Proof. Die Ungleichung impliziert die Enthaltenseinsbeziehung direkt aus der Definition von \(\mathbf A\) und \(\mathbf B\).

Der Beweis der Gegenrichtung nutzt tiefere Aussagen der Funktionalanalysis und ist hier nur der Vollständigkeit halber angegeben. Wir betrachten die identische Abbildung als Abbildung \(\mathbf A\cap\mathbf B\to\mathbf A\). Diese ist offenbar bijektiv (da \(\mathbf A\cap\mathbf B\) als Menge mit \(\mathbf A\) übereinstimmt) und stetig, da \(\|f\,|\, \mathbf A\| \le \|f\,|\,\mathbf A\cap B\|\) per definitionem gilt. Nach dem Satz über die offene Abbildung ist damit aber die Inverse dieser Abbildung stetig und deshalb existiert eine Konstante \(C\) mit \[% \left\|\left. f \,\right|\, \mathbf A \right\| + % \left\|\left. f \,\right|\, \mathbf B \right\| = % \left\|\left. f \,\right|\, \mathbf A\cap \mathbf B \right\| \le C % \left\|\left. f \,\right|\, \mathbf A \right\| .\] Also folgt \[0\le % \left\|\left. f \,\right|\, \mathbf B \right\| \le (C-1)\, % \left\|\left. f \,\right|\, \mathbf A \right\|\] und die Aussage ist bewiesen. ◻

Proof. Es bleibt eine Ungleichung für die Normen zu beweisen. Wir nehmen der Einfachheit halber an \(t\ne\infty\). Nach Vorausstzung existiert dann \(\theta\in(0,1)\) mit \[\frac1s = \frac \theta r+\frac{1-\theta} t\] und somit gilt nach der Hölderschen Ungleichung angewandt auf die Produktzerlegung \(|f(x)|=|f(x)|^\theta |f(x)|^{1-\theta}\) \[\begin{aligned} \int_\Omega |f(x)|^s \mathrm d s \le \left( \int_\Omega |f(x)|^{r}{\,\mathrm d}x\right)^{\theta/r} \left( \int_\Omega |f(x)|^{t}{\,\mathrm d}x\right)^{(1-\theta)/t}, \end{aligned}\] also \[\label{eq:1:conv-ineq} \|f\|_s \le \|f\|_r^\theta \|f\|_t^{1-\theta}\] und die Behauptung folgt. Der Fall \(t=\infty\) folgt direkt aus der Definition der Norm. ◻

Proof. Sei \(f_k\in \mathscr S({\mathbb R}^n)\) eine Folge von Schwartz-Funktionen mit \(f_k\to f\) in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). Dann ist \(f_k\) insbesondere Cauchyfolge und somit existiert für \(\epsilon>0\) ein \(N_\epsilon\) mit \[\| \widehat f_k - \widehat f_\ell \|_2 = \| f_k -f_\ell \|_2 < \epsilon\] für alle \(k,\ell\ge N_\epsilon\). Also ist \(\widehat f_k\) eine Cauchyfolge in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). Bezeichne \(\widehat f\) ihren Grenzwert. Dann folgt \[\|\widehat f\|_2 = \lim_{k\to\infty} \| \widehat f_k \|_2 = \lim_{k\to\infty} \| f_k \|_2 = \|f\|_2\] und die Aussage ist bewiesen. ◻

Beweis des Fundamental-Lemmas. Sei zuerst \(g\) als stetig vorausgesetzt. Ist dann \(g\ne0\), so existiert insbesondere ein \(x_0\in\Omega\) mit \(g(x_0)\ne0\). Wegen Stetigkeit existiert also eine kleine Umgebung um \(x_0\) mit \(|g(x)|\ge|g(x_0)|/2\) und \(|\arg g(x) - \arg g(x_0)|\le \pi/4\). Sei nun \(\varphi\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega)\) so gewählt, dass der Träger in dieser Umgebung enthalten ist, \(\varphi(x)\ge0\) und \(\int\varphi(x){\,\mathrm d}x=1\) gilt. Dann ist das betrachtete Integral gerade ein Mittel über die Funktionswerte in dieser Umgebung und damit folgt nach Konstruktion \[\left| \int g(x)\varphi(x) {\,\mathrm d}x \right| \ge \frac{\sqrt2} 4 |g(x_0)|\ne0.\]

Sei nun \(g\) allgemeiner eine lokal integrierbare Funktion, die nicht fast überall verschwindet. Wir wollen ein Teilgebiet \(\Omega'\subset\Omega\) als eigentliches Teilgebiet bezeichnen, wenn es eine kompakte Teilmenge \(K\subset\Omega\) mit \(\Omega'\subset K\) gibt. Damit existiert nach Voraussetzung ein eigentliches Teilgebiet \(\Omega' \subset\Omega\), so dass \[\int_{\Omega'} |g(x) |{\,\mathrm d}x \ne 0\] gilt. Wir können \(g\) mit Konstanten multiplizieren und deshalb oBdA annehmen, dass \[\int_{\Omega'} |g(x) |{\,\mathrm d}x = % \!\left\bracevert\!\Omega'\!\right\bracevert\!\!\] gilt. Zu jedem \(\epsilon>0\) finden wir nun eine stetige Funktion \(h_\epsilon(x)\) mit \[\int_{\Omega'} |g(x) - h_\epsilon(x) |{\,\mathrm d}x <\epsilon % \!\left\bracevert\!\Omega'\!\right\bracevert\!\!,\] nach Anwendung der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt damit \[\int_{\Omega'} |h_\epsilon(x) |{\,\mathrm d}x > (1-\epsilon) % \!\left\bracevert\!\Omega'\!\right\bracevert\!\!,\] und es muss somit ein \(x_0\in \Omega'\) mit \(|h_\epsilon(x_0)|>(1-\epsilon)\) geben. Also finden wir nach obiger Argumentation auch eine Funktion \(\varphi\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega)\) mit Träger um \(x_0\), \(\varphi(x)\ge0\) und \(\int\varphi(x){\,\mathrm d}x=1\), so dass \[\left| \int_{\Omega'} h_\epsilon(x) \varphi(x) {\,\mathrm d}x \right| > \frac{\sqrt2}4(1-\epsilon).\] Also folgt nach Anwendung der umgekehrten Dreiecksungleichung und mit \(M=\max_x|\varphi(x)|\) \[\begin{aligned} \left| \int_{\Omega'} g(x) \varphi(x) {\,\mathrm d}x \right| &\ge \left| \int_{\Omega'} h_\epsilon(x) \varphi(x) {\,\mathrm d}x \right| - \int_{\Omega'} \varphi(x) |g(x) - h_\epsilon(x) |{\,\mathrm d}x \notag\\ & > \frac{\sqrt2}4(1-\epsilon) - M% \!\left\bracevert\!\Omega'\!\right\bracevert\!\!\epsilon.\end{aligned}\] Für \(\epsilon\) klein genug ist die rechte Seite positiv und damit die Kontraposition des Fundamentallemmas gezeigt. ◻

Proof.

1. Folgt direkt aus der Definition.

2. Angenommen \(f\in \mathrm C^k(\Omega)\) und \(|\alpha|\le k\) ist ein gegebener Multiindex. Dann gilt für jedes \(\varphi\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega)\) mittels partieller Integration \[\begin{aligned} \int_\Omega f(x) \partial^\alpha \varphi(x) {\,\mathrm d}x = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega (\partial^\alpha f(x)) \,\varphi(x){\,\mathrm d}x, \end{aligned}\] und damit ist die klassische Ableitung \(\partial^\alpha f\) eine schwache Ableitung. Nach dem Fundamentallemma ist aber die schwache Ableitung fast überall eindeutig bestimmt.

3. Dies folgt wiederum direkt mit dem Fundamentallemma, \[\begin{aligned} \int_\Omega &\partial^\alpha(f(x)+\mu g(x) ) \varphi(x) {\,\mathrm d}x = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega (f(x)+\mu g(x) ) \partial^\alpha \varphi(x) {\,\mathrm d}x \notag\\ & =(-1)^{|\alpha|} \int_\Omega f(x)\partial^\alpha \varphi(x){\,\mathrm d}x + \mu (-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g(x) \partial^\alpha\varphi(x){\,\mathrm d}x\notag\\ &= \int_\Omega ( \partial^\alpha f(x) ) \varphi(x){\,\mathrm d}x + \mu \int_\Omega ( \partial^\alpha g(x) ) \varphi(x){\,\mathrm d}x\notag\\ &= \int_\Omega (\partial^\alpha f(x) + \mu \partial^\alpha g(x) ) \varphi(x){\,\mathrm d}x.\end{aligned}\]

4. Analog impliziert \[\begin{aligned} \int_\Omega \partial^{\beta}(\partial^\alpha f) (x) \varphi(x){\,\mathrm d}x &= (-1)^\beta \int_\Omega \partial^\alpha f(x) \partial^\beta\varphi(x){\,\mathrm d}x\\ &= (-1)^{|\alpha|+|\beta|} \int_\Omega f(x) \partial^{\alpha+\beta}\varphi(x){\,\mathrm d}x \end{aligned}\] mit \(|\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|\) die Behauptung.

 ◻

Proof. Wir zeigen das ganze für \(p=1\), der allgemeine Fall ist analog. Sei \(\epsilon>0\). Dann existiert eine stetige Funktion \(h_\epsilon\) mit kompaktem Träger in \(B_{R_\epsilon}(0)\), so dass \[\int |f(x)-h_\epsilon(x)|{\,\mathrm d}x \le \epsilon/3.\] Da \(h_\epsilon\) sogar gleichmäßig stetig ist, gilt \[\sup_x \sup_{|y|\le\rho} |h_\epsilon(x+y)-h_\epsilon(x)|\le \omega(\rho)\] mit \(\lim_{\rho\to0} \omega(\rho)=0\). Also gilt \[\lim_{\rho\to0} \sup_{|y|\le \rho} \int |h_\epsilon (x+y)-h_\epsilon (x)|{\,\mathrm d}x \le \lim_{\rho\to0} |B_{R_\epsilon+\rho}(0)| \omega(\rho) = 0.\] Man kann also \(\rho\) so klein wählen, dass \[\sup_{|y|\le \rho} \int |h_\epsilon (x+y)-h_\epsilon (x)|{\,\mathrm d}x \le \epsilon/3.\] Da ausserdem \[\int |f(x+y)-h_\epsilon(x+y)|{\,\mathrm d}x \le \epsilon/3\] gilt, folgt die Behauptung mit der Dreiecksungleichung. ◻

Proof.

1. Sei \(\psi\in\mathrm C^\infty_{c}({\mathbb R}^n)\) mit Träger in \(B_1(0)\), \(\psi(x)>0\) und \(\int\psi(x){\,\mathrm d}x=1\). Weiter sei für \(\rho>0\) die Funktion \[\psi_\rho(x) = \rho^{-n} \psi(x/\rho)\] definiert. Weiter definieren wir für \(\mathrm{dist}(x,\partial\Omega)>\rho\) \[\tilde f_\rho(x) = \int_\Omega \psi_\rho(x-y) f(y){\,\mathrm d}y = \int_\Omega \psi_\rho(y) f(x-y){\,\mathrm d}y.\] Diese Funktion ist stetig, mit \(M_\rho=\max_y \psi_\rho(y)\) gilt \[\begin{aligned} | \tilde f_\rho(x) - \tilde f_\rho(x')| &\le \int_\Omega \psi_\rho(y) | f(x-y)-f(x'-y)|{\,\mathrm d}y \notag\\ & \le M_\rho \int_{|y|\le\rho} |f(x- y)-f(x'- y)|{\,\mathrm d}y \notag\\&\to 0 ,\qquad \qquad x'\to x,\end{aligned}\] als Konsequenz der Stetigkeit im Mittel. Die Funktion ist ebenso beliebig oft differenzierbar da die Ableitungen \[\partial^\beta \tilde f_\rho(x) = \int_\Omega \partial_x^\beta\psi_\rho(x-y) f(y){\,\mathrm d}y = (-1)^{|\beta|}\int_\Omega \partial_y^\beta\psi_\rho(x-y) f(y){\,\mathrm d}y\] mit gleicher Argumentation als stetig erkannt werden.

   Sei weiter \(\chi_\rho\in\mathrm C^\infty(\Omega)\) mit Träger in \(\mathrm{dist(x,\partial\Omega)}>\rho\) und \(\chi_\rho(x)=1\) für \(\mathrm{dist(x,\partial\Omega)}>2\rho\). Dann ist \(f_\rho(x) = \chi_\rho(x)\tilde f_\rho(x)\) durch Null zu einer glatten Funktion auf \(\Omega\) fortsetzbar.

2. Wir zeigen, dass für jedes eigentliche Teilgebiet \(\Omega'\) \[% \left\|\left. f_\rho-f \,\right|\, \mathrm L^1(\Omega') \right\| \to 0\] für \(\rho\to0\) gilt. Für \(\rho\) klein genug, ist \(f_\rho\) durch obiges Integral definiert. Es ist also zu zeigen, dass \[\int_{\Omega'} \left| \int_\Omega \psi_\rho(y) f(x-y){\,\mathrm d}y - f(x) \right| {\,\mathrm d}x\] gegen Null strebt. Nutzt man \(\int \psi_\rho(y){\,\mathrm d}y=1\), so ist dies äquivalent zu \[\begin{aligned} \int_{\Omega'}& \left| \int_\Omega \psi_\rho(y) (f(x-y)-f(x)){\,\mathrm d}y \right| {\,\mathrm d}x \notag\\ & \le \int_{\Omega'} \int_{B_\rho(0)} \psi_\rho( y) | f(x- y)-f(x) | {\,\mathrm d}y{\,\mathrm d}x \notag\\ & \le M_\rho \sup_{|y|\le \rho} \int |f(x-y)-f(x)|{\,\mathrm d}x \to 0,\qquad \rho\to0,\end{aligned}\] unter Ausnutzung der Stetigkeit im Mittel.

3. In einem letzten Schritt zeigen wir die Konvergenz der Ableitungen. Da wir \(f\) als schwach differenzierbar vorausgesetzt haben, gilt \(g_\alpha=\partial^\alpha f\in\mathrm L^1_{loc}(\Omega)\). Weiterhin ist nach Definition der schwachen Ableitung und für \(x\in\Omega'\), \(\rho\) klein, \[\partial^\alpha f_\rho (x) = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega \partial_y^\alpha \psi_\rho(x-y) f(y){\,\mathrm d}y = \int_{\Omega} \psi_\rho(x-y) g_\alpha(y){\,\mathrm d}y.\] Damit kann man aber Schritt 2 des Beweises anwenden und die Behauptung folgt.

 ◻

Proof. Die Normeigenschaften der angebenen Norm sind einfach nachzurechnen, zu zeigen wäre die Vollständigkeit. Sei dazu \(f_i\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) eine Cauchyfolge. Dann sind \(\partial^\alpha f_i\) für \(|\alpha|\le k\) Cauchyfolgen in \(\mathrm L^p(\Omega)\) und wegen der Hölder-Abschätzung \[% \left\|\left. g \,\right|\, \mathrm L^1(\Omega') \right\| \le % \!\left\bracevert\!\Omega'\!\right\bracevert\!\!^{1/q}\; % \left\|\left. g \,\right|\, \mathrm L^p(\Omega) \right\| ,\qquad \frac1p+\frac1q=1,\] auch in jedem \(\mathrm L^1(\Omega')\), \(\Omega'\subset\Omega\) eigentlich. Damit ist aber \(f\) schwach differenzierbar bezüglich aller \(\partial^\alpha\), \(|\alpha|\le k\); für alle \(\varphi\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega')\) gilt \[\begin{aligned} \int f_i(x) \partial^\alpha \varphi(x) {\,\mathrm d}x &= (-1)^{|\alpha|} \int \partial^\alpha f_i(x) \varphi(x) {\,\mathrm d}x \notag\\ \downarrow \qquad\qquad & \quad\qquad\qquad \downarrow \notag\\ \int f(x) \partial^\alpha \varphi(x) {\,\mathrm d}x &=(-1)^{|\alpha|} \int \partial^\alpha f(x) \varphi(x) {\,\mathrm d}x.\notag\end{aligned}\] Da die \(\mathrm L^p(\Omega)\) vollständig sind liegt die Grenzfunktion in \(\mathrm W^{k,p}(\Omega)\).

Für \(p=2\) erzeugt das angegebene Skalarprodukt die Norm, es handelt sich also um einen Hilbertraum. ◻

Proof. Für \(i\in\mathbb N\) sei \[\Omega_i = \{ x\in\Omega : \mathrm{dist}(x,\partial\Omega)> 1/i,\quad |x|< i \}.\] Dann sind die \(\Omega_i\) offen und beschränkt und es gilt \(\bigcup_i\Omega_i=\Omega\). Weiterhin sei \(U_i=\Omega_{i+2}\cap(\overline{\Omega_{i-1}})^c\), \(\Omega_0=\Omega_{-1}=\varnothing\) eine Überdeckung von \(\Omega\) durch Streifen. Hilfsaussage: Damit existieren Abschneidefunktionen \(\chi_i\in\mathrm C^\infty_{c}(U_i)\) mit \(\chi_i\ge0\) und \(\sum_i \chi_i(x)=1\) in \(\Omega\).

Sei nun \(f\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) gegeben. Dann hat \(\tilde f_i = \chi_if\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) kompakten Träger in \(U_i\). Damit konvergiert aber \(\psi_{\rho}*\tilde f_i\) gegen \(\tilde f_i\) in \(\mathrm W^{k,p}(\Omega)\). Analog zum Beweis der \(\mathrm L^1_{loc}\)-Approximationseigenschaft schwacher Ableitungen ergibt sich \[\begin{aligned} & \psi_\rho*\partial^\alpha \tilde f_i(x) - \partial^\alpha \tilde f_i(x) = \int_\Omega \psi_\rho(y) (\partial^\alpha \tilde f_i (x-y) - \partial^\alpha \tilde f_i(x)) {\,\mathrm d}y,\\ & \| \psi_\rho*\partial^\alpha \tilde f_i(x) - \partial^\alpha \tilde f_i(x)\|_p \le\sup_{|y|\le \rho} \| \partial^\alpha \tilde f_i (x-y) - \partial^\alpha \tilde f_i(x) \|_p \to 0\end{aligned}\] als direkte Konsequenz der Stetigkeit im \(p\)-Mittel. Also existiert zu jedem \(\epsilon>0\) ein \(\rho_i\), so dass \[% \left\|\left. \psi_{\rho_i}*\tilde f_i - \tilde f_i \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| < 2^{-i}\epsilon .\] Betrachtet man nun die Funktion \[g(x) = \sum_{i=1}^\infty \psi_{\rho_i}*\tilde f_i (x),\] so gilt wegen der lokalen Endlichkeit der Summe \(g\in\mathrm C^\infty(\Omega)\) und nach Konstruktion und unter Ausnutzung von \(\sum_{i=1}^\infty \tilde f_i = f\) \[% \left\|\left. f-g \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \le \sum_{i=1}^\infty % \left\|\left. \tilde f_i-\psi_{\rho_i}*\tilde f_i \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \le \epsilon \sum_{i=1}^\infty 2^{-i} = \epsilon.\]

Beweis der Hilfsaussage. Zu jedem \(x\in U_i\) sei \(r_i(x) = \mathrm{dist}(x,\partial U_i)\). Dann bilden die Kugeln \(B_{x,i} = B_{r_i(x)}(x)\) eine Überdeckung von \(U_i\) (da alle \(x\) enthalten sind) und nach Vereinigung über alle \(i\) auch eine von \(\Omega\). Sei nun \[K_i = \overline{\Omega_{i+1}}\setminus\Omega_i.\] Dann ist \(K_i\) kompakt und \(\bigcup_i K_i=\Omega\). Aufgrund der Kompaktheit existiert eine endliche Teilüberdeckung der \(\{B_{x,j} : j\in\mathbb N, \;x\in U_j\}\), die schon \(K_i\) überdeckt. Vereinigt man alle so konstruierten endlichen Teilüberdeckungen für alle \(i\), so erhält man eine Folge \(B_{x_m,j_m}\) von Kugeln. Diese ist lokal endlich und überdeckt \(\Omega\). Sei nun \(\chi_{x_m,j_m}\in\mathrm C^\infty_{c}({\mathbb R}^n)\) mit Träger gleich \(B_{x_m,j_m}\) und \(\chi_{x_m,j_m}(x)>0\) für \(x\in B_{x_m,j_m}\). Dann ist \[\tau(x) = \sum_m \chi_{x_m,j_m}(x) > 0 ,\qquad \tau\in \mathrm C^\infty(\Omega)\] da die Summe lokal endlich und jeweils mindestens ein Summand positiv ist und \[\chi_i(x) = \frac1{\tau(x) }\sum_{m : j_m=i} \chi_{x_m,j_m}(x)\] erfüllt alle geforderten Eigenschaften. ◻

Proof. Wir unterscheiden zwei Fälle. Sei zuerst \(p,q<\infty\). Dann kann sowohl \(f\) als auch \(g\) durch eine Folge \(f_i,g_i\) von glatten Funktionen im entsprechenden Sobolevraum approximiert werden und die Formel gilt für alle Approximanten. Mit Hölder gilt darüberhinaus \[\begin{aligned} \| \partial^\alpha (f_ig_i)\|_r \le \sum_{\beta\le\alpha} \binom\alpha\beta \| \partial^{\alpha-\beta} f_i\|_p \|\partial^\beta g_i\|_q\end{aligned}\] und somit \[% \left\|\left. f_ig_i \,\right|\, \mathrm W^{k,r}(\Omega) \right\| \le C_{k,p,q,n} % \left\|\left. f_i \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \; % \left\|\left. g_i \,\right|\, \mathrm W^{k,q}(\Omega) \right\| .\] Insbesondere konvergiert \(\partial^\alpha (f_ig_i)\) in \(\mathrm L^r(\Omega)\) für \(i\to\infty\) gegen \(\partial^\alpha (fg)\) und die Behauptung folgt.

Ist nun \(p<\infty\) und \(q=\infty\), so kann man diese Methode nicht nutzen und darf nur eine der Funktionen approximieren. Dies reicht, wir zeigen die Aussage nur für eine partielle Ableitung und verzichten auf das Induktionsargument zum Beweis der allgemeinen Produktformel. Sei dazu \(|\alpha|=1\) und \(f_i\) eine Folge glatter Funktionen die \(f\) in \(\mathrm W^{k,p}\) approximiert. Dann gilt für alle \(\varphi\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega)\) \[\begin{aligned} \int_\Omega \partial^{\alpha}(f_i g) (x) \varphi(x){\,\mathrm d}x &= - \int_\Omega f_i(x) g(x) \partial^\alpha\varphi(x){\,\mathrm d}x\notag\\ &= - \int_{\Omega} g(x) \big( \partial^\alpha(f_i \varphi)(x) - (\partial^\alpha f_i(x)) \varphi(x) \big) {\,\mathrm d}x\notag\\ & = \int_\Omega \big( f_i(x) \partial^\alpha g(x) + (\partial^\alpha f_i(x)) g(x)\big) \varphi(x) {\,\mathrm d}x\notag\end{aligned}\] und damit \(\partial^\alpha(f_i(x) g(x)) = (\partial^\alpha f_i(x))g(x) + f_i(x) \partial^\alpha g(x)\), \(|\alpha|=1\). Per Induktion folgt die allgemeine Produktformel und Grenzwertbildung für \(i\to\infty\) zeigt die gesuchte Aussage. ◻

Proof. Sei \(f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\). Wir definieren wiederum \[f_\rho(x) = \int_{{\mathbb R}^n} \psi_\rho(x-y) f(y){\,\mathrm d}y.\] Dann ist (in Analogie zum Beweis des Approximationssatzes auf Seite ) \(f_\rho \in \mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\cap\mathrm C^\infty({\mathbb R}^n)\) und es gilt \(f_\rho\to f\) in \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) für \(\rho\to0\).

Hat \(f\) kompakten Träger, so auch \(f_\rho\) und die Aussage folgt. Deshalb zeigen wir in einem zweiten Schritt, dass sich alle Funktionen aus \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) durch solche mit kompaktem Träger approximieren lassen. Sei dazu \(\chi_R(x) = \chi(x/R)\) mit \(\chi\in\mathrm C^\infty_{c}({\mathbb R}^n)\), \(\chi(x)=1\) für \(|x|\le 1\). Wir betrachten nun zu gegebenem \(f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) die Funktionen \(f_{(R)}(x) = \chi_R(x) f(x)\). Dann gilt mit dem Satz über die majorisierte Konvergenz mit \(c|f(x)|^p\) als Majorante \[\lim_{R\to\infty} \| f - f_{(R)}\|_p^p = \lim_{R\to\infty} \int | (1-\chi_R(x)) f(x)|^p {\,\mathrm d}x = 0,\] entsprechend für die endlich vielen schwachen Ableitungen und unter Ausnutzung der Produktregel für schwache Ableitungen und der Minkowskiungleichung \[\begin{aligned} \lim_{R\to\infty} \| \partial^\alpha f - \partial^\alpha f_{(R)}\|_p \le& \lim_{R\to\infty}\left( \int | (1-\chi_R(x)) \partial^\alpha f(x)|^p {\,\mathrm d}x\right)^{1/p}\notag\\& + \sum_{\beta<\alpha} \binom \alpha\beta \lim_{R\to\infty}\left(\int | \partial^{\alpha-\beta} \chi_R(x) \partial^\beta f(x) |^p {\,\mathrm d}x\right)^{1/p} = 0, \end{aligned}\] wobei zur Berechnung des Limes der Satz über die majorisierte Konvergenz mit den Majoranten \(c|\partial^\beta f(x)|^p\) genutzt wurde. ◻

Proof. Es genügt, die Aussage für \(f\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\) zu zeigen und obiges Dichtheitsresultat zu nutzen.

Sei also \(f_i\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\) eine Folge von Schwartzfunktionen die in \(\mathrm W^{k,2}({\mathbb R}^n)\) gegen \(f\) konvergiert. Dann gilt \[\begin{aligned} \widehat{\partial^\alpha f_i}(\xi) &= (2\pi)^{n/2} \int {\mathrm e}^{-{\mathrm i}x\xi} \partial^\alpha f_i(x) {\,\mathrm d}x\\ &= (-1)^{|\alpha|} (2\pi)^{n/2} \int (\partial_x^\alpha {\mathrm e}^{-{\mathrm i}x\xi}) f_i(x) {\,\mathrm d}x\\ & = ({\mathrm i}\xi)^\alpha \widehat f_i(\xi).\end{aligned}\] Mit Plancherel folgt nun \(\| f_i\|_2=\|\widehat f_i\|_2\) und \(\|\partial^\alpha f_i\|_2=\| ({\mathrm i}\xi)^\alpha \widehat f_i\|_2\) und somit \[\begin{aligned} \widehat {\partial^\alpha f} = \lim_{i\to\infty} \widehat{\partial^\alpha f_i} = \lim_{i\to\infty} ({\mathrm i}\xi)^\alpha \widehat f_i = ({\mathrm i}\xi)^\alpha \widehat f\end{aligned}\] mit Grenzwerten jeweils im \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). ◻

Proof. Wegen Plancherel und obigem Lemma gilt \[\begin{aligned} % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm W^{k,2}({\mathbb R}^n) \right\| ^2 = \sum_{|\alpha|\le k}\int_{{\mathbb R}^n} |\xi^{\alpha} \widehat f(\xi)|^2{\,\mathrm d}\xi \end{aligned}\] und die Behauptung folgt direkt aus \[c(1+|\xi|^2)^k \le \sum_{|\alpha|\le k} |\xi^{\alpha}|^2 \le C (1+|\xi|^2)^k\] für geeignete Konstanten \(c,C>0\). ◻

Proof. Wenn \(f\in\mathrm W^{k,2}({\mathbb R}^n)\) ist, folgt aus dem vorigen Satz sofort \(g\in\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). Sei nun \(g_i\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\) eine Folge von Schwartz-Funktionen, die gegen \(g\) in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) konvergiert. Dann ist \(\widehat f_i(\xi)=\langle\xi\rangle^{-k}g_i(\xi)\) ebenso Schwartz (warum?) und \(f_i=\mathscr F^{-1}[\widehat f_i]\) eine Folge von Schwartz-Funktionen die nach obigem Satz in \(\mathrm W^{k,2}({\mathbb R}^n)\) konvergiert. Also gibt es ein zugehöriges \(f\) aus dem Sobolevraum. ◻

Proof. Wir nutzen die Notation aus vorigem Korollar. Es ist \(\widehat f(\xi) = \langle\xi\rangle^{-k}g(\xi)\) mit \(\|f\|_{2,k}=\|g\|_2\). Für \(k>\frac n2\) ist nun \(\langle \xi\rangle^{-k}\) eine \(\mathrm L^2\)-Funktion und mit \[C_{k,n} = (2\pi)^{-n/2} \| \langle\xi\rangle^{-k}\|_2 =(2\pi)^{-n/2} \left( \int_{{\mathbb R}^n} (1+|\xi|^2)^{-k} {\,\mathrm d}\xi\right)^{1/2}\] gilt somit als Konsequenz der Hölderschen Ungleichung \[\|f\|_\infty \le (2\pi)^{-n/2} \|\widehat f\|_1\le C_{k,n} \|g\|_2= C_{k,n}\|f\|_{2,k}.\] Stetigkeit und Abfallen der Funktion \(f\) ergibt sich nun direkt aus der Dichtheit von \(C^\infty_{c}({\mathbb R}^n)\) in \(\mathrm W^{2,k}({\mathbb R}^n)\). ◻

Proof. Sei \(g\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) gegeben, wir zeigen dass \(\mathcal G_k g\) zum Sobolevraum \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) gehört. Sei dazu \(g_i\) eine Folge von Schwartz-Funktionen die in \(\mathrm L^p\) gegen \(g\) konvergiert und sei weiter \(|\alpha|\le k\). Dann gilt \[\partial^\alpha \mathcal G_k g_i (x) = \mathscr F^{-1}_{\xi\to x} [ ({\mathrm i}\xi)^\alpha \langle\xi\rangle^{-k} \widehat g_i(\xi)]\] und \(m_\alpha(\xi) = ({\mathrm i}\xi)^\alpha \langle\xi\rangle^{-k}\) erfüllt für \(|\alpha|\le k\) die Voraussetzungen des Multiplikatorensatzes von Hörmander–Mikhlin. Also gibt es eine Konstante \(C\) mit \[\| \partial^\alpha \mathcal G_k g_i \|_p \le C \| g_i\|_p,\qquad |\alpha|\le k\] und somit auch \(% \left\|\left. \mathcal G_k g_i \,\right|\, \mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n) \right\| \le C' \|g_i\|_p\). Also konvergiert \(\mathcal G_k g_i\) gegen eine Sobolevfunktion \(f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\).

Sei nun \(f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\). Wir approximieren \(f\) durch eine Folge \(f_i\) von Schwartzfunktionen in der \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\)-Norm und wählen \(g_i\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\), so dass \[\widehat g_i(\xi) = \langle \xi\rangle^{k} \widehat f_i(\xi).\] Wir müssen zeigen, dass \(g_i\) in \(\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) konvergiert, also insbesondere die \(\mathrm L^p\)-Norm von \(g_i\) durch die Sobolevnorm der \(f_i\) abgeschätzt werden werden kann. Dazu nutzen wir \[m(\xi)= \langle\xi\rangle^{-k} \bigg( 1+ {\mathrm i}\sum_{|\alpha|=k} \xi^\alpha \bigg) \le C\] und stellen als erstes fest, dass \(m(\xi)\) keine Nullstellen besitzt und \(m(\xi)\) sowie seine Inverse \(\frac1{m(\xi)}\) die Voraussetzungen des Multiplikatorensatzes erfüllen. Also folgt \[\begin{aligned} \| T_{\frac1m} T_m g_i \|_p &\le \tilde C \|T_m g_i\|_p = \tilde C \bigg\| f_i + {\mathrm i}^{1-k} \sum_{|\alpha|=k} \partial^\alpha f_i\bigg\|_p\notag\\& \le \tilde C' % \left\|\left. f_i \,\right|\, \mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n) \right\| .\end{aligned}\] Somit konvergiert \(g_i\) und liefert die gesuchte \(\mathrm L^p\)-Funktion.

Die obige Rechnung liefert insbesondere die Äquivalenz der Normen, beide dazu benötigte Abschätzungen wurden bewiesen. ◻

Proof. Wir konstruieren nicht \(G_k\) direkt, sondern regularisieren \(G_k\) durch Faltung und berechnen die regularisierten Funktionen. Dies führt auf \[\label{eq:Gk-def} G_k(x) = \lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} \langle\xi\rangle^{-k} \chi(\epsilon\xi){\,\mathrm d}\xi\] mit \(\chi\in\mathrm C^\infty_{c}({\mathbb R}^n)\), \(\chi(\xi)=1\) für \(|\xi|\le 1/2\). Wir zeigen, dass der Grenzwert punktweise für \(x\ne0\) existiert und die erhaltene Funktion alle Eigenschaften erfüllt. Aus \(G_k\in\mathrm L^1({\mathbb R}^n)\) folgt die Aussage über die Fouriertransformierte. Mit \(\tilde \chi = \mathscr F^{-1}\chi\) und \(\tilde\chi_\epsilon(x) = \epsilon^{-n}\tilde\chi(x/\epsilon)\) gilt \[\widehat{G_k} (\xi) = \lim_{\epsilon\to0} \widehat {G_k *\tilde\chi_\epsilon}(\xi) = \lim_{\epsilon\to 0} \langle\xi\rangle^{-k} \chi(\epsilon\xi) = \langle\xi\rangle^{-k}\] unter Ausnutzung der \(\mathrm L^1\to\mathrm L^\infty\) Stetigkeit der Fouriertransformation und der Fourierschen Inversionsformel.

Integrale der obigen Bauart werden als oszillierende Integrale bezeichnet. Die nachfolgenden Rechnungen sind typisch zum Behandeln solcher Ausdrücke. Für alle \(\epsilon>0\) und \(x\ne0\) kann man partiell integrieren und erhält wegen \[\Delta_\xi {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\xi} = - |x|^2 {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot \xi}\] für alle \(\ell\in\mathbb N_0\) \[\begin{aligned} \int &{\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} \langle\xi\rangle^{-k} \chi(\epsilon\xi){\,\mathrm d}\xi= |x|^{-2\ell} \int \big( (-\Delta_\xi)^\ell {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} \big)\langle\xi\rangle^{-k} \chi(\epsilon\xi){\,\mathrm d}\xi \notag\\ & =| x|^{-2\ell} \int {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} \big( (- \Delta_\xi)^\ell\langle\xi\rangle^{-k} \chi(\epsilon\xi) \big) {\,\mathrm d}\xi.\end{aligned}\] Der letzte Integrand kann durch \[\big| \Delta_\xi^\ell\langle\xi\rangle^{-k} \chi(\epsilon\xi) \big|\le C_\ell \langle\xi\rangle^{-k-2\ell}\] abgeschätzt werden. Für \(k+2\ell > n\) liefert dies eine integrierbare Majorante und erlaubt die Berechnung des Grenzwertes für \(\epsilon\to0\) mittels majorisierter Konvergenz. Insbesondere ergibt sich direkt die Abschätzung 2. Für \(\ell\) groß genug können Ableitung nach \(x\) und Integration vertauscht werden, woraus sich direkt 1 ergibt. Aussage 3 kennen wir schon.

Für Aussagen 4 und 5 benötigen wir eine genauere Analyse. Wir schreiben \(\langle\xi\rangle^{-k}\) als Summe \[|\xi|^{-k} + c_1 |\xi|^{-k-1} + \cdots \quad(\quad +c_{n-k}(1-\chi(\xi)) |\xi|^{-n}\quad)\quad + \mathcal O(|\xi|^{-n-1}).\] Das Restglied gehört zu \(\mathrm L^1({\mathbb R}^n)\), alle zu \(\mathrm L^1_{loc}({\mathbb R}^n)\). Das Restglied liefert somit direkt eine stetige Funktion nach Fouriertransformation. Die vorherigen sind zu berechnen. Nun gilt für \[I_k(x) = \lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} |\xi|^{-k} \chi(\epsilon\xi) {\,\mathrm d}\xi\] offenbar \[\begin{aligned} I_k(\delta x) &= \lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int {\mathrm e}^{{\mathrm i}\delta x \cdot\xi} |\xi|^{-k} \chi(\epsilon\xi){\,\mathrm d}\xi \notag\\ &=\delta^{k-n}\lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int {\mathrm e}^{{\mathrm i}x \cdot\xi} |\xi|^{-k} \chi(\epsilon \xi ){\,\mathrm d}\xi \notag\\ & = \delta^{k-n} I_k(x) \end{aligned}\] vermittels der Substitution \(\xi \to \delta\xi\), was zusammen mit der offensichtlichen Rotationssymmetrie auf \[I_k(x) = \gamma_{k,n} |x|^{k-n}\] führt. Die anderen Terme (bis eventuell auf den vorletzten) sind analog. Es bleibt also \[\tilde I_n(x) = \lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int (1-\chi(\xi)) {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} |\xi|^{-n} \chi(\epsilon\xi) {\,\mathrm d}\xi\] zu betrachten. Hier gilt entsprechend \[\begin{aligned} \tilde I_n(\delta x) &= \lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int (1-\chi(\xi/\delta)) {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} |\xi|^{-n} \chi(\epsilon\xi) {\,\mathrm d}\xi\notag\\ &= \tilde I_n(x) + \lim_{\epsilon\to0}\; (2\pi)^{-n} \int (\chi(\xi)-\chi(\xi/\delta)) {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} |\xi|^{-n} \chi(\epsilon\delta^{-1}\xi) {\,\mathrm d}\xi\\ &= \tilde I_n(x) + (2\pi)^{-n} \int (\chi(\xi)-\chi(\xi/\delta)) {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} |\xi|^{-n} {\,\mathrm d}\xi.\end{aligned}\] Für \(x\to0\) strebt das verbleibende Integral gegen eine Konstante \(\tilde \gamma_n \log \delta + d\). Wir wissen also für kleine \(x\) \[\tilde I_n(\delta x) = \tilde I_n(x) + \tilde \gamma_n \log \delta + d + o(1),\] was zusammen mit der Rotationssymmetrie auf \[\tilde I_n(x) \sim \tilde\gamma_n \log|x|\] führt. ◻

Proof. Beide Aussagen folgen direkt aus \(G_k\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) für \(k>n-\frac np\) verbunden mit der Youngschen Ungleichung für Faltungen¹⁵ \[\| f*g\|_r \le \|f\|_p \|g\|_q \qquad\qquad \frac 1r = \frac1p+\frac1q-1.\] Ist \(kp<n\), so ist \(k<n\) und \(G_k\in\mathrm L^r({\mathbb R}^n)\) für \(r< \frac{n}{n-k}\). Mit Youngscher Ungleichung folgt daraus aber für jedes \(f=G_k*g\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) die Abschätzung \[\begin{gathered} \|f\|_q\le \|g\|_p \|G_k\|_r = \|f\|_{p,k} \|G_k\|_r,\\ \frac1q = \frac1p+\frac1r -1 > \frac1p + \frac{n-k}n - 1= \frac{n-kp}{np}.\end{gathered}\] Für \(kp>n\) ist \(G_k\in\mathrm L^q({\mathbb R}^n)\) mit \(\frac1p+\frac1q=1\) und somit gilt für jedes \(f=G_k *g \in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) sofort \(\|f\|_\infty \le \|g\|_p \|G_k\|_q = \|f\|_{p,k}\|G_k\|_q\) und die Dichtheit der \(\mathrm C^\infty_{c}\)-Funktionen impliziert Stetigkeit und Abfallen von \(f\).

Beweis der Hilfsaussage: ( Young-Ungleichung ) Wir beschränken uns auf den Fall \(r<\infty\), der Fall \(r=\infty\) war Übungsaufgabe. Sei also \(f\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) und \(g\in\mathrm L^q({\mathbb R}^n)\) und \(r\) wie oben. Dann gilt wegen \(\frac{r-p}{r}+\frac pr = 1 = \frac{r-p}{pr} + \frac1r + \frac{r-q}{qr}\) unter mehrfacher Ausnutzung der Hölderschen Ungleichung \[\begin{aligned} \int &| f(x-y) g(y) |{\,\mathrm d}y = \int | f(x-y)|^{\frac{r-p}r} |f(x-y)|^{\frac pr} |g(y)|^{\frac qr} |g(y)|^{\frac{r-q}r} {\,\mathrm d}y\\ &= \left(\int |f(x-y)|^p{\,\mathrm d}y\right)^{\frac{r-p}{rp}} \left( \int |f(x-y)|^p |g(y)|^q{\,\mathrm d}y\right)^{\frac1r} \left(\int |g(y)|^q{\,\mathrm d}y\right)^{\frac{r-q}{rq}}\\\end{aligned}\] und damit \[\begin{aligned} \int\left( \int | f(x-y) g(y) |{\,\mathrm d}y \right)^r{\,\mathrm d}x& \le \|f\|_p^{r-p} \|g\|_q^{r-q} \int \int |f(x-y)|^p |g(y)|^q{\,\mathrm d}y {\,\mathrm d}x \\ & = \|f\|_p^{r-p} \|g\|_q^{r-q} \|f\|_p^p \|g\|_q^q = \|f\|_p^r\|g\|_q^r.\end{aligned}\] ◻

Proof. Sei \(f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\). Dann gilt \(f=G_k*g\) für ein \(g\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\). Sei \(r>0\) ein noch zu wählender Parameter. Dann gilt wegen der Rotationssymmetrie von \(G_k\) und dessen bekannten Abschätzungen mit \(p'\) dual zu \(p\) für \(r<1\) \[\begin{aligned} \int_{|y|>r} G_k(y) |g(x-y)| {\,\mathrm d}y &\le C \|g\|_p \left(\int_r^\infty G_k(\rho)^{p'} \rho^{n-1} {\,\mathrm d}\rho \right)^{1/p'}\notag\\ &\le C' \|g\|_p \left(\int_r^2 \rho^{\frac{(k-n)p}{p-1}} \rho^{n-1} {\,\mathrm d}\rho \right)^{\frac{p-1}p}\notag\\ &\le C'' \| g\|_p r^{k-n/p}.\end{aligned}\] Wir wählen \(r\) in Abhängigkeit von \(\lambda\) so, dass die letzte Zeile \(=\lambda/2\) gilt. Damit impliziert aber \[\begin{aligned} \lambda < |f(x)| \le \int_{|y|>r} G_k(y) |g(x-y)| {\,\mathrm d}y + \int_{|y|<r} G_k(y) |g(x-y)| {\,\mathrm d}y \end{aligned}\] schon \[f_r(x) = \int_{|y|<r} G_k(y) |g(x-y)| {\,\mathrm d}y > \frac\lambda2\] und wir erhalten wegen \[\|G_k1_{B_r}\|_1 \le C \int_0^r \rho^{k-n+n-1}{\,\mathrm d}\rho \le C' r^k\] somit die Behauptung \[\begin{aligned} \mu_f(\lambda) &\le \mu_{f_r}(\lambda/2) \le C (\lambda/2)^{-p} \| f_r \|_p^p \notag\\ & \le C' (\lambda/2)^{-p} \|G_k1_{B_r}\|_1^p \| g \|_p^p \notag\\ & \le C'' \lambda^{-p} r^{kp} \|g\|_p^p\notag\\& \le C''' \lambda^{-\frac{np}{n-kp}} \|g\|_p^p\end{aligned}\] ◻

Proof. Die erste Aussage folgt direkt mit Hölder, es gilt \[% \left\|\left. \partial^\alpha f \,\right|\, \mathrm L^q(\Omega') \right\| \le% \!\left\bracevert\!\Omega'\!\right\bracevert\!\!^{\frac1q-\frac1p}\;% \left\|\left. \partial^\alpha f \,\right|\, \mathrm L^p(\Omega) \right\|\] für \(f\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) und \(|\alpha|\le k\). Für die beiden verbleibenden Aussagen sei \(\chi\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega)\) mit \(\chi(x)=1\) für alle \(x\in\Omega'\) gewählt. Dann ist \(\chi f\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) mit \(\chi f(x)=f(x)\) in \(\Omega'\) und es gilt (trivial mit Null ausserhalb \(\Omega\) fortgesetzt) \(\chi f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\). Damit ist aber der Sobolevsche Einbettungssatz anwendbar und liefert \[\begin{aligned} % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm L^q(\Omega') \right\| &\le \|\chi f\|_q \le C_{p,k,n} \|\chi f\|_{p,k}\notag\\ &\le C_{p,k,n}' % \left\|\left. \chi f \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \le C_{p,k,n}'' % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \end{aligned}\] für \(kp\le n\) und entsprechend \[\begin{aligned} % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm L^\infty(\Omega') \right\| \le C_{p,k,n}'' % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \end{aligned}\] für \(kp>n\). ◻

Proof. Sei \(\epsilon>0\) und \(f\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\). Dann existiert nach dem Satz von Meyers und Serrin eine Funktion \(f_\epsilon\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\cap \mathrm C^\infty(\Omega)\) mit \[% \left\|\left. f-f_\epsilon \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \le \epsilon/2.\] Wir betrachten nun die Translate \(f_{\epsilon,\tau} (x) = f_\epsilon(x', x_n+\tau)\), also die um \(\tau\) in \(x_n\)-Richtung verschobenen Funktionen. Dann gilt mit \(\Omega_\tau = \{ x_n>h(x')+\tau\}\) \[\begin{aligned} % \left\|\left. f_{\epsilon,\tau} \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| = % \left\|\left. f_\epsilon \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega_\tau) \right\| \le % \left\|\left. f_{\epsilon} \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \end{aligned}\] und unter Ausnutzung der Stetigkeit im \(p\)-Mittel \[\begin{aligned} \| \partial^\alpha f_\epsilon - \partial^\alpha f_{\epsilon,\tau} \|_p^p = \int_\Omega | \partial^\alpha f(x) - \partial^\alpha f(x+\tau e_n)|^p {\,\mathrm d}x \to 0 \end{aligned}\] für \(|\alpha|\le k\). Also kann man \(\tau\) so klein wählen, dass \(% \left\|\left. f_\epsilon - f_{\epsilon,\tau} \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| < \epsilon/2\) und somit \[% \left\|\left. f-f_{\epsilon,\tau} \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| \le \epsilon\] gilt. Nach Konstruktion ist die Funktion \(f_{\epsilon,\tau}\) aber auf \(\overline\Omega\subset \Omega_{-\tau}\) glatt. ◻

Proof. Sei \(\chi\in\mathrm C^\infty_{c}({\mathbb R}^n)\) mit \(\chi(x)=1\) für \(|x|\le 1\) und \(\chi(x)=0\) für \(|x|>2\). Dann gilt für \(f_R(x) = f(x)\chi(x/R)\) offenbar \(f_R\in \mathrm W^{k,p}(\Omega)\) und \(f_R\to f\) in \(\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) für \(R\to\infty\). Also findet man zu \(\epsilon>0\) ein \(R\) mit \(% \left\|\left. f-f_R \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| <\epsilon/2\) und es genügt dieses \(f_R\) durch eine glatte Funktion zu approximieren.

Die Menge \(B_{2R}(0)\cap \Omega\) ist relativ kompakt im \({\mathbb R}^n\). Damit findet man eine endliche Überdeckung durch offene Teilmengen \(U_j\), die entweder ganz im Inneren des Gebiets liegen oder auf denen (nach Rotation) das Gebiet als Epigraph einer Funktion geschrieben werden kann. Wir nehmen an, dass die den Rand schneidenden Mengen zylindrisch sind. Sei weiter \(\psi_j\in\mathrm C^\infty({\mathbb R}^n)\) eine untergeordnete Partition, \(\sum_{j=1}^N \psi_j(x) = \chi(x/R)\) und \(f_{R,j}(x)=f(x)\psi_j(x)\). Es genügt zu zeigen, dass jede dieser endlich vielen Funktionen durch entsprechende glatte Funktionen approximiert werden kann. Für die ganz im Innern liegenden offenen Mengen ist das klar, es existiert ein glattes \(\tilde f_{R,j}\in\mathrm C^\infty_{c}(\Omega)\) mit \[% \left\|\left. f_{R,j}-\tilde f_{R,j} \,\right|\, \mathrm W^{k,p}(\Omega) \right\| < \frac{\epsilon}{2N}.\] Am Rand nutzt man das vorige Lemma. Wir finden also eine glatte Funktion \(\tilde f_{R,j}\) mit derselben Abschätzung, allerdings in der Sobolevnorm auf dem Hypergraphengebiet. Da \(f_{R,j}\) kompakten Träger in \(U_j\) besitzt, kann \(\tilde f_{R,j}\) auch mit Träger in \(U_j\) gewählt werden und die Norm entspricht der Sobolevnorm im Gebiet.¹⁷

Damit liefert die Dreiecksungleichung \[\begin{aligned} %\tnorm{f - \sum_{j=1}^N \tilde f_{R,j}}{\mathrm W^{k,p}(\Omega)} \le \tnorm{f-f_{R}}{\mathrm W^{k,p}(\Omega)} + \sum_{j=1}^N \tnorm{ f_{R,j} -\tilde f_{R,j} }{\mathrm W^{k,p}(\Omega)} <\epsilon \left\|{f - \sum_{j=1}^N \tilde f_{R,j}}\right\| \le \left\|{f-f_{R}}\right\|+ \sum_{j=1}^N \left\|{ f_{R,j} -\tilde f_{R,j} }\right\| <\epsilon\end{aligned}\] und der Satz ist bewiesen. ◻

Proof. Sei \(f\in\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n_+)\) und bezeichne \[f_{ext}(x',-x_n) = \sum_{j=1}^k c_j f(x', \lambda_j x_n)\] mit den gerade bestimmten Konstanten \(c_j\) und \(\lambda_j=j\). Wir approximieren \(f\) durch eine in \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n_+)\) konvergente Folge \(f_i\in \mathrm C^{k}({\mathbb R}^n_+)\cap\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n_+)\) und betrachten die Folge der Fortsetzungen \(f_{i,ext}\in\mathrm C^{k-1}({\mathbb R}^n)\). Diese gehören zu \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\).

Dabei gilt für \(|\alpha|\le k\) \[\begin{aligned} \| \partial^\alpha f_{i,ext} \|_p \le % \left\|\left. \partial^\alpha f_i \,\right|\, \mathrm L^p({\mathbb R}_+^n) \right\| + \sum_{j=1}^k |c_j| \lambda_j^{\alpha_n-1} % \left\|\left. \partial^\alpha f_i \,\right|\, \mathrm L^p({\mathbb R}_+^n) \right\| ,\end{aligned}\] also insbesondere \(% \left\|\left. f_{i,ext} \,\right|\, \mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n) \right\| \le C_{k} % \left\|\left. f_i \,\right|\, \mathrm W^{k,p}({\mathbb R}_+^n) \right\|\). Damit ist die Fortsetzung stetig und \(f_{i,ext}\) konvergiert für \(i\to\infty\) gegen die Fortsetzung \(f_{ext}\) im \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\). ◻

Proof. Nach Rotation gilt lokal \(U_{x^*}\cap\Omega = U_{x^*} \cap \{ x=Ry : y_n > h(y') \}\), es bleibt \(\Phi_{x^*}(x)= (y',y_n-h(y))-R^{-1}x^*\) für \(x=Ry\) zu setzen. ◻

Proof. Wegen der Beschränktheit des Gebietes ist \(\partial\Omega\) kompakt und es existiert eine endliche Überdeckung des Randes durch offene Mengen, in denen nach Rotation der Rand Graph einer \(\mathrm C^m\)-Funktion ist. Wir wählen eine untergeordnete Partition der Eins und zerlegen \(f\in\mathrm W^{k,p}(\Omega)\) entsprechend. Es genügt damit, jede einzelne dieser Funktionen fortzusetzen.

Dazu betrachten wir ein \(f\in\mathrm W^{k,p}(\tilde \Omega)\) mit kompaktem Träger auf einem Epigraphen \(\tilde\Omega = \{ x : x_n \ge h(x')\}\) für \(h\in\mathrm C^m\). Wir nutzen den Diffeomorphismus des vorletzten Lemmas um \(\tilde\Omega\) in \({\mathbb R}^n_+\) zu deformieren und setzen die Bildfunktion entsprechend vom Halbraum fort. Der Träger der Fortsetzung kann wiederum kompakt in der entsprechenden offenen Menge der Überdeckung gewählt werden. Obiges Lemma liefert die Äquivalenz der Normen; nach Zurückdeformieren sind wir also wirklich im \(\mathrm W^{k,p}({\mathbb R}^n)\) mit ensprechender Normabschätzung und die Summe der Fortsetzungen liefert die gesuchte Funktion. ◻

Proof. Da die Einbettung \(\mathscr S({\mathbb R}^n)\hookrightarrow \mathrm H^s({\mathbb R}^n)\) stetig ist, ist \(T:\mathscr S({\mathbb R}^n)\hookrightarrow \mathrm H^s({\mathbb R}^n)\to {\mathbb C}\) stetig und somit eine temperierte Distribution. Bezeichnet man diese wiederum mit \(T\), so bleibt \(T\in\mathrm H^{-s}({\mathbb R}^n)\) zu zeigen.

Wir führen diese Aussage auf den Rieszschen Darstellungssatz¹⁹ im \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) zurück. Sei dazu \(f\in\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\) und \(\widehat f(\xi) = \langle\xi\rangle^{-s}\tilde f(\xi)\) mit dem eindeutig bestimmten \(\tilde f\in\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). Wegen der Isometrie \(\|f\|_{\mathrm H^s} = \|\tilde f\|_2\) ist die Abbildung \(\tilde T : \tilde f \mapsto Tf\) stetig somit existiert nach dem Rieszschen Darstellungssatz im \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) ein \(\tilde g\), so dass für alle \(f\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\) \[\begin{aligned} T f &= \tilde T\tilde f = (\tilde f,\tilde g)_{\mathrm L^2} = \int \tilde f(\xi) \overline{\tilde g(\xi)}{\,\mathrm d}\xi = \int \langle \xi\rangle^s \widehat f(\xi) \overline{\tilde g(\xi)}{\,\mathrm d}\xi \notag\\ &= \langle \mathscr F^+ T ,\widehat f \rangle =\langle T , f \rangle\end{aligned}\] mit \(\widehat T(\xi) = \langle\xi\rangle^s \overline{\tilde g(-\xi)}\) gilt. Nach Konstruktion gehört \(T\) zu \(\mathrm H^{-s}({\mathbb R}^n)\). ◻

Proof.

1. Jede Funktion aus \(f|_\Omega\in\mathrm H^s(\Omega)\) ist Einschränkung einer Funktion \(f\in\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\). Zerlegt man diese mit dem Projektionssatz in \[f=\mathrm P^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega} f + (1-\mathrm P^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}) f ,\] so gilt nach Definition der Norm \[% \left\|\left. f|_\Omega \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\| = % \left\|\left. (1-\mathrm P^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}) f \,\right|\, \mathrm H^s({\mathbb R}^n) \right\| ,\] und die Abbildung \[\mathrm E_\Omega^s : f|_\Omega \mapsto (1-\mathrm P^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}) f\] ist eine Isometrie. Sie ist wohldefiniert, stimmen zwei Funktionen \(f\) und \(g\) auf \(\Omega\) überein, so gilt \(f-g\in\mathrm H^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}\) und somit \((1-\mathrm P^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}) f= (1-\mathrm P^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}) g\).

2. Sei \(f\in\mathrm H^s(\Omega)\) und \(\tilde f= \mathrm E_\Omega^s f\) die isometrische Fortsetzung. Dann existiert wegen der Dichtheit von \(\mathscr S({\mathbb R}^n)\) in \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\) eine Funktion \(\tilde f_\epsilon\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\) mit \(\|{\tilde f-\tilde f_\epsilon}\|_{2,s}<\epsilon\). Also folgt \[% \left\|\left. f|_\Omega - f_\epsilon|_\Omega \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\| = % \left\|\left. (f - f_\epsilon)|_\Omega \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\| \le \|{\tilde f-\tilde f_\epsilon}\|_{2,s}<\epsilon\]

 ◻

Proof. Dazu nutzen wir die Peetre-Ungleichung ²⁰ \[\langle \xi \rangle ^s \le 2^{|s|} \langle \xi-\eta \rangle^{|s|} \langle \eta\rangle^s.\] Damit gilt aber unter Ausnutzung der Youngschen Ungleichung und für beliebige \(f\in\mathscr S({\mathbb R}^n)\) \[\begin{aligned} \|\chi f\|_{2,s}& = \int \langle\xi\rangle^{2s} |\widehat {\chi f}(\xi)|^2 {\,\mathrm d}\xi \notag\\&\le (2\pi)^{n/2} 2^{|s|} \int\left| \int \langle\xi-\eta\rangle^{|s|} \widehat \chi(\xi-\eta) \langle\eta\rangle^s \widehat f(\eta){\,\mathrm d}\eta\right|^2{\,\mathrm d}\xi\notag\\ &\le (2\pi)^{n/2} 2^{|s|} \left(\int \langle\xi\rangle^{|s|}|\widehat\chi(\xi)|{\,\mathrm d}\xi\right)^2 \left( \int \langle\eta\rangle^{2s} |\widehat f(\eta)|^2{\,\mathrm d}\eta \right)\notag\\ &\le C_s \|f\|_{2,s}\end{aligned}\] und wegen der Dichtheit von \(\mathscr S({\mathbb R}^n)\) im Sobolevraum somit auch für beliebige \(f\in\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\). ◻

Proof. Die zweite Ungleichung folgt direkt aus vorigem Lemma. Für die erste nutzt man, dass \(f=\sum_j \chi_j f\) gilt und wendet die Dreiecksungleichung an. ◻

Proof. Nach Konstruktion gilt \(\mathcal E_\Omega^s = \mathrm{res}_\Omega^\top\), also sind Linearität und Beschränkheit der Fortsetzung klar. Wir schreiben \(f=(1-\mathrm P_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}^s)f + \mathrm P_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}^s f=f_1+f_2\). Dann gilt \[\langle\mathcal E^s_\Omega T, f\rangle = \langle T ,f|_\Omega\rangle = \langle\mathcal E^s_\Omega T, f_1\rangle.\] Wegen \(% \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm H^s({\mathbb R}^n) \right\| \ge% \left\|\left. f_1 \,\right|\, \mathrm H^s({\mathbb R}^n) \right\| =% \left\|\left. f|_\Omega \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\|\) ergibt sich daraus die Isometrie der Fortsetzung.

Es bleibt die Trägereigenschaft. Sei dazu \(f\in\mathrm C_c^\infty({\mathbb R}^n\setminus\overline\Omega)\). Dann gilt \(\langle \mathcal E_\Omega^s T, f\rangle = \langle T, f|_\Omega\rangle = 0\) und \(\mathcal E_\Omega^s T\) verschwindet auf \({\mathbb R}^n\setminus\overline\Omega\), ist also in \(\overline\Omega\) getragen. ◻

Proof. Wir skizzieren den Beweis nur. Damit die Fortsetzung surjektiv ist, muss es zu jedem \(S\in\mathrm H^{-s}_{\overline\Omega}\) ein \(T\in(\mathrm H^s(\Omega))'\) mit \(S=\mathcal E^s_\Omega T\) geben. Angenommen, dies gilt. Dann folgt aus \(f=(1-\mathrm P_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}^s)f + \mathrm P_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}^s f=f_1+f_2\) \[\begin{aligned} \langle \mathcal E^s_\Omega T, f\rangle = \langle S ,f\rangle =\langle S, f_1\rangle +\langle S ,f_2\rangle = \langle \mathcal E^s_\Omega T, f_1\rangle +\langle S ,f_2 \rangle=^! \langle\mathcal E^s_\Omega T, f_1\rangle\end{aligned}\] und damit \(\langle S,f_2\rangle=0\).

Es muss also für jedes \(f\in\mathrm H^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}\) und jedes \(S\in\mathrm H^{-s}_{\overline\Omega}\) die Beziehung \(\langle S,f\rangle =0\) gelten. Das ist eine Aussage über die ‘Größe’ des Randes \(\partial\Omega\). Sei dazu vorerst \(\Omega = \{ (x',x_n) : x_n>h(x)\}\) Epigraph einer stetigen Funktion \(h:{\mathbb R}^{n-1}\to{\mathbb R}\), \(S\in\mathrm H^{-s}_{\overline\Omega}\) und \(f\in\mathrm H^s_{{\mathbb R}^n\setminus\Omega}\) kompakt getragen. Für \(\epsilon>0\) sei \(f_\epsilon(x)=f(x',x_n+\epsilon)\) die um \(\epsilon\) in das Gebiet \({\mathbb R}^n\setminus\Omega\) hineingeschobene Funktion. Dann gilt (da die Träger disjunkt sind) \(\langle S, f_\epsilon\rangle=0\), ebenso \[\|f-f_\epsilon\|_{2,s}^2 = \int \langle\xi\rangle^{2s} |(1-{\mathrm e}^{{\mathrm i}\epsilon \xi_n}) \widehat f(\xi) |^2 {\,\mathrm d}\xi \to 0,\qquad \epsilon\to0\] nach majorisierter Konvergenz und somit wegen der Stetigkeit von \(S\) auf \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\) \[\langle S,f\rangle = \lim_{\epsilon\to0} \langle S,f_\epsilon \rangle = 0.\]

Für ein beliebiges Gebiet \(\Omega\) mit lokaler Graphenbedingung zerlegt man \(f\) entsprechend mit einer Partition der Eins und wendet obige Argumentation auf jedes der Teile an. ◻

Proof. Schritt 1, Stetigkeit: Die erste Aussage ist eine Stetigkeitsaussage, es genügt die entsprechende Abschätzung für den auf \(\mathrm C_c^\infty(\overline{{\mathbb R}^n_+})\) definierten Spuroperator zu beweisen. Sei dazu vorerst \(f\in\mathrm C_c^\infty({\mathbb R}^n)\). Dann liefert die Fouriersche Inversionsformel \[\gamma_0 f(x') = (2\pi)^{-n/2} \int \int {\mathrm e}^{{\mathrm i}x'\cdot\xi'} \widehat f(\xi',\xi_n) {\,\mathrm d}\xi'{\,\mathrm d}\xi_n\] und somit \[\begin{aligned} \widehat {\gamma_0 f}(\xi')= (2\pi)^{-1/2} \int \widehat f(\xi',\xi_n){\,\mathrm d}\xi_n.\end{aligned}\] Dies kann man mit Cauchy-Schwarz abschätzen. Es gilt \[| \widehat {\gamma_0 f}(\xi') |^2 \le \frac1{2\pi} \left( \int \langle\xi\rangle^{-2s} {\,\mathrm d}\xi_n \right) \left(\int \langle\xi\rangle^{2s} | \widehat f(\xi',\xi_n) | ^2 {\,\mathrm d}\xi_n\right) % = M_s(\xi')\left(\int \langle\xi\rangle^{2s} | \widehat f(\xi',\xi_n) | ^2 \d \xi_n\right)\] und mit der Substitution \(\xi_n = \langle\xi'\rangle t\), \(\langle \xi\rangle = \langle \xi'\rangle \langle t\rangle\), für alle \(s>\frac12\) \[\int \langle\xi\rangle^{-2s} {\,\mathrm d}\xi_n = \langle\xi'\rangle^{-2s+1} \int \langle t\rangle^{-2s} {\,\mathrm d}t = M_s \langle\xi'\rangle^{-2s+1}.\] Also folgt nach Integration über \(\xi'\) \[\begin{aligned} % \left\|\left. \gamma_0 f \,\right|\, \mathrm H^{s-\frac 12}({\mathbb R}^{n-1}) \right\| ^2 &= \int \langle\xi'\rangle^{2s-1} \widehat{\gamma f}(\xi'){\,\mathrm d}\xi' \notag\\ &\le \frac{M_s}{2\pi} \iint \langle\xi\rangle^{2s} | \widehat f(\xi',\xi_n) | ^2 {\,\mathrm d}\xi_n {\,\mathrm d}\xi' \notag\\ &= \frac{M_s}{2\pi} % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm H^s({\mathbb R}^n) \right\| .\end{aligned}\] Also kann man \(\gamma_0\) zu einer stetigen Abbildung \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\to\mathrm H^{s-\frac12}({\mathbb R}^{n-1})\) fortsetzen. Verknüpft mit dem (isometrischen) Fortsetzungsoperator ergibt dies aber gerade die gesuchte Spurabbildung.

Da \(\mathrm C_c^\infty(\overline{{\mathbb R}^n_+})\) dicht in \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n_+)\) ist, ist der Spuroperator von der gewählten Fortsetzung unabhängig.

Schritt 2, Surjektivität: In einem zweiten Schritt bleibt die Surjektivität des Spuroperators \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\to\mathrm H^{s-\frac12}({\mathbb R}^{n-1})\). Sei dazu \(g\in\mathrm H^{s-\frac12}({\mathbb R}^{n-1})\) mit \(s>\frac12\). Wir zeigen, dass dann durch \[f(x) = (2\pi)^{-(n-1)/2} \int \widehat g(\xi') { \theta( \langle\xi'\rangle x_n ) } {\mathrm e}^{{\mathrm i}x'\cdot\xi'} {\,\mathrm d}\xi',\qquad x\in{\mathbb R}^n\] für eine Abschneidefunktion \(\theta\in\mathrm C_c^\infty({\mathbb R})\) mit \(\theta(t)=1\) für \(|t|\le 1\) eine entsprechende Fortsetzung mit \(\gamma_0 f = g\) definiert ist. Das geschieht in zwei Schritten. Sei zuerst \(g\in\mathrm C_c^\infty({\mathbb R}^{n-1})\). Dann ist obiges Integral sinnvoll und es gilt auf Grund der Fourierschen Inversionsformel \[\gamma f(x') = f(x',0) = (2\pi)^{-(n-1)/2} \int \widehat g(\xi') {\mathrm e}^{{\mathrm i}x'\cdot\xi'} {\,\mathrm d}\xi' =g(x').\] Weiterhin ist die Zuordnung \(g\mapsto f\) stetig zwischen Sobolevräumen. Mit der Fouriersche Inversionsformel folgt \[\begin{aligned} \widehat{f}(\xi) = (2\pi)^{-1/2} {\widehat g(\xi')} \int {\mathrm e}^{-{\mathrm i}x_n\xi_n} \theta(\langle\xi\rangle x_n){\,\mathrm d}x_n = \widehat g(\xi'){\langle\xi'\rangle^{-1}} {\widehat \theta(\langle\xi'\rangle^{-1} \xi_n)}\end{aligned}\] und somit \[\begin{aligned} % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm H^s({\mathbb R}^n) \right\| ^2 &= \iint \langle\xi\rangle^{2s} | \widehat g(\xi')|^2 {\langle\xi'\rangle^{-2}} |{\widehat \theta(\langle\xi'\rangle^{-1} \xi_n)}|^2 {\,\mathrm d}\xi'{\,\mathrm d}\xi_n \notag\\ &=\int |\widehat g(\xi')|^2 \langle\xi'\rangle^{2s-1} \int \langle t\rangle^{2s} |{\widehat \theta(t)}|^2 {\,\mathrm d}t {\,\mathrm d}\xi' \notag\\ &=C_s % \left\|\left. g \,\right|\, \mathrm H^{s-\frac 12}({\mathbb R}^{n-1}) \right\| \end{aligned}\] unter Ausnutzung der Substitution \(\xi_n = \langle\xi'\rangle t\). Damit ist aber obiger Fortsetzungsoperator stetig und liefert eine Rechtsinverse zum Spuroperator \(\gamma_0\). ◻

Beweisskizze. Ein Diffeomorphismus mit diesen Bedingungen ist in Umgebungen \(\Omega'\) und \(\tilde\Omega'\) der Gebiete \(\Omega\) und \(\tilde\Omega\) fortsetzbar. Wir nehmen eine in der Umgebung \(\tilde\Omega'\) von \(\tilde\Omega\) getragene Abschneidefunktion \(\chi\), welche auf \(\tilde\Omega\) identisch gleich \(1\) ist und betrachten die Fortsetzung \(\chi(x) \mathrm E^s_{\tilde\Omega} f (x)\in\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\) und die entsprechend mit dem Diffeomorphismus transformierte Funktion \(\chi(\Phi(x)) \mathrm E^s_{\tilde\Omega} f (\Phi(x))\). Dabei ist nach Konstruktion \[\frac1{C_s'} \|\chi(x) \mathrm E^s_{\tilde\Omega} f (x)\|_{2,s} \le \| \mathrm E^s_{\tilde\Omega} f (x)\|_{2,s} = % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm H^s(\tilde \Omega) \right\| \le \| \chi(x) \mathrm E^s_{\tilde\Omega} f (x)\|_{2,s}\] und ebenso \[% \left\|\left. f\circ\Phi \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\| \le \| \chi(\Phi(x)) \mathrm E^s_{\tilde\Omega} f (\Phi(x)) \|_{2,s}.\] Aus der Diffeomorphieäquivalenz der \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\)-Norm würde also sofort \[% \left\|\left. f\circ\Phi \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\| \le C_s % \left\|\left. f \,\right|\, \mathrm H^s(\tilde\Omega) \right\|\] folgen. Die andere Ungleichung ergibt sich direkt durch Nutzung des Diffeomorphismus \(\Phi^{-1}\).

Es bleibt die Äquivalenz der entsprechenden \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\)-Normen zu zeigen. Für \(s=k\in\mathbb N\) folgt dies aus dem entsprechenden Resultat für \(\mathrm W^{k,2}({\mathbb R}^n)\), für \(s=-k\) aus Dualität. Die verbleibenden Fälle folgen daraus vermittels reeller oder komplexer Interpolation (siehe Kapitel 4). ◻

Proof. Schritt 1: Sei \(f_j\in M_h\) eine Folge. Sei weiter in einem ersten Schritt mit gemeinsamem kompakten Träger \(\mathop{\mathrm{supp}}f_j\subseteq K\). Da \(\| f_j\|_2\le M\) gleichmäßig beschränkt ist, existiert eine in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) schwach konvergente Teilfolge. Wir bezeichnen diese wieder mit \(f_{j}\). Für diese gilt (da \({\mathrm e}_\xi = x\mapsto {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi}\in\mathrm L^2(K)\)) \[\begin{aligned} &|\widehat f_j(\xi)| = (2\pi)^{-n/2} | % \left( f_j, {\mathrm e}_\xi \right)_{\mathrm L^2(K)} | \le C \|f_j\|_2\le CM\\ &|\widehat f_j(\xi) - \widehat f_i(\xi)| = (2\pi)^{-n/2} | % \left( f_j- f_i, {\mathrm e}_\xi \right)_{\mathrm L^2(K)} | \to 0,\qquad i,j\to\infty.\end{aligned}\] Die Folge der Funktionen \(\widehat f_j(\xi)\) konvergiert also punktweise. Wir zeigen, dass damit auch \(f_j\) in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) konvergiert. Dazu nutzen wir Plancherel und erhalten \[\begin{aligned} \| f_j - f_i\|_2^2 &= \|\widehat f_j - \widehat f_i\|_2^2 \notag\\ &=\int_{|\xi|\le r} |\widehat f_j(\xi)-\widehat f_i(\xi)|^2{\,\mathrm d}\xi + \int_{|\xi|>r} \frac1{h(|\xi|)} h(|\xi|) |\widehat f_j(\xi)-\widehat f_i(\xi)|^2{\,\mathrm d}\xi \notag\\ &\le \int_{|\xi|\le r} |\widehat f_j(\xi)-\widehat f_i(\xi)|^2{\,\mathrm d}\xi + \frac 4{h(r)}.\end{aligned}\] Da \(\widehat f_j(\xi)\) gleichmäßig beschränkt ist und punktweise konvergiert, strebt der erste Summand gegen Null für \(i,j\to\infty\). Für \(r\) groß wird der zweite beliebig klein. Damit ist aber \(f_j\) eine Cauchy-Folge in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). Damit ist aber die Teilmenge \(M_{h,K}=\{ f\in M_h : \mathop{\mathrm{supp}}f\subseteq K\}\) kompakt.

Schritt 2: Sei \(B_r\) die Kugel vom Radius \(r\) und \(\chi_r\) eine in \(B_{2r}\) getragene Abschneidefunktion mit \(\chi(x)=1\) für \(x\in B_r\) und \(0\le\chi(x)\le1\). Dann gilt für alle \(f\in M_h\) \[\| f - \chi_r f \|_2^2 = \int_{|x|>r} | (1-\chi_r(x)) f(x)|^2 {\,\mathrm d}x \le \sup_{|x|>r} \frac {(1-\chi_r(x))^2}{h(|x|)} \le \frac1{h(r)}\] sowie unter Ausnutzung der Youngschen Ungleichung (und für moderat wachsende submultiplikative²⁴ \(h\) mit \(h(|\xi|) \le C_h h(|\xi-\eta|) h(|\eta|)\)) \[\begin{aligned} \int h(|\xi|) |\widehat{\chi_r f}(\xi)|^2{\,\mathrm d}\xi &=c \int h(|\xi|) \left| \int \widehat {\chi_r}(\xi-\eta) \widehat f(\eta) {\,\mathrm d}\eta\right|^2{\,\mathrm d}\xi\notag\\ &=c \int \left| \int \sqrt{ h(|\xi-\eta|) } \widehat {\chi_r}(\xi-\eta) \sqrt{h(|\eta|)} \widehat f(\eta) {\,\mathrm d}\eta\right|^2{\,\mathrm d}\xi\notag\\ &\le cC_h \left(\int \sqrt{ h(|\xi|)} |\widehat{\chi_r}(\xi)|{\,\mathrm d}\xi\right)^2 \left(\int h(|\eta|) |\widehat f(\eta)|^2{\,\mathrm d}\eta\right) \notag\\& =C <\infty.\end{aligned}\] Damit existiert aber zu jedem \(\epsilon>0\) ein \(K\), so dass \(M_h\) in einer \(\epsilon\)-Umgebung der kompakten Menge \(C M_{h,K}\subset\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) liegt. Damit ist aber \(M_h\) selbst kompakt. ◻

Beweis des Auswahlsatzes von Rellich. Sei \(s>0\) und \(\Omega\subset{\mathbb R}^n\) beschränkt, sowie \(\chi\in\mathrm C_c^\infty({\mathbb R}^n)\) mit \(\chi(x)=1\) für \(x\in\Omega\). Sei weiter \(f_k\in\mathrm H^s(\Omega)\) mit \(% \left\|\left. f_k \,\right|\, \mathrm H^s(\Omega) \right\| \le 1\). Wir betrachten die Folge \(\tilde f_k(x) = \chi(x) \mathrm E^s_\Omega f_k(x)\in\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\) mit gemeinsamem kompakten Träger. Auf diese Folge kann voriges Lemma angewandt werden, sie besitzt also eine in \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) konvergente Teilfolge. Die Einschränkung dieser Folge auf \(\Omega\) ist die gesuchte in \(\mathrm L^2(\Omega)\) konvergente Teilfolge von \(f_k\). ◻

Proof. Wir zeigen die Aussage wiederum für \(s'=0\). Sei also \(f_k\in\mathrm H^s_{\overline\Omega}\) eine Folge mit \(% \left\|\left. f_k \,\right|\, \mathrm H^s({\mathbb R}^n) \right\| \le 1\). Wir wollen auf \(f_k\) obiges Lemma anwenden. Offenbar erfüllt \(\widehat{ f_k}(\xi)\) eine gewichtete \(\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\)-Bedingung, (das ist ja gerade die Definition des \(\mathrm H^s({\mathbb R}^n)\)), es bleibt eine entsprechende Bedingung für \(f_k(x)\) zu zeigen. Dazu nutzen wir den Sobolevschen Einbettungssatz, es ist \(\| f_k\|_q<C\) beschränkt für \(2<q<\frac{2n}{n-2s}\) und damit nach Hölder \[\int_{|x|>r} | f_k(x)|^2{\,\mathrm d}x \le % \!\left\bracevert\!\Omega\setminus B_r(0)\!\right\bracevert\!\!^{1-2/q} \| f_k\|_q^2\to 0\] gleichmäßig in \(k\). Damit liegt \(f_k\) aber in einem gewichteten \(\mathrm L^2\) und das obige Lemma liefert die Existenz einer konvergenten Teilfolge. ◻

Proof. Sei \(\varphi\in\mathcal A(\mathbb D)\) mit der MacLaurin-Reihe \(\varphi(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k\). Dann gilt für alle \(r<1\) auf Grund der Parseval-Identität ³¹ für Fourierreihen \[\int_{-\pi}^\pi |\varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t} )|^2 {\,\mathrm d}t = 2\pi \sum_{k=0}^\infty |c_k|^2 r^{2k}.\] Mit dem Satz über die monotone Konvergenz (angewandt auf Reihen) folgt also \[\sup_{r<1} \int_{-\pi}^\pi |\varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t} )|^2 {\,\mathrm d}t = 2\pi\lim_{r\to1} \sum_{k=0}^\infty |c_k|^2 r^{2k} = 2\pi \sum_{k=0}^\infty |c_k|^2\] und [eq:3:H2-cond] ist äquivalent zu \[\sum_{k=0}^\infty |c_k|^2<\infty,\qquad\text{d.h.}\quad f(t) = \sum_{k=0}^\infty c_k {\mathrm e}^{{\mathrm i}kt}\in\mathrm L^2(-\pi,\pi).\]

Weiterhin folgt aus dem Satz über die majorisierte Konvergenz \[\int | \varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) - f(t)|^2{\,\mathrm d}t = 2\pi \sum_{k=0}^\infty (r^k-1)^2 |c_k|^2 \to 0,\qquad r\to1\] und das Lemma ist bewiesen. ◻

Proof. Es gilt mit der Formel für die geometrische Reihe \[\frac{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}+z}{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}-z} =\frac{1+ z{\mathrm e}^{-{\mathrm i}\theta}}{1-z{\mathrm e}^{-{\mathrm i}\theta}} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty z^k {\mathrm e}^{-{\mathrm i}k\theta}\] lokal gleichmäßig in \(|z|< 1\) und \(\theta\in{\mathbb R}\). Ist nun \(g(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k\), so folgt \[\begin{aligned} \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi {\mathrm e}^{-{\mathrm i}n\theta} \Re g({\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}){\,\mathrm d}\theta &= \frac1{4\pi} \int_{-\pi}^\pi {\mathrm e}^{-{\mathrm i}n\theta} \big( g({\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}) + \overline{g({\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta})}\big){\,\mathrm d}\theta \notag\\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac1{4\pi} \int_{-\pi}^\pi {\mathrm e}^{-{\mathrm i}n\theta} \big( c_k{\mathrm e}^{{\mathrm i}k\theta} + \overline c_k {\mathrm e}^{-{\mathrm i}k\theta}\big) {\,\mathrm d}\theta \notag\\ &=\begin{cases} \Re c_0 ,\qquad &n=0,\\ \frac 12 c_n,\qquad &n=1,2,\ldots. \end{cases}\end{aligned}\] und somit \[\begin{aligned} \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}+z}{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}-z} \Re g({\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}){\,\mathrm d}\theta &= \Re c_0 +\frac1{\pi} \sum_{k=1}^\infty z^k \int_{-\pi}^\pi {\mathrm e}^{-{\mathrm i}k\theta} \Re g({\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}){\,\mathrm d}\theta\notag\\ &= g(z) - {\mathrm i}\Im c_0 = g(z) - {\mathrm i}\Im g(0). \end{aligned}\] Damit ist die (komplexe) Poissonsche Integralformel gezeigt. ◻

Proof. Es gilt für \(\rho<1\) und \(r<1\) die Poissonsche Integralformel (für \(\varphi(\rho z)\)) \[\varphi(r\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) \varphi(\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}){\,\mathrm d}\theta.\] Weiterhin gilt \(P_r\in\mathrm L^2(-\pi,\pi)\) und somit kann der Grenzwert für \(\rho\to1\) gebildet werden; es gilt \[\begin{gathered} \varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \lim_{\rho\to1} \varphi(r\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \lim_{\rho\to1} \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) \varphi(\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}){\,\mathrm d}\theta\\ = \frac1{2\pi} \int_{0}^{2\pi} P_r(t-\theta) f(\theta) {\,\mathrm d}\theta.\end{gathered}\] unter Ausnutzung von \(\varphi(\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot}) \to f\) in \(\mathrm L^2(-\pi,\pi)\). ◻

Beweisskizze. \([1\to2]\) Für analytische Funktionen \(\varphi\in\mathcal A(\mathbb D)\) gilt die (skalierte) Poissonsche Integralformel \[\varphi(\rho r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_\rho(t-\theta) \varphi( r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}){\,\mathrm d}\theta\] für alle \(\rho<1\) und \(r<1\). Da der Poissonkern zu \(\mathrm L^{p'}(-\pi,\pi)\) gehört, impliziert schwache Konvergenz punktweise in \(\rho\) und \(t\) \[\varphi(\rho {\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \lim_{r\to1} \varphi(\rho r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_\rho(t-\theta) f (\theta) {\,\mathrm d}\theta\] und damit [2].

\([2\to3]\) Der Poissonkern ist positiv und hat Integral 1. Damit gilt mit der Minkowski-Ungleichung für Integrale \[\begin{aligned} \| f - \varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot}) \|_p &= \left\| \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(\theta) ( f(t) - f(t-\theta) ) {\,\mathrm d}\theta \right\|_p \notag\\&\le \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(\theta) \| f - f(\cdot -\theta) \|_p {\,\mathrm d}\theta \notag\\ &\le \frac1{2\pi} ( \int_{|\theta|\ge \delta} + \int_{|\theta|\le \delta} ) P_r(\theta) \| f - f(\cdot -\theta) \|_p {\,\mathrm d}\theta.\end{aligned}\] Das erste Integral strebt gegen Null, da \(P_r(\theta)\to 0\) gleichmäßig in \(|\theta|\ge \delta\) für \(r\to 1\). Wegen der Stetigkeit im \(p\)-Mittel kann man das zweite Integral durch \[\frac1{2\pi} \int_{|\theta|\le \delta} P_r(\theta) \| f - f(\cdot -\theta) \|_p {\,\mathrm d}\theta \le \sup_{|\theta|<\delta} \| f - f(\cdot -\theta) \|_p \to 0,\qquad \delta\to0\] abschätzen. Damit folgt aber [3].

\([3\to4]\) folgt, da normkonvergente Folgen auch in der Norm beschränkt sind.

\([4\to1]\) Da \(\mathrm L^p(-\pi,\pi)\) separabel und reflexiv ist, besitzt jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge (Satz von Banach-Alaoglu in separablen Räumen). Für diese Teilfolge kann man die Argumentation aus dem ersten Schritt anwenden, es gilt also die Poissonsche Integraldarstellung von \(\varphi\) durch den schwachen Grenzwert. Da dieser damit aber auch (starker) Randwert ist, sind die schwachen Grenzwerte eindeutig und die schwache Konvergenz folgt. ◻

Proof. Sei \(|\alpha_k|<r\) für \(k\le m\) und \(|\alpha_{m+1}|=\cdots=|\alpha_N|=r\). Dann ist \[\psi(z) = \varphi(z) \prod_{k=1}^m \frac{r^2-\overline\alpha_k z}{r(\alpha_k-z)} \prod_{k=m+1}^N \frac{\alpha_k}{\alpha_k-z}\] analytisch in einer Umgebung der Kreisscheibe \(|z|\le r\) und nach Konstruktion nullstellenfrei. Also ist auch die Funktion \(\log\psi(z)\) analytisch und es gilt mit der Mittelwerteigenschaft für deren Realteil \(\log|\psi(z)|\) \[\log |\psi(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \log| \psi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| {\,\mathrm d}t.\] Weiter ist \[|\psi(0)| = |\varphi(0)| \prod_{k=1}^m \frac{r}{|\alpha_k|} = |\varphi(0)| \prod_{k=1}^N \frac{r}{|\alpha_k|}\] und mit \(\alpha_k=r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t_k}\), \(k>m\), \[\log|\psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| = \log|\varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| - \sum_{k=m+1}^N \log| 1-{\mathrm e}^{{\mathrm i}(t-t_k)}|.\] Die Behauptung folgt damit aus \[\int_{-\pi}^\pi \log| 1-{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}| {\,\mathrm d}t = \Im \int_{\mathbb T} \frac{ \log(1-z) }z {\,\mathrm d}z = 0.\] ◻

Proof. In der Jensenschen Formel ist \(\prod_{k} \frac{r}{|\alpha_k|}\ge 1\). ◻

Beweisskizze. Die Mittelwerteigenschaft charakterisiert harmonische Funktionen. Damit impliziert das vorige Korollar, dass \(\log|\varphi(z)|\) stets kleiner ist als die durch die Randwerte \(\log|\varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|\) auf dem Kreis \(|z|\le r\) definierte harmonische Funktion. Also gilt \[\log |\varphi(r\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| \le \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) \log |\varphi(\rho {\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta})| {\,\mathrm d}\theta.\] Die Jensensche Ungleichung für konvexe Funktionen impliziert damit aber (wegen \(P_r(t)>0\) und \(\int P_r(t){\,\mathrm d}t= 2\pi\)) zusammen mit der Monotonie von \(\Phi\) \[\begin{aligned} \Phi(\log |\varphi(r\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|) &\le \Phi\left( \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \log |\varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| {\,\mathrm d}t \right)\notag\\&\le \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) \Phi( \log |\varphi(\rho {\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta})| ) {\,\mathrm d}\theta,\end{aligned}\] und somit nach nochmaliger Integration und Vertauschen der Integrationsreihenfolge die Behauptung, \[\int_{-\pi}^\pi \Phi(\log |\varphi(r \rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|) \le \int_{-\pi}^\pi \underbrace{\bigg( \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta){\,\mathrm d}t \bigg)}_{=1}\;\Phi( \log |\varphi(\rho {\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta})| ) {\,\mathrm d}\theta\] ◻

Proof. Die Funktion \(s\mapsto {\mathrm e}^{p s}\) ist konvex für alle in Betracht kommenden \(p\), also ist das Supremum tatsächlich ein Limes. Da wir schon wissen, dass Randwerte in \(\mathrm L^p\) angenommen werden, folgt die Behauptung. ◻

Proof. Hat \(\varphi\) in \(z=0\) eine Nullstelle der Ordnung \(m\), so betrachten wir \(z^{-m}\varphi(z)\), was wiederum zu \(\mathcal N(\mathbb D)\) gehört. Wir können also annehmen, dass \(\varphi(0)\ne0\) gilt. Sei weiter \(n( r)\) die Zahl der Nullstellen vom Betrag kleiner oder gleich \(r\) und seien die Nullstellen vom Betrag her geordnet. Dann gilt mit der Jensenschen Formel \[|\varphi(0)| \prod_{k=1}^{n( r)}\frac{ r}{|\alpha_k|} = \exp\left(\frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \log| \varphi( r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| {\,\mathrm d}t \right) .\] Nach Voraussetzung ist die rechte Seite gleichmäßig in \(r\) beschränkt. Es gibt also eine Konstante \(C\), so dass für \(n\le n(r)\) \[|\varphi(0)| \prod_{k=1}^n \frac{ r}{|\alpha_k|} \le |\varphi(0)| \prod_{k=1}^{n( r)}\frac{ r}{|\alpha_k|} \le C\] und damit \[\prod_{k=1}^n |\alpha_k| \ge C^{-1} |\varphi(0)| r^n.\] Mit \(n\to\infty\) folgt die erste Behauptung.

Betrachtet man nun endliche Blaschke-Produkte, so gilt für alle \(|z|\le r<1\) und hinreichend große \(k\) \[\log \prod_{k} \frac{\alpha_k-z}{1-\overline{\alpha_k}z} \frac{|\alpha_k|}{\alpha_k}= \sum_{k} \log\frac{\alpha_k-z}{1-\overline{\alpha_k}z}\frac{|\alpha_k|}{\alpha_k}\] und \[\begin{gathered} \left| \log\frac{\alpha_k-z}{1-\overline{\alpha_k}z}\frac{|\alpha_k|}{\alpha_k}\right| \le c \left| 1 - \frac{\alpha_k-z}{1-\overline{\alpha_k}z}\frac{|\alpha_k|}{\alpha_k}\right| \\= c \left| \frac{\alpha_k+|\alpha_k|z}{(1-\overline{\alpha_k }z)\alpha_k}\right| (1-|\alpha_k|) \le c \frac{1+ r}{1- r} (1-|\alpha_k|).\end{gathered}\] Damit konvergiert aber die Reihe der Logarithmen auf jedem Kreis \(|z|\le r\) für \(r<1\) gleichmäßig und somit auch das unendliche Produkt. Weiterhin sind alle Faktoren betragsmäßig kleiner \(1\) und damit \(|B(z)| \le 1\). ◻

Proof. Für endlich viele Nullstellen ist die Aussage trivial, wir nehmen also an, dass \(B(z)\) unendlich viele Nullstellen in \(\mathbb D\) besitzt. Da \(|B(z)|\le 1\) gilt, folgt die Behauptung aus \[% \left\|\left. B \,\right|\, \mathcal H^p(\mathbb D) \right\| ^p = \lim_{r\to1} \int_{-\pi}^\pi | B(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p{\,\mathrm d}t = 2\pi\] für \(p<\infty\). Wir nutzen die Monotonie des Integrals bezüglich \(r\), \[% \left\|\left. B \,\right|\, \mathcal H^p(\mathbb D) \right\| ^p \ge 2\pi |B(0)|^p.\] Schreibt man nun \(B(z) = B_n(z)R_n(z)\) mit \(B_n(z)\) dem Blaschke-Produkt über die ersten \(n\) betragsmäßig kleinsten Nullstellen \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\), so gilt \[|R_n(0)|=|\alpha_{n+1}\alpha_{n+2}\cdots|\] und wegen \(B_n({\mathrm e}^{{\mathrm i}t})=1\) \[% \left\|\left. B \,\right|\, \mathcal H^p(\mathbb D) \right\| ^p = % \left\|\left. R_n \,\right|\, \mathcal H^p(\mathbb D) \right\| ^p \ge 2\pi |R_n(0)|^p = 2\pi |\alpha_{n+1}\alpha_{n+2}\cdots|^p.\] Für \(n\to\infty\) strebt das Produkt der Nullstellen gegen \(1\) und die Behauptung folgt. ◻

Proof. Wir nutzen die Zerlegung von \(B(z)\) des letzten Beweises und schreiben \(\varphi(z) = B_n(z) R_n(z) \psi(z)\) mit einer offenbar holomorphen Funktion \(\psi\in\mathcal A(\mathbb D)\). Damit ist (wegen der Monotonie des Integrals bezüglich \(r\) und \(|B_n(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|\to1\) gleichmäßig in \(t\) für \(r\to1\)) \[% \left\|\left. \varphi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| ^p = \lim_{r\to1} \int_{-\pi}^\pi |\varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p{\,\mathrm d}t = % \left\|\left. R_n\psi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| ^p.\] Da weiterhin \(|R_n(z)\psi(z)|\) punktweise monoton gegen \(|\psi(z)|\) strebt, folgt mit dem Satz über monotone Konvergenz für \(r<1\) \[\int_{-\pi}^\pi |\psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p {\,\mathrm d}t = \sup_n \int_{-\pi}^\pi |R_n(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) \psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p {\,\mathrm d}t \le % \left\|\left. \varphi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| ^p % \tnorm{\psi}{\mathcal H^p} = \sup_n \tnorm{R_n\psi}{\mathcal H^p} = \tnorm{\varphi}{\mathcal H^p} .\] und damit \(% \left\|\left. \psi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| \le % \left\|\left. \varphi \,\right|\, \mathcal H^p \right\|\). Das Lemma ist gezeigt, die umgekehrte Richtung \(% \left\|\left. \varphi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| =% \left\|\left. B\psi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| \le % \left\|\left. \psi \,\right|\, \mathcal H^p \right\|\) folgt direkt aus \(|B(z)|\le 1\). ◻

Proof. Sei \(\varphi(z)=\psi(z)B(z)\) die Faktorisierung von \(\varphi\). Dann folgt die Behauptung mit \(\psi_1(z)=\sqrt{\psi(z)}\), \(\psi_2(z)=\psi_1(z)B(z)\). ◻

Proof. Man zerlegt \(\varphi\) in ein Produkt von zwei \(\mathcal H^2\)-Funktionen. Für diese gilt \(\mathrm L^2\)-Konvergenz für Randwerte und die Behauptung folgt mit der Hölderschen Ungleichung. ◻

Proof. Wir betrachten das Poissonintegral \[\varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t}) = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) {\,\mathrm d}\mu(\theta).\] Dies erfüllt \(\| \varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot}) \|_1 \le \|\mu\|\). Weiterhin gilt \(|\widehat \mu(k)|\le \|\mu\|\) und damit \[\varphi(z) = \sum_{n=0}^\infty \widehat\mu(k) z^k\] auf \(\mathbb D\). Also folgt \(\varphi(z)\in\mathcal H^1(\mathbb D)\), \(\varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot})\stackrel*\rightharpoonup \mu\), und somit \({\,\mathrm d}\mu(t) = f(t) {\,\mathrm d}t\) mit dem Grenzwert \(f\) aus [eq:3:H1RW] ◻

Beweisskizze. Sei \(\varphi\in\mathcal N(\mathbb D)\) und sei \(B(z)\) das Blaschke-Produkt über die Nullstellen von \(\varphi\). Dann ist \(\psi(z) = \varphi(z) / B(z)\in\mathcal N(\mathbb D)\) nullstellenfrei und somit \(\log|\psi(z)|\) harmonisch. Also gilt die Poissonsche Integralformel \[\log|\psi(r\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})| = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) \log|\psi(\rho{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta})| {\,\mathrm d}\theta\] für alle \(\rho<1\) und \(r<1\). Wir wollen \(\rho\to1\) streben lassen. Da \[\log|\psi(0)| =\frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \log|\psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|{\,\mathrm d}t\] unabhängig von \(r\) ist, folgt aus der Nevanlinna-Bedingung [eq:3:N-bound] sogar \[\sup_{r<1} \int_{-\pi}^\pi |\log|\psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})||{\,\mathrm d}t < \infty\] und somit ist \(\log|\psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot})|\) in \(\mathrm L^1(-\pi,\pi)\) gleichmäßig beschränkt. Damit existiert aber nach dem Satz von Alaoglu eine schwach-* konvergente Folge mit einem reellen Radon-Maß \(\nu\) als Grenzwert und es folgt die Poissonsche Integraldarstellung \[\log|\psi(r{\mathrm e}^{i t})| = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi P_r(t-\theta) {\,\mathrm d}\nu(\theta).\] Die Eigenschaften des Poissonkerns implizieren die Eindeutigkeit des Grenzwerts und somit die schwach-* Konvergenz \(\log|\psi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot})| \stackrel*\rightharpoonup \nu\).

Die Behauptung folgt nun durch Anwenden des Lebesgueschen Zerlegungssatzes auf \(\nu\), es existieren also ein eindeutig bestimmtes Maß \(\mu\) welches singulärstetig zum Lebesgue-Maß ist und nach dem Satz von Radon-Nikodym eine Dichtefunktion \(f\in\mathrm L^1(-\pi,\pi)\) mit \[{\,\mathrm d}\nu(\theta) = f(\theta) {\,\mathrm d}\theta + {\,\mathrm d}\mu(\theta)\] und die Behauptung folgt. ◻

Proof. [1.] Wir fassen den Hardy-Raum als Banach-Raum über \({\mathbb R}\) auf und schreiben \(\widetilde{\mathcal H}^p = \Re \widetilde{\mathcal H}^p \oplus {\mathrm i}\Im \widetilde{\mathcal H}^p \simeq \Re \widetilde{\mathcal H}^p\oplus \Re \widetilde{\mathcal H}^p\). Da \[|\varphi(0)| \le % \left\|\left. \varphi \,\right|\, \mathcal H^p \right\|\] gilt, ist der Teilraum \(\widetilde{\mathcal H}^p_0 = \{f \in \widetilde{\mathcal H}^p : \Im\varphi(0)=0\}\) abgeschlossen und in ihm die Zuordnung \(\Re f\mapsto \Im f\) bijektiv. Dieser Teilraum ist aber gerade der Graph der Hilbert-Transformation (bezüglich obiger Zerlegung des Raums) und somit diese nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen beschränkt.

[2.] Dies ist ein auf M. Riesz zurückgehende Satz, wir geben den Originalbeweis. Weiter genügt es, den Beweis für \(1<p<2\) zu führen.⁴⁰ Sei also \(f\in\mathrm L^p(-\pi,\pi)\) mit \(f(t)\ge0\) und \(f\ne0\). Sei weiter \(\varphi\) durch das komplexe Poisson-Integral definiert, \[\varphi(z) = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}+z}{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}-z} f(\theta){\,\mathrm d}\theta ,\qquad |z|<1.\] Es genügt zu zeigen, dass \(\varphi\in\mathcal H^p(\mathbb D)\).

Dann gilt \(\Re \varphi(z) > 0\) und die Funktion \(\varphi(z)^p\) ist holomorph (und so gewählt, dass \(\varphi(0)^p>0\)). Sei weiter \(\gamma\) eine reelle Zahl mit \(0<\gamma<\pi/2\) und \(p\gamma>\pi/2\) und weiterhin \(I_r = \{ t : |\arg\varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|<\gamma\}\). Dann gilt auf \(I_r\) \[| \varphi (z) | < \Re \varphi (z) (\cos\gamma)^{-1}\] und somit \[\frac1{2\pi} \int_{I_r} |\varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p {\,\mathrm d}t \le (\cos\gamma)^{-p} \|\Re \varphi (r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\cdot})\|_p^p \le (\cos\gamma)^{-p} \|f\|_p^p.\]

Weiterhin gilt da \(\Re\varphi^p\) harmonisch und auf \(I_r^c\) negativ ist \[\label{eq:3:eee} (\varphi(0))^p = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi\Re (\varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t})^p) {\,\mathrm d}t \le \frac1{2\pi} \int_{I_r} | \varphi(r {\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p {\,\mathrm d}t \le (\cos\gamma)^{-p} \|f\|_p^p.\]

Auf dem Komplement \(I_r^c\) gilt andererseits \[|\varphi(z)|^p \le \Re (\varphi(z)^p) \cos(p\gamma)^{-1}\] (wobei beide Faktoren negativ sind) und wegen [eq:3:eee] \[\frac1{2\pi} \int_{I_r^c} |\Re \varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})^p| {\,\mathrm d}t \le ( 1 + (\cos\gamma)^{-p} ) \|f\|_p^p.\] Zusammengefasst erhält man daraus \[\frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |\varphi(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}t})|^p {\,\mathrm d}t\le \big( (\cos\gamma)^{-p} - (\cos p\gamma)^{-1} (1+(\cos\gamma)^{-p})\big) \|f\|_p^p %c_p \|f\|_p^p.\] und damit \(% \left\|\left. \varphi \,\right|\, \mathcal H^p \right\| \le c_p\|f\|_p\) mit einer von \(p\) abhängenden Konstanten \(c_p\). Linearität erlaubt die Ausweitung auf beliebige komplexwertige \(f\) (mit der vierfachen Konstanten).

[3.] Für \(p=\infty\) folgt dies direkt vermittels \(\varphi(z) = {\mathrm i}\log \frac{1+z}{1-z}\). Dann ist \(|\Re\varphi(z)|\le \frac\pi2\), aber \(\Im\varphi(z)\) unbeschränkt. Der Fall \(p=1\) folgt aus der Dualität, wäre \(H\) auf \(\mathrm L^1\) beschränkt, so müsste für \(f\in\mathrm L^1(-\pi,\pi)\) und \(g\in\mathrm L^\infty(-\pi,\pi)\) \[|\langle Hg,f\rangle| = | \langle g, Hf \rangle | \le c \|g\|_\infty \|f\|_1\] gelten und \(H\) wäre auch auf \(\mathrm L^\infty\) beschränkt. ◻

Beweis für \(1<p<\infty\). Schritt 1. Sei \(w:\overline{{\mathbb R}^{n+1}_+}\to{\mathbb R}\) harmonisch und gelte eine Schranke der Form \(\sup_{t} \| w(\cdot,t)\|_p <\infty\). Sei weiter \(\chi\in \mathrm C_0^\infty({\mathbb R}^n)\) mit \(0\not\in\mathop{\mathrm{supp}}\chi\). Dann ist \(\mathscr F^{-1}[\chi]*w\) ebenso harmonisch und es gilt für die partielle Fouriertransformation bezüglich \(x\) \[\partial_t^2 \chi(\xi)\widehat w(\xi,t) = |\xi|^2\chi(\xi)\widehat w(\xi,t)\] und damit (da \({\mathrm e}^{\pm t|\xi|} \chi(\xi)\in \mathrm C^\infty({\mathbb R}^n)\)) \[\chi(\xi) \widehat w(\xi,t) = {\mathrm e}^{t|\xi|} \chi(\xi) \widehat w_+(\xi) + {\mathrm e}^{-t|\xi|} \chi(\xi) \widehat w_-(\xi),\qquad \widehat w_\pm\in\mathscr D'({\mathbb R}^n\setminus 0).\] Betrachtet man nun die beiden Summanden getrennt und bezeichnet diese entsprechend mit \(w_{\chi,\pm}(x,t)\), so ist \(w_{\chi,+}(\cdot,t)\) für \(w\ne0\) unbeschränkt in \(\mathscr S'({\mathbb R}^n)\) und \(w_{\chi,-}(\cdot,t)\to0\) in \(\mathscr S'({\mathbb R}^n)\). Also muss \(\widehat w_+(\xi)=0\) auf \({\mathbb R}^n\setminus\{0\}\) gelten.

Damit bestimmen die Randwerte \(w(x,0)\) aber die harmonische Funktion \(w\). Sind \(f,g\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) mit \(\widehat f(\xi)=\widehat g(\xi)\) auf \({\mathbb R}^n\setminus\{0\}\), so folgt \(\mathop{\mathrm{supp}}(\widehat f-\widehat g)\subset\{0\}\) und somit ist \(f-g\) ein Polynom. Das einzige in \(\mathrm L^p\) liegende Polynom ist aber das Nullpolynom und damit \(f=g\).

Betrachtet man nun Poissonintegrale \[w(x,t) = \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) f(y){\,\mathrm d}y\] für gegebenes \(f\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\), so sind die entstehenden Funktionen harmonisch und erfüllen (da \(P_t(x)>0\) für \(t>0\) gilt und \(\int P_t(x){\,\mathrm d}x=1\) gesetzt wurde) \[\lim_{t\to0} w(x,t) = f(x),\qquad \lim_{t\to\infty} w(x,t)=0\] in \(\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\). Damit gilt aber (wegen der Eindeutigkeit aus Schritt 1) für jede Komponente \(u_j\) eines monogenen Systems \[u_j(x,t+t_0) = \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) u_j(y,t_0){\,\mathrm d}x.\] Es bleibt der Grenzwert für \(t_0\to0\) zu betrachten. Da \(\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) für \(1<p<\infty\) reflexiv ist, folgt aus der gleichmäßigen Schranke an die \(\mathrm L^p\)-Norm die Existenz einer Folge \(t_k\to0\) für \(u_j(x,t_k)\to \tilde u_j(x)\) in schwach in \(\mathrm L^p\) konvergiert. Damit folgt aber wegen \(P_t(x)\in\mathrm L^q({\mathbb R}^n)\) zusammen mit der Stetigkeit harmonischer Funktionen \[u_j(x,t) = \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) \tilde u_j(y){\,\mathrm d}x\] und damit \(u_j(\cdot,t)\to \tilde u_j\) in der \(\mathrm L^p\)-Norm. Wir bezeichnen den Grenzwert deshalb mit \(u_j\) und haben die Poissonsche Integraldarstellung gezeigt.

Für \(p=1\) folgt analog die schwach-* Konvergenz im Raum der beschränkten Radonmaße, \(u_j(x,t){\,\mathrm d}x\stackrel*\rightharpoonup {\,\mathrm d}\mu_j\), und die entsprechende Randintegraldarstellung \[u_j(x,t) = \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) {\,\mathrm d}\mu_j(y)\] durch Maße als Randwerte.

Sei nun \(\Phi\in\mathcal H^p({\mathbb R}^{n+1}_+)\) ein monogenes System mit den Komponenten \(u_j(t,x)\). Für \(\xi\ne0\) gilt dann im Fourierbild \[\widehat u_j(\xi,t) = {\mathrm e}^{-t|\xi|} \widehat u_j(\xi).\] Das verallgemeinerte Cauchy–Riemann-System kann damit aber in den Randkomponenten geschrieben werden. Es muss also \[-|\xi| \widehat u_0(\xi) - {\mathrm i}\sum_{j=1}^n \xi_j \widehat u_j(\xi) =0,\qquad \xi_j \widehat u_k(\xi) = \xi_k \widehat u_j(\xi)\] gelten. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, welches \(\widehat u_j(\xi)\) durch \(\widehat u_0(\xi)\) bestimmt, es folgt \[|\xi| \widehat u_0(\xi) = -{\mathrm i}\sum_{j=1}^n \xi_j \widehat u_j(\xi) = -{\mathrm i}\sum_{j=1}^n \frac{\xi_j^2}{\xi_k} \widehat u_k(\xi) = -{\mathrm i}\frac{|\xi|^2}{\xi_k} \widehat u_k(\xi)\] und damit \[\widehat u_j(\xi) = {\mathrm i}\frac{\xi_j}{|\xi|} \widehat u_0(\xi), \qquad \xi\ne0.\] Die Behauptung folgt nun durch Fourierrücktransformation. Es gilt \[\lim_{t\to0} \int_{{\mathbb R}^n} {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi -t|\xi|} \frac{{\mathrm i}\xi_j}{|\xi|} {\,\mathrm d}\xi = c_n \frac{x_j}{|x|^{n+1}},\] da die entstehende Distribution als oszillierendes Integral außerhalb der Null glatt ist, homogen vom Grad \(-n\) sein muss und sich entsprechend unter orthogonalen Transformationen der \(x\) bzw. \(\xi\) verhält.

Angenommen, die Funktionen \(u_j\in\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) erfüllen [eq:3:R-trafo] und \(\Phi\) ist durch [eq:3:poisson-nd] definiert. Dann sind die Komponenten von \(\Phi\) harmonisch und die Eigenschaften des Poissonkerns liefern die gesuchte Schranke an die \(\mathrm L^p\)-Normen. Weiterhin impliziert Schritt 3 rückwärts gelesen die (distributionelle) Gültigkeit des verallgemeinerten Cauchy–Riemann-Systems und der Satz ist für \(1<p<\infty\) bewiesen. ◻

Beweisskizze für \(p=1\). Für \(p=1\) liefern die Schritte 3 und 4 entsprechende Aussagen für die nach Schritt 2 existierenden Maße \(\mu_j\), es gilt also \(\mu_j = R_j\mu_0\). Es wäre zu zeigen, dass diese absolutstetig sind oder (was äquivalent dazu ist), dass die Randwerte im \(\mathrm L^1\)-Sinn angenommen werden. Dazu betrachtet man zu \(\Phi\in\mathcal H^1({\mathbb R}^{n+1}_+)\) die Maximalfunktion \[\Phi^*(x) = \sup_{t>0} |\Phi(x,t)|\] und zeigt, dass \(\Phi^*\in \mathrm L^1({\mathbb R}^n)\) gilt. Der Satz über die majorisierte Konvergenz liefert daraus sofort \(\lim_{t\to0} \Phi(t,x) = \Phi(x)\) in \(\mathrm L^1({\mathbb R}^n)\) und die Aussage ist gezeigt.

Bleiben die Eigenschaften der Maximalfunktion. Diese wird nur kurz skizziert. Ist \(\Phi\in\mathcal H^1({\mathbb R}^{n+1})\), so impliziert das verallgemeinerte Cauchy–Riemann-System, dass \(|\Phi|^r\), \(r\ge\frac{n-1}n\), subharmonisch⁴³ ist (\(\Delta |\Phi|^r\ge c_r |\Phi|^{r-2} |\nabla\Phi|^2\ge 0\)) und für \(t\to\infty\) gegen Null strebt. Damit folgt \[|\Phi(x,t+\epsilon)|^r \le \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) |\Phi(y,\epsilon)|^r {\,\mathrm d}y.\] Wir wählen \(\frac{n-1}n <r <1\). Dann ist nach Voraussetzung \(|\Phi(\cdot,\epsilon)|^r\) gleichmäßig beschränkt in \(\mathrm L^{q}\) für \(q=1/r>1\). Aufgrund der Reflexivität existiert eine Folge \(\epsilon_k\to0\) mit \(|\Phi(\cdot,\epsilon_k)|^r\rightharpoonup h\) schwach in \(\mathrm L^{q}\) und somit \[|\Phi(x,t)|^r \le \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) h(y) {\,\mathrm d}y.\] Damit folgt aber unter Ausnutzung der \(\mathrm L^q\)-Beschränktheit der Maximalfunktion des Poissonintegrals⁴⁴ \[\Phi^*(x)^r \le \sup_{t>0} \int_{{\mathbb R}^n} P_t(x-y) h(y) {\,\mathrm d}y = h^*(x) \in \mathrm L^{q}({\mathbb R}^n)\] und die Behauptung folgt. ◻

Proof. Sei für \(h\in\mathrm L^q(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\) und \(g\in\mathrm L^{q'}(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\), \(qq'=q+q'\) \[\langle h,g\rangle = \int_{\Omega_2} f(y) g(y) {\,\mathrm d}\mu_2(y).\] Dann gilt bekanntlich \[\| h\|_{q} = \sup \{ |\langle h,g\rangle| : \|g\|_{q'}=1 \}\] und \(T:\mathrm L^p(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\to \mathrm L^q(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\) ist beschränkt, falls \[\|T\|_{p\to q} = \sup \{ |\langle T f,g\rangle| : \|f\|_p= \|g\|_{q'}=1 \}<\infty.\]

Aufgrund der Dichtheit der Treppenfunktionen, können wir um folgenden \(f\in\mathcal T(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\) und \(g\in\mathcal T(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\) annehmen und es reicht die gesuchte Schranke an \(|\langle T f,g\rangle|\) zu beweisen. Dazu nutzen wir komplexe Analysis und definieren für \(0\le \Re z \le 1\) \[\frac1{p(z)} = \frac {1-z}{p_0} + \frac{z}{p_1},\qquad \frac1{q(z)} = \frac {1-z}{q_0} + \frac{z}{q_1}.\] und setzen für \(x\in\Omega_1\) beziehungsweise \(y\in\Omega_2\) \[\varphi(x,z) = |f(x)|^{p/p(z)} f(x) / |f(x)|,\qquad \psi(y,z) = |g(y)|^{q'/q'(z)} g(y) / |g(y)|.\] Dann folgt \(\varphi(\cdot,z)\in \mathrm L^{p_j}(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\) und \(\psi(\cdot,z)\in\mathrm L^{q'_j}(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\), sowie \(T\varphi(\cdot,z)\in\mathrm L^{q_j}(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\) jeweils stetig in \(z\) und mit nur von \(\Re z\) abhängender Norm. Damit sind insbesondere die Normen auf dem Streifen \(0\le \Re z\le 1\) beschränkt. Weiter sind \(\varphi\) und \(\psi\) komplex differenzierbar für \(0<\Re z<1\) und erfüllen ebenso \(\partial_z \varphi(\cdot,z)\in \mathrm L^{p_j}(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\) und \(\partial_z \psi(\cdot,z)\in\mathrm L^{q'_j}(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\), somit ebenso \(\partial_z (T\varphi(\cdot,z))\in\mathrm L^{q_j}(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\). Damit ist die Funktion \[F(z) = \langle T\varphi(\cdot,z),\psi(\cdot,z)\rangle\] aber analytisch im Streifen \(0<\Re z<1\) und stetig auf \(0\le \Re z\le 1\). Weiter gilt \[\begin{aligned} &\| \varphi(\cdot,{\mathrm i}t)\|_{p_0} = \| |f|^{p/p_0} \|_{p_0} = \|f\|_{p}^{p/p_0} = 1, \\ & \|\varphi(\cdot,1+{\mathrm i}t)\|_{p_1}= \| |f|^{p/p_1}\|_{p_1} = \|f\|_p^{p/p_1}=1\end{aligned}\] sowie entsprechend für \(\psi\) \[\| \psi(\cdot,{\mathrm i}t)\|_{q_0'} = \| \psi(\cdot,1+{\mathrm i}t) \|_{q_1'} =1.\] Nach Voraussetzung wissen wir damit \[\begin{aligned} & |F({\mathrm i}t)|\le \| T\varphi(\cdot,{\mathrm i}t)\|_{q_0} \|\psi(\cdot,{\mathrm i}t)\|_{q_0'} \le \|T_0\|_{p_0\to q_0},\\ & |F(1+{\mathrm i}t)|\le \| T\varphi(\cdot,1+{\mathrm i}t)\|_{q_1} \|\psi(\cdot,1+{\mathrm i}t)\|_{q_1'} \le \|T_1\|_{p_1\to q_1}.\end{aligned}\] Weiter ist \(\varphi(\cdot,\theta)=f\) und \(\psi(\cdot,\theta)=g\), also \(F(\theta) = \langle T f,g\rangle\). Der nachfolgend angegebene Hadamardsche 3-Linien-Satz impliziert damit aber sofort die Behauptung \[|F(\theta)| = |\langle T f,g\rangle| \le \|T_1\|_{p_0\to q_0} ^{1-\theta} \|T_1\|_{p_1\to q_1}^{\theta}\] für alle \(f\in\mathcal T(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\) und \(g\in\mathcal T(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\) mit Norm 1. Damit ist \(T\) stetig fortsetzbar als Operator \(\mathrm L^p(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\to\mathrm L^q(\Omega_2,{\,\mathrm d}\mu_2)\) und der Satz bewiesen. ◻

Proof. Setzt man für \(\epsilon>0\) und \(\lambda\in{\mathbb R}\) \[F_\epsilon(z) = {\mathrm e}^{\epsilon z^2 +\lambda z} F(z),\] so ist die entstehende Funktion analytisch und erfüllt \(F_\epsilon(z)\to 0\), \(\Im z\to\pm\infty\) zusammen mit \(|F_\epsilon({\mathrm i}t)|\le M_0\) und \(|F_\epsilon(1+{\mathrm i}t)|\le M_1 {\mathrm e}^{\epsilon+\lambda}\). Damit liefert das Maximumprinzip \(|F_\epsilon(z)|\le \max\{ M_0, M_1 {\mathrm e}^{\epsilon+\lambda}\}\) und für \(\epsilon\to0\) folgt \[\begin{gathered} |F(\theta+{\mathrm i}t) | \le {\mathrm e}^{-\epsilon(\theta^2-t^2)} \max\{ M_0 {\mathrm e}^{-\theta\lambda}, M_1 {\mathrm e}^{(1-\theta)\lambda+\epsilon}\} \\ \to \max \{ M_0 \rho^{-\theta} M_1\rho^{1-\theta}\}\end{gathered}\] mit \(\rho={\mathrm e}^\lambda\). Die rechte Seite wird minimal für \(M_0\rho^{-\theta}=M_1\rho^{1-\theta}\), d.h., \(\rho=M_0/M_1\), und die Behauptung folgt. ◻

Proof. Für \(p=p'=2\) gilt der Satz von Plancherel, \(\|\mathscr Ff\|_2=\|f\|_2\), sowie \[\|\mathscr Ff\|_\infty = (2\pi)^{-n/2} \sup_\xi\left| \int_{{\mathbb R}^n} {\mathrm e}^{{\mathrm i}x\cdot\xi} f(x){\,\mathrm d}x\right| \le (2\pi)^{-n/2} \|f\|_1.\] Damit folgt die Behauptung mit dem Satz von Riesz–Thorin. ◻

Proof. Es bleibt wiederum Grenzfälle zu betrachten. Es gilt für \(p=q=r=1\) \[\| f*g\|_1 \le \|f\|_1 \|g\|_1,\] wie man für nichtnegative Funktionen sofort mit Hilfe des Satzes von Fubini zeigen kann. Weiter gilt offensichtlich für \(p=1\) und \(q=\infty\) \[\| f*g\|_\infty = \sup_x \left| \int f(x-y) g(y){\,\mathrm d}y\right| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty.\] Damit liefert aber Riesz–Thorin \(\mathrm L^1*\mathrm L^p \subset \mathrm L^p\) mit der entsprechenden Ungleichung (hier nach Vertauschen der Indices) \[\| f*g\|_p \le \|f\|_p \|g\|_1.\] Weiterhin gilt die Hölder-Ungleichung und damit für \(p=q'\) und \(r=\infty\) \[\| f*g\|_\infty \le \|f\|_p \|g\|_{p'}.\] Damit kann man wiederum Riesz–Thorin anwenden und die Behauptung folgt. ◻

Proof. Wir bemerken nur die Unterschiede im Beweis: Man steckt die Dichtefunktion mit in die Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\), setzt also \[\varphi(x,z) = |f(x)|^{p/p(z)} \frac{f(x)}{|f(x)|} \omega_\theta(x)^{1/p(z)}% \omega_0(x)^{-(1-z)/p_0} \omega_1(x)^{-z/p_1}\] und entsprechend \[\psi(y,z) = |g(y)|^{q'/q'(z)} \frac{g(x)}{|g(x)|} \varpi_\theta(x)^{1/q'(z)}% \omega_0(x)^{-(1-z)/p_0} \omega_1(x)^{-z/p_1}\] Die Argumentation bleibt dieselbe. ◻

Proof. OBdA sei \(p_0\le p_1\) und sei \(f\in\mathrm L^p(\Omega_1,{\,\mathrm d}\mu_1)\) mit \(p_0\le p\le p_1\). Für eine Zahl \(\rho>0\) betrachten wir die Zerlegung \[f=f_{0,\rho}+f_{1,\rho},\qquad f_{1,\rho}(x) = \begin{cases} f(x) ,\qquad & |f(x)|\le \rho\\\rho {\mathrm e}^{{\mathrm i}\arg f} , & \text{sonst}. \end{cases}\] Dann gilt \(|f_{1,\rho}|=\min\{ |f|,\rho \}\) und \(|f|=|f_{0,\rho}|+|f_{1,\rho}|\). Weiter gilt nach Konstruktion \[\begin{aligned} \mu_{f_{1,\rho}}(\sigma) &= \mu_f(\sigma), \qquad &&0\le\sigma\le \rho,\\ \mu_{f_{1,\rho}}(\sigma) &= 0, && \sigma>\rho,\\ \mu_{f_{0,\rho}}(\sigma) &= \mu_f(\sigma+\rho), && \sigma>0.\end{aligned}\] Damit ist \(f_{0,\rho}\in\mathrm L^1\cap \mathrm L^p\subset \mathrm L^{p_0}\) und \(f_{1,\rho}\in\mathrm L^p\cap\mathrm L^\infty\subset\mathrm L^{p_1}\).

Setzt man nun \(h_{0,\rho}=Tf_{0,\rho}\) und \(h_{1,\rho}=Tf_{1,\rho}\), so gilt wegen der Sublinearität für \(h=Tf\) schon \(|h|\le |h_{0,\rho}|+|h_{1,\rho}|\). Also gilt für \(\lambda>0\) die Ungleichung \(|h(x)|>2\lambda\) an mindestens all den Punkten \(x\) an denen \(|h_{0,\rho}(x)|>\lambda\) und \(|h_{1,\rho}(x)|>\lambda\) gilt. Also folgt für die zugehörigen Verteilungsfunktionen (für \(q_1<\infty\)) \[\mu_{h}(2\lambda) \le \mu_{h_{0,\rho}}(\lambda)+\mu_{h_{1,\rho}}(\lambda) \le M_0^{q_0} \lambda^{-q_0} \|f_{0,\rho} \|_{p_0}^{q_0} + M_1^{q_1} \lambda^{-q_1} \|f_{1,\rho} \|_{p_1}^{q_1}.\] Die rechte Seite hängt dabei natürlich von der Wahl von \(\rho\) ab, die Hauptidee des Beweises ist die richtige Wahl von \(\rho\) in Abhängigkeit von \(\lambda\). Wir nutzen die Verteilungsfunktionen zur Abschätzung der Norm \(\|h\|_q\), \[\begin{aligned} \| h\|_q^q &= q \int_0^\infty \lambda^{q-1} \mu_h(\lambda){\,\mathrm d}\lambda = q 2^q \int_0^\infty \lambda^{q-1} \mu_h(2\lambda){\,\mathrm d}\lambda,\end{aligned}\] das dabei auftretende Integral erfüllt weiter (für \(p_1<\infty\)) \[\begin{aligned} \int_0^\infty \lambda^{q-1} \mu_h(2\lambda){\,\mathrm d}\lambda &\le M_0^{q_0} \int_0^\infty \lambda^{q-q_0-1} \left( \int_{\Omega_1} |f_{0,\rho}(x)|^{p_0}{\,\mathrm d}\mu_1(x)\right)^{q_0/p_0} {\,\mathrm d}\lambda \\&\qquad + M_1^{q_1} \int_0^\infty \lambda^{q-q_1-1} \left( \int_{\Omega_1} |f_{1,\rho}(x)|^{p_1}{\,\mathrm d}\mu_1(x)\right)^{q_1/p_1} {\,\mathrm d}\lambda\\ &\le M_0^{q_0} p_0^{q_0/p_0} \int_0^\infty \lambda^{q-q_0-1} \left( \int_0^\infty\sigma^{p_0-1}\mu_f(\sigma+\rho(\lambda)){\,\mathrm d}\sigma \right)^{q_0/p_0} {\,\mathrm d}\lambda \\ &\qquad + M_1^{q_1} p_1^{q_1/p_1} \int_0^\infty \lambda^{q-q_1-1} \left( \int_0^{\rho(\lambda)} \sigma^{p_1-1}\mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma \right)^{q_1/p_1} {\,\mathrm d}\lambda \end{aligned}\] in Abhängigkeit der Wahl von \(\rho=\rho(\lambda)\). Der Beweis besteht nun in der Abschätzung der beiden auftretenden Integrale. Wir unterscheiden einige Fälle:

Fall 1: \(p_0<p_1\) und \(q_0<q_1\). Wir setzen \(\rho =( \lambda/\kappa)^{1/\delta}\) mit noch zu bestimmenden Konstanten \(\kappa,\delta>0\). Dann gilt für die beiden abzuschätzenden Integrale (nennen wir sie \(P\) und \(Q\)) durch die umgekehrte Hölder-Ungleichung (Dualität von \(\mathrm L^p\)-Räumen) \[\begin{aligned} P^{p_0/q_0} &=\sup_{\chi_0\ge0} \int_0^\infty \lambda^{q-q_0-1} \left( \int_{\rho(\lambda)}^\infty (\sigma-\rho(\lambda))^{p_0-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma\right) \chi_0(\lambda){\,\mathrm d}\lambda \\ Q^{p_1/q_1} &=\sup_{\chi_1\ge0} \int_0^\infty \lambda^{q-q_1-1} \left( \int_0^{\rho(\lambda)} \sigma^{p_1-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma\right) \chi_1(\lambda){\,\mathrm d}\lambda \end{aligned}\] jeweils mit \[\int_0^\infty \lambda^{q-q_j-1} (\chi_j(\lambda))^{q_j/(q_j-p_j)} {\,\mathrm d}\lambda\le 1,\qquad j=0,1.\]

Das erste abzuschätzende Doppelintegral erfüllt (wegen \((\sigma-\rho)^{p_0-1}\le\sigma^{p_0-1}\)) \[\begin{aligned} \int_0^\infty \lambda^{q-q_0-1} & \left( \int_\rho^\infty (\sigma-\rho)^{p_0-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma\right) \chi_0(\lambda){\,\mathrm d}\lambda\\ & \le \int_0^\infty \sigma^{p_0-1} \mu_f(\sigma) \int_0^{\kappa\sigma^{\delta}} \lambda^{q-q_0-1}\chi_0(\lambda) {\,\mathrm d}\lambda{\,\mathrm d}\sigma\\ &\le \int_0^\infty \sigma^{p_0-1} \mu_f(\sigma) \left( \int_0^{\kappa\sigma^{\delta}} \lambda^{q-q_0-1} {\,\mathrm d}\lambda \right)^{p_0/q_0}\\&\qquad\qquad\qquad \left( \int_0^{\kappa\sigma^{\delta}} \lambda^{q-q_0-1}(\chi_0(\lambda))^{q_0/(q_0-p_0)} {\,\mathrm d}\lambda \right)^{(q_0-p_0)/q_0} {\,\mathrm d}\sigma\\ & \le \kappa^{(q-q_0)p_0/q_0}(q-q_0)^{-p_0/q_0} \int_0^\infty\sigma^{p_0-1+\delta (q-q_0)p_0/q_0} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma \end{aligned}\] unter Ausnutzung der Hölderschen Ungleichung und von \(q>q_0\). Entsprechend gilt für das zweite \[\begin{aligned} \int_0^\infty \lambda^{q-q_1-1} & \left( \int_0^\rho \sigma^{p_1-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma\right) \chi_1(\lambda){\,\mathrm d}\lambda\\ & \le \int_0^\infty \sigma^{p_1-1} \mu_f(\sigma) \int_{\kappa\sigma^{\delta}}^\infty \lambda^{q-q_1-1}\chi_1(\lambda) {\,\mathrm d}\lambda{\,\mathrm d}\sigma\\ &\le \int_0^\infty \sigma^{p_1-1} \mu_f(\sigma) \left( \int_{\kappa\sigma^{\delta}}^\infty \lambda^{q-q_1-1} {\,\mathrm d}\lambda \right)^{p_1/q_1}\\&\qquad\qquad\qquad \left( \int_{\kappa\sigma^{\delta}}^\infty \lambda^{q-q_1-1}(\chi_1(\lambda))^{q_1/(q_1-p_1)} {\,\mathrm d}\lambda \right)^{(q_1-p_1)/q_1} {\,\mathrm d}\sigma\\ & \le \kappa^{(q-q_1)p_1/q_1}(q_1-q)^{-p_1/q_1} \int_0^\infty\sigma^{p_1-1+\delta (q-q_1)p_1/q_1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma \end{aligned}\] Wählt man nun⁵¹ \[\delta = \frac{q_0(p-p_0)}{p_0(q-q_0)} = \frac{q_1(p_1-p)}{p_1(q_1-q)},\] so sind die Exponenten in beiden Integralen gerade \(p-1\) und wir haben \[\begin{aligned} \|h\|_q^q &\le q 2^q \bigg( M_0^{q_0} p_0^{q_0/p_0} (q-q_0)^{-1}\kappa^{q-q_0} \left( p^{-1} \|f\|_p^p % \int_0^\infty\sigma^{p-1} \mu_f(\sigma)\d\sigma \right)^{q_0/p_0}\\&\qquad\qquad + M_1^{q_1} p_1^{q_1/p_1} (q_1- q)^{-1} \kappa^{q-q_1} \left( p^{-1} \|f\|_p^p %\int_0^\infty\sigma^{p-1} \mu_f(\sigma)\d\sigma \right)^{q_1/p_1}\bigg)\end{aligned}\] gezeigt. Bleibt die Wahl von \(\kappa\). Diese erfolgt so, dass in beiden Summanden sowohl die Exponenten von \(M_j\) als auch von \(\|f\|_p^p\) gleich sind. Der Ansatz \[\kappa = M_0^\alpha M_1^\beta \|f\|_p^{p\gamma}\] führt damit auf \[\begin{aligned} q_0 + \alpha(q-q_0) &= \alpha (q-q_1) ,\\ \beta(q-q_0) & = q_1 + \beta(q-q_1),\\ \gamma (q-q_0) + q_0/p_0 &= \gamma (q-q_1)+q_1/p_1 \end{aligned}\] und damit auf \[\kappa = M_0^{q_0/(q_0-q_1)}M_1^{q_1/(q_1-q_0)} \|f\|_p^{p (q_1/p_1-q_0/p_0)/(q_1-q_0)}.\] Dies liefert wegen \[\begin{aligned} \frac{q_0(q_1-q)}{q(q_1-q_0)} =1-\theta,\qquad \frac{q_1(q-q_0)}{q(q_1-q_0)}=\theta,\\ \frac{(q_1/p_1-q_0/p_0)(q-q_0)}{q_1-q_0}+\frac{q_0}{p_0}= ... =\frac{q}{p}\end{aligned}\] die Behauptung \[\|h\|_q \le C M_0^{(1-\theta)} M_1^\theta \|f\|_p\] mit einer von \(p_j\), \(q_j\) und \(\theta\) abhängenden Konstanten \(C\).

Fall 2: \(p_0<p_1\) und \(q_0>q_1\). Hier wählt man \(\delta\) entsprechend negativ und beachtet, dass dann die Integrationsgrenzen \((0,\sigma^\delta)\) und \((\sigma^\delta,\infty)\) nach dem Vertauschen der Integrale ausgetauscht werden. Der Rest ist analog.

Fall 3: \(p_0=p_1\). Dies ist einfacher und verbleibt als Übung. Hier reicht \(\rho\) unabhängig von \(\lambda\).

Fall 4: \(q_0<q_1=\infty\) und \(p_0<p_1=\infty\). Hier wählt man \(\rho=\lambda/M_1\). Dann gilt \[\mathop{\mathrm{ess\,sup}}|h_{1,\rho}|\le M_1 \mathop{\mathrm{ess\,sup}}| f_{1,\rho}| \le \lambda\] und damit \[\mu_h(2\lambda) \le \mu_{h_{0,\rho}}(\lambda) \le M_0^{q_0}\lambda^{-q_0} \| f_{0,\rho}\|_{p_0}^{q_0}\] und es bleibt nur ein einziges Integral abzuschätzen. Dies verbleibt ebenso als Übung.

Fall 5: \(q_0<q_1=\infty\) und \(p_0<p_1<\infty\). Hier wählt man \(\rho\) ebenso, dass \(\mu_{h_{1,\rho}}(\lambda)=0\) gilt. Nach Voraussetzung ist \[\mathop{\mathrm{ess\,sup}}|h_{1,\rho}| \le M_1 \|f_{1,\rho}\|_{p_1} = M_1 \left( p_1\int_0^{\rho(\lambda)} \sigma^{p_1-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma\right)^{1/{p_1}}.\] Für \(\rho=(\lambda/\kappa)^{1/\delta}\) mit \(\delta=(p_1-p)/p_1\) und \(\kappa = c M_1 \|f\|_{p}^{p/p_1}\) ist dies kleiner als \(\lambda\) falls \[M_1^{p_1} p_1 \int_0^{\rho} \sigma^{p_1-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma \le \lambda^{p_1} = \kappa^{p_1} \rho^{p_1-p}\] und damit insbesondere falls \[M_1^{p_1} p_1 \rho^{p_1-p} \int_0^{\infty} \sigma^{p-1} \mu_f(\sigma){\,\mathrm d}\sigma \le c^{p_1} M_1^{p_1} \|f\|_p^p \rho^{p_1-p},\] also \(c^{p_1}\ge p_1/p\) gilt. Damit bleibt wiederum nur ein Integral abzuschätzen und die Behauptung folgt analog zum vorherigen Fall. ◻

Beweisskizze. Es bleibt, die erste Aussage zu zeigen. Diese folgt aus dem Überdeckungssatz von Vitali. Sei \(E_\lambda = \{ x : \mathcal Mf(x) > \lambda\}\) und \(\tilde E_\lambda\subset E_\lambda\) kompakt. Nach Definition existiert also für \(x\in \tilde E_\lambda\) eine Kugel \(B\) um \(x\) mit \[% \!\left\bracevert\!B\!\right\bracevert\!\! < \frac1\lambda \int_B |f(y)|{\,\mathrm d}y.\] Da \(\tilde E_\lambda\) kompakt ist, finden wir somit eine endliche Familie solcher Kugeln die \(\tilde E_\lambda\) überdeckt. Aus dieser wählen wir mit dem Lemma von Vitali eine disjunkte Teilfamilie aus und erhalten für diese \[% \!\left\bracevert\!\tilde E_\lambda\!\right\bracevert\!\! \le 3^n \sum_{k=1}^m % \!\left\bracevert\!B^{(j)} \!\right\bracevert\!\! \le 3^n \frac1{\lambda} \int_{E_\lambda} |f(x)|{\,\mathrm d}x.\] Die zweite Ungleichung ergibt sich dabei direkt aus der Disjunktheit. Bildet man das Supremum über alle kompakten \(\tilde E_\lambda\subset E_\lambda\), so folgt \[% \!\left\bracevert\! E_\lambda\!\right\bracevert\!\! \le 3^n \frac1{\lambda} \int |f(x)|{\,\mathrm d}x.\] und damit die Behauptung. ◻

Proof. Sei \(B_1\) ein Ball mit maximalem Radius. Sei weiter \(B_2\) ein Ball mit maximalem Radius aus der Menge der Bälle, die \(B_1\) nicht berühren, und entsprechend \(B_j\) maximal unter den Bällen, die \(B_1,\ldots , B_{j-1}\) nicht berühren. Dies wird fortgesetzt, bis sich kein solcher Ball mehr findet. Dann berühren die restlichen Bälle, welche die in der Menge enthalten sind. Weiter haben diese auch Radien die jeweils kleiner sind. Die Aussage folgt. Jeder Ball mit Radius kleiner \(r\), der \(B_r(x)\) berührt, liegt offenbar innerhalb \(B_{3r}(x)\) und die auf das dreifache vergrößerten Bälle \(B_j\) überdecken schon \(E\). ◻

Proof. Wir überdecken die Menge \(\{ |f(x)|>\lambda \}\) durch Würfel \(Q_j^{(0)}\) mit paarweise disjunktem Inneren und \[\int_{Q_j^{(0)}} |f(x)| {\,\mathrm d}x \le\lambda {% \!\left\bracevert\!Q_j^{(0)}\!\right\bracevert\!\!}.\] In einem nächsten Schritt teilt man die Würfel in \(2^n\) Teilwürfel halber Kantenlänge und nummeriert diese als \(Q_j^{(1)}\). Dann gilt entweder \[\begin{aligned} \int_{Q_j^{(1)}} |f(x)| {\,\mathrm d}x \le \lambda {% \!\left\bracevert\!Q_j^{(1)}\!\right\bracevert\!\!} \qquad\text{oder}\qquad \int_{Q_j^{(1)}} |f(x)| {\,\mathrm d}x > \lambda {% \!\left\bracevert\!Q_j^{(1)}\!\right\bracevert\!\!}. \end{aligned}\] Im ersten Fall teilt man die Würfel weiter, im zweiten erfüllt der Würfel schon [eq:4:Qj1] und wird zur Familie der \(Q_j\) hinzugenommen. Punkte, die am Ende nicht durch Würfel überdeckt sind gehören entweder nicht zur ersten Generation und erfüllen \(|f(x)|\le \lambda\) trivialerweise oder liegen in einer Familie von Würfeln \(Q_{j_k}^{(k)}\) mit \(% \!\left\bracevert\!Q_{j_k}^{(k)}\!\right\bracevert\!\!\to0\) und \[\int_{Q_{j_k}^{(k)}} |f(x)| {\,\mathrm d}x \le \lambda {% \!\left\bracevert\!Q_{j_k}^{(k)}\!\right\bracevert\!\!}\] für alle \(k\). Nach dem Lebesgueschen Differentiationssatz folgt daraus \(|f(x)|\le\lambda\) f.ü. auf dieser Menge und das Lemma ist gezeigt. ◻

Beweisskizze. Es gilt \(T_m : \mathrm L^2({\mathbb R}^n)\to\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\) als direkte Konsequenz des Satzes von Plancherel. Weiterhin ist \(T_m^* = T_{\overline{m}}\) und damit implizert die Beschränktheit auf \(\mathrm L^p({\mathbb R}^n)\) die auf \(\mathrm L^{p'}({\mathbb R}^n)\). Damit ist der Satz bewiesen, wenn wir zeigen können, dass \(T_m\) vom schwachen \((1,1)\)-Typ ist.

Sei also \(f\in\mathrm L^1({\mathbb R}^n)\) und \(\lambda>0\). Sei weiter \(Q_j\) eine Familie von Würfeln mit den Eigenschaften aus dem vorherigen Lemma. Damit zerlegt man \(f\) in zwei Teile \[f_0 (x) = \begin{cases} f(x) - % \!\left\bracevert\!Q_j\!\right\bracevert\!\!^{-1} \int_{Q_j} f(x){\,\mathrm d}x,\qquad &x\in Q_j, j=1,2,\ldots\\ 0,\qquad &\text{sonst} \end{cases}\] sowie \(f_1(x)=f(x)-f_0(x)\). Nach Konstruktion gilt \(f_1\in\mathrm L^\infty({\mathbb R}^n)\). Wegen \[\mu_{T_m f} (2\lambda) \le \mu_{T_m f_0}(\lambda) + \mu_{T_m f_1}(\lambda) = \mu_0(\lambda)+\mu_1(\lambda)\] genügt es für beide Teile separat Abschätzungen für die Verteilungsfunktion zu beweisen. Für \(f_1\) kann man die \(\mathrm L^2\)-Beschränktheit von \(T_m\) nutzen, es gilt \[\begin{aligned} \lambda^2 \mu_1(\lambda) &\le \| T_m f_1\|_2^2 \le C \|f_1\|_2^2 \notag \\ &=C_0 \sum_j % \!\left\bracevert\!Q_j\!\right\bracevert\!\!^{-1}\bigg| \int_{Q_j} f(x){\,\mathrm d}x \bigg|^2 + \int_{{\mathbb R}^n\setminus \cup_j Q_j} |f(x)|^2{\,\mathrm d}x \notag \\ & \le C_0 \lambda \left( \sum_j \bigg|\int_{Q_j} f(x){\,\mathrm d}x\bigg| + \int_{{\mathbb R}^n\setminus \cup_j Q_j} |f(x)|{\,\mathrm d}x\right) \notag \\ &\le C_0 \lambda \|f\|_1\end{aligned}\] unter Ausnutzung der Eigenschaften der \(Q_j\). Für \(f_0\) nutzen wir eine weitere Zerlegung \[\mu_0(\lambda) \le % \!\left\bracevert\! \{ |T_m f_0(x) |\ge \lambda\} \cap \cup_j (2Q_j) \!\right\bracevert\!\! + % \!\left\bracevert\!\cup_j (2Q_j)\!\right\bracevert\!\!,\] wobei \(2Q_j\) der Würfel doppelter Kantenlänge mit gleichem Mittelpunkt \(a_k\) und gleicher Ausrichtung im Raum sei. Es gilt wiederum nach Konstruktion der \(Q_j\) \[% \!\left\bracevert\!\cup_j (2Q_j)\!\right\bracevert\!\! \le 2^n \sum_j % \!\left\bracevert\!Q_j\!\right\bracevert\!\! \le 2^n \lambda^{-1} \|f\|_1,\] Für den ersten Term benötigen wir die Voraussetzungen des Multiplikatorensatzes und behaupten, dass diese für den Faltungskern \(K = \mathscr F^{-1} m \in\mathscr S'({\mathbb R}^n)\) \[\int_{{\mathbb R}^n\setminus\cup_j 2Q_j} | K(x-y) - K(x-a_k)|{\,\mathrm d}x \le C,\qquad y\in Q_k\] mit einer von \(k\) unabhängigen Konstanten \(C\) gilt. Damit folgt (da \(f_0\) auf \(Q_k\) verschwindende Mittelwerte besitzt) \[\begin{aligned} \int_{{\mathbb R}^n\setminus\cup_j 2Q_j} | T_m f_0(x) |{\,\mathrm d}x &\le \sum_k \int_{Q_k} \left( \int_{{\mathbb R}^n\setminus\cup_j 2Q_j} | K(x-y) - K(x-a_k) | {\,\mathrm d}x \right) f_0(y) {\,\mathrm d}y\notag\\ & \le C \sum_k \int_{Q_k} |f_0(y)|{\,\mathrm d}y \le C \|f\|_1\end{aligned}\] und somit \(\mu_0(\lambda) \le (C+2^n) \lambda^{-1} \|f\|_1\).

Es bleibt die Aussage zum Faltungskern \(K\) zu zeigen. Sei dazu \(\varphi\in\mathrm C_0^\infty({\mathbb R}^n\setminus\{0\})\) nichtnegativ und mit Träger \(\mathop{\mathrm{supp}}\varphi = \{\xi : 2^{-1} \le |\xi|\le 2\}\) so gewählt, dass \[\sum_{k\in\mathbb Z} \varphi(2^k \xi) = 1,\qquad \xi\ne 0,\] gilt (eine dyadische Zerlegung der Eins). Sei weiter \(m_k(\xi) = m(\xi) \varphi(2^{-k})\) und \(K_k = \mathscr F^{-1} m_k \in \mathrm C^\infty({\mathbb R}^n)\cap\mathrm L^2({\mathbb R}^n)\). Dann genügt es zu zeigen, dass \[\int_{|x|\ge 2 \delta} |K_k(x-y) - K_k(x)|{\,\mathrm d}x \le C \min\{ \delta 2^k, (\delta 2^k)^{-1/2} \}\] für alle \(|y|\le\delta\) gilt, die gesuchte Aussage folgt dann nach Summation über \(k\) (was insbesondere auch beweist, dass \(K\) selbst lokal integrierbar ist für \(x\ne 0\)) und entsprechendes Verschieben.

Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz zusammen mit dem Satz von Plancherel implizieren zum Einen für alle \(|y|\le\delta\) (mit Konstanten \(C\) die nur vom Multiplikator \(m\), aber nicht von \(k\) oder \(\delta\) abhängen) \[\begin{aligned} \int_{|x|\ge 2 \delta}& |K_k(x-y) - K_k(x)|{\,\mathrm d}x \le 2 \int_{|x|\ge \delta} |K_k(x)|{\,\mathrm d}x \\ &\le C \bigg( \int_{|x|\ge \delta} |2^k x|^{-2 L } {\,\mathrm d}x\bigg)^{1/2} \bigg( \int_{|x|\ge \delta} |2^k x|^{2 L } |K_k(x)|^2 {\,\mathrm d}x \bigg)^{1/2}\\ &\le C (\delta 2^k)^{n/2-L} 2^{-kn/2} \bigg( \int_{2^{k-1}<|\xi|<2^{k+1}} \sum_{|\alpha|=L} 2^{2k|\alpha|} |\mathrm D^\alpha m_k(\xi)|^2 {\,\mathrm d}\xi\bigg)^{1/2}\\ &\le C (\delta 2^k)^{n/2-L} \le C (\delta 2^k)^{-1/2} \end{aligned}\] mit \(L=\lfloor n/2\rfloor+1\). Andererseits gilt für alle \(|y|\le\delta\) \[\begin{aligned} \int_{|x|\ge 2 \delta}& |K_k(x-y) - K_k(x)|{\,\mathrm d}x \le \int_0^1 \int | y \cdot \nabla K_k(x-\tau y) |{\,\mathrm d}x{\,\mathrm d}\tau \\ &\le C \delta \sum_{j=1}^n \| \partial_j K_k \|_1 \\ &\le C \delta \sum_{j=1}^n \bigg( \int \langle 2^kx\rangle^{-2L} {\,\mathrm d}x \bigg)^{1/2} \bigg( \int \langle 2^kx\rangle^{2L} | \partial_j K_k(x)|^2{\,\mathrm d}x \bigg)^{1/2}\\ &\le C \delta \sum_{j=1}^n 2^{-kn/2} \bigg(\int_{2^{k-1}<|\xi|<2^{k+1}} \sum_{|\alpha|\le L} 2^{2k|\alpha|} |\mathrm D^\alpha \xi_j m_k(\xi)|^2 {\,\mathrm d}\xi\bigg)^{1/2}\\ &\le C \delta 2^k\end{aligned}\] und damit ist die gesuchte Aussage gezeigt. ◻

Proof. Wir zeigen dies in zwei Schritten und betrachten zuerst \(f\in F(\mathbf A)\). Dann gilt für jedes \(\phi\in\mathbf A'\) mit Norm 1 \[| \langle\phi,f(z)\rangle| \le \|f\|_F\] als direkte Konsequenz des Drei-Linien-Satzes. Insbesondere folgt nach Supremumsbildung über alle solchen \(\phi\) \[% \left\|\left. f(z) \,\right|\, \mathbf A \right\| = % \left\|\left. f(z) \,\right|\, \mathbf A'' \right\| \le \|f\|_F.\] Nach Konstruktion ist die Einbettung \(F(\mathbf A_0,\mathbf A_1)\subset F(\mathbf A_0+\mathbf A_1)\) stetig. Sei nun \(f_n\) eine Cauchy-Folge in \(F(\mathbf A_0,\mathbf A_1)\). Dann ist wegen obiger Abschätzung \(f_n(z)\) gleichmäßig in \(z\) Cauchy-Folge in \(\mathbf A_0+\mathbf A_1\) und somit in diesem Raum konvergent gegen ein \(f(z)\). Als gleichmäßiger Grenzwert ist \(f(z)\) stetig in \(z\in\overline S\) und holomorph in \(S\). Weiter ist \(f(j+{\mathrm i}t)\) Cauchy in \(\mathbf A_j\), \(j=0,1\), und somit \[f({\mathrm i}t) \in\mathbf A_0,\qquad f(1+{\mathrm i}t)\in\mathbf A_1\] und das Lemma ist bewiesen. ◻

Proof. Nach Definition von \(\mathbf A_{[\theta]}\) existiert ein \(f\in F(\mathbf A_0,\mathbf A_1)\) mit \(f(\theta)=a\) und \(\|f\|_F \le % \left\|\left. a \,\right|\, \mathbf A_{[\theta]} \right\| + \epsilon/4\). Betrachtet man nun zu \(\delta>0\) die analytischen Funktionen \(g^{(\delta)}(z)={\mathrm e}^{\delta (z-\theta)^2}f(z)\), so folgt \(g(\theta)=f(\theta)\) sowie \(g^{(\delta)}(z) \to f(z)\) lokal gleichmäßig für \(\delta\to0\). Ebenso gilt \(\|g^{(\delta)}\|_F\to \|f\|_F\). Damit finden wir also \(\delta\), so dass für das zugehörige \(g\) schon \(\|g\|_F \le % \left\|\left. a \,\right|\, \mathbf A_{[\theta]} \right\| + \epsilon/2\) gilt.

Zum Beweis des Lemmas nutzt man nun Fourierreihen. Dazu sei \(n\in\mathbb N\) und \[g_n(z) = \sum_{k\in\mathbb Z} g(z+2\pi{\mathrm i}kn)\] die Periodisierung von \(g\) mit Periode \(2\pi{\mathrm i}n\). Dann gilt \(g_n\in F(\mathbf A_0,\mathbf A_1)\), da die Reihe lokal gleichmäßig auf \(\overline S\) konvergiert. Betrachtet man nun \(n\to\infty\), so konvergiert \(g_n(z)\) lokal gleichmäßig gegen \(g(z)\). Damit existieren \(n\) und \(\eta>0\) so, dass \[\| {\mathrm e}^{\eta z^2} g_n(z) - g(z) \|_F \le \epsilon/4.\] Für jedes \(\phi\in(\mathbf A_0+\mathbf A_1)'\) kann man nun die Funktion \(z\mapsto \langle\phi,g_n(z)\rangle\) in eine Fourierreihe entwickeln. Es gilt auf \(S\) \[\begin{aligned} \langle\phi,g_n(x+{\mathrm i}y)\rangle = \sum_{k\in\mathbb Z} \langle\phi, a_{kn}(x) \rangle {\mathrm e}^{(x+{\mathrm i}y)k/n} \end{aligned}\] mit Koeffizienten \[\begin{aligned} \label{eq:4:akn=def} \langle\phi,a_{k,n}(x) \rangle&= \frac 1{2\pi n} \int_{-\pi n}^{\pi n} \langle \phi,g_n(x+{\mathrm i}y)\rangle {\mathrm e}^{-(x+{\mathrm i}y) k/n} {\,\mathrm d}y\\ &=\frac 1{2\pi n} \left\langle\phi, \int_{-\pi n}^{\pi n} g_n(x+{\mathrm i}y) {\mathrm e}^{-(x+{\mathrm i}y) k/n} {\,\mathrm d}y\right\rangle.\notag\end{aligned}\] Da das (jetzt im Innern von \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) stehende) Integral aufgrund der Stetigkeit von \(g_n\) als Riemannintegral existiert, bestimmt es den Koeffizienten \[a_{k,n}(x) = \frac 1{2\pi n} \int_{-\pi n}^{\pi n} g_n(x+{\mathrm i}y) {\mathrm e}^{-(x+{\mathrm i}y) k/n} {\,\mathrm d}y\] in \(\mathbf A_0+\mathbf A_1\). Die Koeffizienten sind von \(x\) unabhängig. Ersetzt man in [eq:4:akn=def] auf der rechten Seite \(n\) durch \(mn\), so ändert sich das Integral nicht. Betrachtet man für zwei verschiedene \(x\) das zugehörige Rechteck (vervollständigt durch Strecken am oberen und unteren Ende) und wendet den Integralsatz von Cauchy an, so folgt mit \(m\to\infty\) die Unabhängigkeit von \(a_{k,n}(x)\) von \(x\). Da die Formel ebenso für \(x=0\) und \(x=1\) gilt, folgt darüberhinaus \(a_{k,n}\in\mathbf A_0\cap\mathbf A_1\).

Allerdings konvergiert die so konstruierte Fourierreihe nur schwach (punktweise für alle \(z\in \overline S\) schwach in \(\mathbf A_0+\mathbf A_1\)). Deswegen betrachtet man die Cesaro-Mittel ⁵⁵ \[\begin{aligned} \sigma_m[g_n](z) &= \sum_{|k|\le m} (1-\frac{|k|}{m+1}) a_{k,n} {\mathrm e}^{kz/n} \notag\\ &= \frac1{m+1} \sum_{K=0}^{m} \sum_{k=-K}^K a_{k,n} {\mathrm e}^{kz/n} = \int C_{m,n}(y-\tilde y) g_n(x+{\mathrm i}\tilde y){\,\mathrm d}\tilde y,\end{aligned}\] darstellbar mit dem positiven Fejer-Kern ⁵⁶ \(C_{m,n}(y)>0\). Diese konvergieren für \(x=j\in\{0,1\}\) gleichmäßig in \(\mathbf A_j\) gegen \(g_n(j+{\mathrm i}y)\), ebenso in \(\mathbf A_0+\mathbf A_1\) gegen \(g_n(z)\) für \(z\in S\). Wegen ersterem existiert aber ein \(m\), so dass \[\| {\mathrm e}^{\eta z^2} (\sigma_m[g_n](z) - g_n(z)) \|_F \le \epsilon/4.\] Damit ist das Lemma bewiesen, \({\mathrm e}^{\eta z^2} \sigma_m[g_n](z)\) ist von der gesuchten Form. ◻

Proof. Sei \(\epsilon>0\) und \(a\in \mathbf A_{[\theta]}\) mit \(a=f(\theta)\) für ein \(f\in F(\mathbf A_0,\mathbf A_1)\) für welches \(\|f\|_F\le % \left\|\left. a \,\right|\, \mathbf A_{[\theta]} \right\| +\epsilon\) gilt und welches Werte in \(\mathbf A_0\cap\mathbf A_1\) annimmt. Dann ist \(g(z) = \|T_0\|^{z-1} \|T_1\|^{-z} Tf(z)\) analytisch in \(S\) und es gilt \(g\in F(\mathbf B_0,\mathbf B_1)\). Also folgt wegen \(\|g\|_F \le \|f\|_F\) \[% \left\|\left. Ta \,\right|\, \mathbf B_{[\theta]} \right\| \le \|T_0\|^{1-\theta}\|T_1\|^\theta \|g\|_F \le \|T_0\|^{1-\theta}\|T_1\|^\theta ( % \left\|\left. a \,\right|\, \mathbf A_{[\theta]} \right\| +\epsilon)\] für jedes \(\epsilon\) und damit die Behauptung. ◻