\mathrm i)^n} \oint_{\Gamma_1} \cdots \oint_{\Gamma_n} \frac{f(\zeta)}{\zeta_1^{\alpha_1+1} \cdots \zeta_n^{\alpha_n+1}} \,\mathrm d\zeta_n \cdots \,\mathrm d\zeta_1.\] Damit ist $f$ analytisch. ◻

Die Stetigkeitsvoraussetzung ist dabei nicht nötig, um aus partieller Holomorphie die Holomorphie zu schließen. Das genau besagt der nachfolgend zitierte Satz von Hartogs.

Satz 7.2 (Hartogs⁴⁶). Angenommen, $f:\mathbb C^n\subset U \to \mathbb C$ ist partiell komplex differenzierbar. Dann ist $f$ stetig.

D.h., in jedem Punkt $\lambda\in\rho_\mathcal A(x)$ ist $R_x(\lambda)$ in eine Potenzreihe mit Koeffizienten aus $\mathcal A$ entwickelbar.↩︎
Israel Moissejewitsch Gelfand (Israilp1 Moiseevich Gelp1fand), 1913–2009↩︎
Stanisłav Mazur, 1905–1981↩︎
Norbert Wiener, 1894–1964↩︎
Marshall Harvey Stone, 1903–1984↩︎
Mark Aronovich Neumark (Mark Aronovich Nai0mark), 1909–1978↩︎
Für die Identität $\sigma_\mathcal A(B)=\sigma (B)$ für alle $B\in\mathcal A$ wird auf die Übung verwiesen. Unitale $C^*$-Unteralgebren von $\mathcal L(H)$ sind spektralinvariant.↩︎
Genauer: die Verallgemeinerung nach Markov und Kakutani, welche $\mathbb M(X)=\mathrm C(X)'$ für alle kompakten Hausdorffräume $X$ liefert.↩︎
John von Neumann, 1903–1957↩︎
Alfred Haar, 1885–1933↩︎
Henri Cartan, 1904–2008↩︎
Issai Schur, 1875–1941↩︎
Eigentlich Filter/Netze. Die Existenz ist trivial: man nehme eine Filterbasis des Umgebungsfilters der Eins aus relativ kompakten Mengen und normiert $1_U(x)$. Dann gilt ${\boldsymbol{|}U\boldsymbol{|}}^{-1} 1_U \stackrel*{\rightharpoonup}\delta_1$. Mit dem Lemma von Urysohn kann man die $f_U$ auch alle stetig mit kompaktem Träger wählen.↩︎
Diese gilt für positiv semi-definite Sesquilinearformen, wie \[0\le {\pmb(f+\alpha g,f+\alpha g\pmb)}_F = {\pmb(f,f\pmb)}_F + \overline\alpha{\pmb(f,g\pmb)}_F+ \alpha{\pmb(g,f\pmb)}_F + |\alpha|^2 {\pmb(g,g\pmb)}_F = {\pmb(f,f\pmb)}_F - \frac{{\pmb(f,g\pmb)}_F}{{\pmb(g,g\pmb)}_F}\] zusammen mit der Wahl $\alpha = -{\pmb(f,g\pmb)}_F / {\pmb(g,g\pmb)}_F$ für ${\pmb(g,g\pmb)}_F\ne0$ zeigt. Für die verbleibenden $g$ folgt sofort $\Re \overline\alpha{\pmb(f,g\pmb)}_F=0$ für alle $\alpha$ und damit ${\pmb(f,g\pmb)}_F=0$.↩︎
Wegen der Beschränktheit existieren im Hilbertraum $H_F$ schwach konvergente Teilfolgen. Im folgenden verwenden wir diese Teilfolge.↩︎
Dimitri Abramovich Raikov (Dmitrii0 Abramovich Rai0kov), 1905–1981↩︎
Letzteres nur, wenn die Umgebungsbasis der Eins auf $G$ abzählbar ist. Sollte dies nicht der Fall sein und für $f_n$ ein Netz genutzt werden müssen, ist dies noch zu zeigen. Eine Variante dafür ist es, den Pontrjaginschen Dualitätssatz zu verwenden, um $\chi(f_n)\to 1$ lokal gleichmäßig auf $\widehat G$ zu zeigen (die Topologie auf $G$ ist die der lokal-gleichmäßigen Konvergenz der Charaktere auf $\widehat G$, die Menge $V=\{x\in G : |\chi(x)-1|<\varepsilon,\; \chi\in K\}$ für $K\subset\widehat G$ kompakt also offen in $G$ und somit $|\chi(f_n)-1|<\varepsilon$ für alle $f_n$ mit $\mathop{\mathrm{supp}}f_n\subset V$). Dazu beachte man, daß im Beweis von Lemma Lemma 3.20 Plancherel vermeidet und $f\in\mathrm L^2(\widehat G)$ direkt gezeigt werden kann. Für die Existenzaussage in Satz Satz 3.11 kann man direkt Krein–Milman auf die schwach-* kompakte Menge $\{ \mu \in \mathbb M_+(\widehat G) : \mu(\widehat G)\le 1\}$ anwenden. Ihr Bild unter [eq:3.2.10] ist eine kompakte konvexe Teilmenge von $\mathcal P_{\le 1}(G)$, welche $\partial_{\rm ext}\mathcal P_{\le 1}(G)$ enthält und somit gleich $\mathcal P_{\le 1}(G)$.↩︎
Salomon Bochner, 1899–1982↩︎
, 1873–1950↩︎
Da $\xi(x)\ne0$ für alle $x\in G$ und alle $\xi\in\widehat G$ gilt, ergibt sich $\langle\xi,x\rangle$ auf der universellen Überlagerung von $\widehat G\times G$ eindeutig durch stetiges Fortsetzen des komplexen Logarithmus. Auf $\widehat G\times G$ ist $\langle\cdot,\cdot\rangle$ eindeutig modulo $\mathbb Z$ (und für uns interessierende praktische Anwendungen ist es eindeutig).↩︎
Lew Semjonowitsch Pontrjagin (Lev Seme0novich Pontryagin), 1908–1988, bewies den Satz für kompakte abelsche Gruppen↩︎
Egbert van Kampen, 1908–1942, verallgemeinerte den Satz auf lokalkompakte abelsche Gruppen↩︎
Analog für Netze, falls die Umgebungsbasis von $G$ nicht abzählbar ist.↩︎
Ernst Hellinger, 1883–1950↩︎
Gaston Floquet, 1847–1920, der mit diesen Methoden (eindimensionale) Differentialoperatoren mit periodischen Koeffizienten studierte↩︎
Felix Bloch, 1905–1983, Nobelpreis für Physik 1952↩︎
Eugene Paul Wigner, 1902–1995, Nobelpreis für Physik 1963↩︎
Frederick Seitz, 1911-2008↩︎
Fritz Peter, 1899–1949↩︎
Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885–1955↩︎
Leopold Gegenbauer, 1849–1903↩︎
Pierre-Simon Laplace; 1749–1827, verwendete als erstes Reihenentwicklungen in Kugelfunktionen↩︎
Paul Georg Funk, 1886–1969↩︎
Erich Hecke, 1887–1947↩︎
Werner Heisenberg, 1901–1976↩︎
George Mackey, 1916–2006↩︎
Lynn Harold Loomis, 1915–1994↩︎
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887–1961↩︎
Eugene Paul Wigner, 1902–1995↩︎
José Enrique Moyal, 1910–1998↩︎
Valentine Bargmann, 1908–1989; für Physiker entspricht der Bargmannraum gerade dem symmetrischen Fockraum über $\mathbb C^n$↩︎
Robin Lyth Hudson, 1940–↩︎
Gian-Carlo Wick, 1909–1992↩︎
Ernst David Hellinger, 1883–1950↩︎
William Fogg Osgood, 1864–1943↩︎
Friedrich Moritz Hartogs, 1874–1943↩︎

Vorrede