Proof. Der Fall \(k=1\) folgt durch partielles Integrieren \[\begin{split} \int_0^1 B_2(t) g''(t){\,\mathrm d}t &= B_2(t) g'(t)\big|_{t=0}^1 - 2\int_0^1 B_1(t) g'(t) {\,\mathrm d}t \\ &= B_2(t) g'(t)\big|_{t=0}^1 - 2 B_1(t) g(t) \big|_{t=0}^1 + 2 \int_0^1 g(t) {\,\mathrm d}t \\ &= B_2 \,\big(g'(1)- g'(0)\big) - \big(g(1)+g(0)\big) + 2 \int_0^1 g(t){\,\mathrm d}t \end{split}\] unter Beachtung von \(B_0(t)=1\) sowie \(B_1(0)=-B_1(1)=-1/2\) sowie \(B_2(0)=B_2(1)=B_2\). Für größere \(k\) nutzen wir Induktion. Es gilt wiederum \[\begin{split} \int_0^1 B_{2k}(t) g^{(2k)}(t){\,\mathrm d}t &= B_{2k}(t) g^{(2k-1)}(t) \big|_{t=0}^1 - (2k) \int_0^1 B_{2k-1}(t) g^{(2k-1)}(t){\,\mathrm d}t \\ &=B_{2k}(t) g^{(2k-1)}(t) \big|_{t=0}^1 - (2k) B_{2k-1}(t) g^{(2k-2)}(t)\big|_{t=0}^1 \\&\qquad\qquad\qquad+ (2k)(2k-1) \int_0^1 B_{2k-2}(t) g^{(2k-2)}(t){\,\mathrm d}t \\ &=B_{2k} \,\big(g^{(2k-1)}(1)-g^{(2k-1)}(0)\big)\\&\qquad\qquad\qquad+ (2k)(2k-1) \int_0^1 B_{2k-2}(t) g^{(2k-2)}(t){\,\mathrm d}t \end{split}\] und mit \(B_{2k-1}(0)=B_{2k-1}(1)=0\) sowie \(B_{2k}(1)= B_{2k}(0)=B_{2k}\) folgt die Behauptung. ◻

Proof. Gleichung folgt wegen \[\begin{split} \left(\int_{-\infty}^\infty {\mathrm e}^{-s^2}{\,\mathrm d}s\right)^2 &= \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty {\mathrm e}^{-(x^2+y^2)}{\,\mathrm d}x{\,\mathrm d}y = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty r{\mathrm e}^{-r^2} {\,\mathrm d}r{\,\mathrm d}\varphi \\ &= \pi\int_0^\infty {\mathrm e}^{-r^2}2r {\,\mathrm d}r = \pi. \end{split}\] Gleichung ist offensichtlich, da der Integrand ungerade ist. Gleichung folgt per Induktion. Bezeichne dazu \(E_k\) das zu bestimmende Integral. Dann gilt mittels partieller Integration \[\begin{split} E_k&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty s^{2k-1} {\mathrm e}^{-s^2}2s {\,\mathrm d}s = -\frac{1}{2}s^{2k-1}{\mathrm e}^{-s^2}\bigg|_{s=-\infty}^\infty +\frac{2k-1}{2}\int_{-\infty}^\infty s^{2k-2}{\mathrm e}^{-s^2}{\,\mathrm d}s \\ &=\frac{2k-1}{2}E_{k-1}=\left(k-\frac{1}{2}\right)_kE_{0}. \end{split}\] Mit folgt \(E_0=\sqrt{\pi}\) und damit die Behauptung. ◻

Proof. Wir substituieren \(\sqrt n s\) und erhalten \[\int_{-\infty}^\infty {\mathrm e}^{-n s^2} s^{2k} g(s) {\,\mathrm d}s = n^{-k-\frac12} \int_{-\infty}^\infty {\mathrm e}^{-s^2} s^{2k} g(s/\sqrt n) {\,\mathrm d}s\] und das verbleibende Integral ist durch \[\left|\int_{-\infty}^\infty {\mathrm e}^{-s^2} s^{2k} g(s/\sqrt n) {\,\mathrm d}s \right| \le M \int_{-\infty}^\infty {\mathrm e}^{-s^2} s^{2k}{\,\mathrm d}s,\qquad M=\sup_{s\in{\mathbb R}} |g(s)|,\] beschränkt. ◻

Proof. Es genügt, den Fall \(\mu=t_0=0\) zu betrachten. Sei also im folgenden \(a<0<b\) und \(h:(a,b)\to(-\infty,0]\) glatt mit \(h(0)=h'(0)=0\) und \(h''(0)<0\), sowie \(h(t)<-\delta\) für alle \(t\) mit \(|t|\ge \epsilon\). Wir zerlegen das Integral in zwei Teile und integrieren einmal für \(|t|\ge \epsilon\) und einmal über das Intervall \(|t|\le\epsilon\).

Es gilt für jedes \(\epsilon>0\) mit dem entsprechenden \(\delta>0\) \[\left| \int_{|t|\ge \epsilon} f(t) {\mathrm e}^{n h(t)} {\,\mathrm d}t \right| \le \int_{|t|\ge \epsilon} |f(t)| {\mathrm e}^{h(t)} {\mathrm e}^{(n-1) h(t) }{\,\mathrm d}t \le {\mathrm e}^{-(n-1)\delta} \int_a^b |f(t)| {\mathrm e}^{h(t)} {\,\mathrm d}t\] und damit strebt dieses Integral schneller gegen Null als alle Terme der zu zeigenden asymptotischen Entwicklung.

Für das verbleibende Integral substituieren wir. Das Integralrestglied des Taylorschen Satzes liefert \[h(t) = t^2 \int_0^1 h''(\vartheta t) (1-\vartheta) {\,\mathrm d}\vartheta = - t^2 \psi(t).\] Dabei ist \(\psi : (a,b) \to {\mathbb R}\) beliebig oft differenzierbar und erfüllt \[\psi(0) = - h''(0) \int_0^1 (1-\vartheta){\,\mathrm d}\theta = - \frac{h''(0)}2 > 0.\] Damit existiert ein \(\epsilon>0\), so daß \(\psi(t)>0\) für alle \(|t|<\epsilon\) gilt und die Funktion \(\phi(t) = t \sqrt{\psi(t)}\) ist für \(|t|<\epsilon\) beliebig oft differenzierbar und erfüllt \(h(t) = - ( \phi(t) )^2\). Durch Verkleinern von \(\epsilon\) kann man insbesondere erreichen, daß \(\phi\) streng monoton ist und eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. Substituiert man nun \(s=\phi(t)\), so ergibt sich \[\int_{|t|<\epsilon} f(t) {\mathrm e}^{n h(t)} {\,\mathrm d}t = \int_{\phi(-\epsilon)}^{\phi(\epsilon)} \frac{f(\phi^{-1}(s)) }{\phi'(\phi^{-1}(s))} {\mathrm e}^{ - n s^2 } {\,\mathrm d}s = \int_{\phi(-\epsilon)}^{\phi(\epsilon)} \tilde f(s) {\mathrm e}^{ - n s^2 } {\,\mathrm d}s\] und es bleibt, das Verhalten dieses Integrals zu untersuchen. Wir setzen dazu die Funktion \(\tilde f\) zu einer glatten und zusammen mit allen ihren Ableitungen beschränkten Funktion \(\tilde f : {\mathbb R}\to{\mathbb R}\) fort. Da damit wiederum \[\left| \int_{\phi(\epsilon)}^{\infty} \tilde f(s) {\mathrm e}^{-n s^2} {\,\mathrm d}s \right| \le M \int_{\phi(\epsilon)}^{\infty} 2s {\mathrm e}^{-n s^2} {\,\mathrm d}s = \frac {M}{n} {\mathrm e}^{-n \phi(\epsilon)^2 }\] und eine entsprechende Abschätzung für die untere Hälfte gilt, genügt es, die Behauptung für das Integral \[\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(s) {\mathrm e}^{ - n s^2 } {\,\mathrm d}s\] zu zeigen.

Wir nutzen die Taylorsche Formel für die Funktion \(\tilde f\). Es gilt für jedes \(N\in{\mathbb N}\) \[\tilde f(s) = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\alpha_k}{k!} s^k + \frac{s^N}{(N-1)!} \int_0^1 \tilde f^{(N)}(\vartheta s) \, (1-\vartheta)^{N-1} {\,\mathrm d}\vartheta\] mit den Koeffizienten \[\alpha_k = \tilde f^{(k)}(0)= \frac{{\,\mathrm d}^k}{{\,\mathrm d}s^k} \tilde f(s)\bigg|_{s=0}.\] Das Integral im Restterm ist nach Konstruktion gleichmäßig beschränkt, der Restterm also Produkt aus einem Polynom und einer beschränkten Funktion. Wir betrachten die Summanden einzeln. Lemma  impliziert, daß der Restterm zu \(\mathcal O(n^{-(N+1)/2})\) gehört. Für die Summanden des Taylorpolynoms substituieren wir \(\sqrt ns\) und erhalten \[\int_{-\infty}^\infty s^k {\mathrm e}^{-ns^2} {\,\mathrm d}s = n^{-\frac12-\frac k2} \int_{-\infty}^\infty s^{k} {\mathrm e}^{-s^2} {\,\mathrm d}s,\] das verbleibende Integral berechnet sich mit Lemma . ◻

Proof. Wir zerlegen das Integral in zwei Teile und integrieren über \((0,\epsilon]\) und \([\epsilon,a)\) für noch zu bestimmendes \(\epsilon>0\). Da \(f\) auf einem Kompaktum stetig und damit beschränkt ist, folgt \[\left|\int_\epsilon^a s^{\beta-1} f(s) {\mathrm e}^{-n s^\alpha} {\,\mathrm d}s \right|\le {\mathrm e}^{-(n-1) \epsilon^\alpha} \int_0^a s^{\beta-1} |f(s)| {\mathrm e}^{-s^\alpha} {\,\mathrm d}s \in\mathcal O({\mathrm e}^{-n\epsilon^\alpha})\] und dieser Term ist ein Restterm für die zu zeigende Abschätzung. Weiter gilt \[\int_0^\epsilon s^{\beta-1} {\mathrm e}^{-n s^\alpha} {\,\mathrm d}s = \int_0^\infty s^{\beta-1} {\mathrm e}^{-n s^\alpha} {\,\mathrm d}s + \mathcal O({\mathrm e}^{-n \epsilon^{\alpha}}),\] und die Definition der \(\Gamma\)-Funktion impliziert mit der Substitution \(t=ns^{\alpha}\), \({\,\mathrm d}t = n\alpha s^{\alpha-1}{\,\mathrm d}s\) \[\int_0^\infty s^{\beta-1} {\mathrm e}^{-n s^\alpha} {\,\mathrm d}s =\frac{ n^{-\frac\beta\alpha}}{\alpha} \int_0^\infty t^{\frac\beta\alpha-1} {\mathrm e}^{- t}{\,\mathrm d}t = \frac{n^{-\frac\beta\alpha} }{\alpha} \Gamma\left(\frac\beta\alpha\right).\] Wegen \[\left|\int_0^\epsilon s^{\beta-1} (f(s)-f(0)) {\mathrm e}^{-n s^\alpha} \right| \le C \int_0^\epsilon s^{\beta} {\mathrm e}^{-n s^\alpha} {\,\mathrm d}s \in \mathcal O(n^{-\frac{\beta+1}\alpha})\] folgt damit durch Addition der Terme die Behauptung. ◻

Proof. Der Beweis erfolgt durch direktes Nachrechnen. Es gilt \[\begin{split} G_a(z) G_b(z) = \left(\sum_{k=0}^\infty a_k z^k\right) \left(\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell z^\ell\right) = \sum_{n=0}^\infty z^n \left(\sum_{k+\ell=n} a_k b_{\ell}\right) = G_{a\bullet b}(z) \end{split}\] unter Ausnutzung der absoluten und gleichmäßigen Konvergenz der Potenzreihen im Inneren des Konvergenzradius. Die Behauptung folgt. ◻

Proof. Da für Folgen \(\tilde a\) genau dann \(\rho(\tilde a)\ge \rho\) gilt, wenn ihre Erzeugendenfunktionen zu \(\mathfrak A(B_\rho)\) gehören, genügt es die Summanden beziehungsweise Pole einzeln zu betrachten. Es gilt mit der geometrischen Summenformel \[\frac1{z-z_j} = - \frac{1/z_j}{1-z/z_j} = - \frac1{z_j} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{z_j^n},\] sowie wegen \[(-1)^\ell \frac{(\ell-1)! }{(z-z_j)^\ell} = \frac{{\,\mathrm d}^{\ell-1}}{{\,\mathrm d}z^{\ell-1}}\frac1{z-z_j}\] entsprechend \[\begin{split} \frac{(-1)^\ell}{(z-z_j)^\ell}& = - \frac{1}{(\ell-1)!} \frac1{z_j} \sum_{n=0}^\infty \frac{{\,\mathrm d}^{\ell-1}}{{\,\mathrm d}z^{\ell-1}} \frac{z^n}{z_j^n} = - \frac{1}{(\ell-1)!} \frac1{z_j} \sum_{n=\ell-1}^\infty (n)_{\ell-1} \frac{z^{n-\ell+1}}{z_j^n}\\ & = - \sum_{n=0}^\infty \binom{n+\ell-1}{\ell-1} \frac{z^n}{z_j^{n+\ell}}. \end{split}\] Addition aller dieser Terme liefert die Behauptung. ◻

Proof. Wir können zur Vereinfachung des Beweises annehmen, daß \(z_0=0\) und \(h(0)=0\) gilt. Der allgemeine Fall folgt durch Verschieben der Funktionen und Addition von Konstanten. Dann gilt \(0=h(0)=h'(0)=\cdots=h^{(k-1)}(0)\) und somit \[h(z)= h^{(k)}(0) \frac{z^k}{k!} g(z)\] mit \(h^{(k)}(0)\ne0\), \(g(0)=1\) und \(g\) holomorph in einer Umgebung von \(z=0\). Damit ist aber auch \[\psi(z)=z\sqrt[k]{g(z)}\] holomorph um \(z=0\) und \(\psi'(0)=\sqrt[k]{g(0)}=1\). Also existiert eine holomorphe Inverse und mit \[\varphi(\zeta)=\psi^{-1}(\zeta)\] folgt die Behauptung. ◻

Proof. Da \(f\in\mathcal O(g)\) gilt, existiert insbesondere eine Konstante \(C\) mit \(|f(s)|\le Cg(s)\) für alle \(s\in[1,\infty)\). Also folgt \[|F(t)| \le \int_1^t |f(s)|{\,\mathrm d}s \le C \int_1^t g(s){\,\mathrm d}s = C G(t)\] für alle \(t\ge 1\) und die Aussage ist gezeigt. ◻

Proof. Wir unterscheiden zwei Fälle. Ist \(F\) unbeschränkt, so ist die Regel von l’Hôpital anwendbar und es folgt \[\lim_{t\to\infty} \frac{F(t)}{G(t)} = \lim_{t\to\infty} \frac{F'(t)}{G'(t)} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)}{g(t)}=0.\] Ist andererseits \(F\) beschränkt, so ist die Aussage trivial. ◻

Proof. (1) und (2) folgen direkt aus der Vektorraumstruktur von \(\mathbf o_{\mathcal F}(\varphi_n)\). \(\bullet\) (3) Angenommen, \(f\) besitze zwei asymptotische Entwicklungen \(f\sim\sum_n \alpha_n \varphi_n\) und \(f\sim \sum_n \tilde \alpha_n\varphi_n\). Dann gilt insbesondere \[f - \alpha_0 \varphi_0 , f-\tilde\alpha_0 \varphi_0 \in \mathcal O_{\mathcal F}(\varphi_1) \subset \mathbf o_{\mathcal F}(\varphi_0)\] und damit \[(\alpha_0-\tilde \alpha_0) \varphi_0 \in \mathbf o_{\mathcal F}(\varphi_0).\] Da aber \(\varphi_0\not\in\mathbf o_{\mathcal F}(\varphi_0)\) gilt, muß \(\alpha_0=\tilde \alpha_0\) gelten. Damit ist der erste Koeffizient eindeutig bestimmt und die Behauptung folgt per Induktion, indem man jeweils die Entwicklung der Reste \(f-\sum_{n<N} \alpha_n \varphi_n\) betrachtet und damit jeweils \(\alpha_N=\tilde \alpha_N\) schließt. ◻

Proof. (1) folgt aus der Regel von l’Hôpital. Da nach Konstruktion \(\Phi_n(t)\to0\) für \(t\to\infty\) gilt, liefert diese \[\lim_{t\to\infty} \frac{\Phi_{n+1}(t)}{\Phi_{n}(t)} = \lim_{t\to\infty} \frac{-\phi_{n+1}(t)}{-\phi_{n}(t)} = 0.\] (2) Es gilt \[f(t) = \alpha_0\varphi_0(t) + \cdots + \alpha_{n-1} \varphi_{n-1}(t) + r_n(t)\] mit einem Rest \(r_n\in\mathcal O(\varphi_n)\otimes V\). Also folgt \[\left \| \int_t^{ \infty} r_n(s) {\,\mathrm d}s \right \| \le C \int_t^\infty \varphi_n(s){\,\mathrm d}s \in\mathcal O(\Phi_n)\] und damit \[F(t) - \alpha_0\Phi_0(t) - \cdots - \alpha_{n-1} \Phi_{n-1}(t) = \int_t^\infty r_n(s){\,\mathrm d}s \in \mathcal O(\Phi_n)\otimes V,\] also die Behauptung. ◻

Proof. Wir folgen dem Beweis von Borel und wählen uns eine Funktion \(\chi\in\mathrm C^\infty({\mathbb R})\) mit \(|\chi(t)|\le 1\), \(\chi(t)=0\) für \(|t|>1\) und \(\chi(t)=1\) für \(|t|<1/2\). Für eine noch zu bestimmende monoton wachsende Folge \(M_n\) sei \[f(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha_n}{n!} t^n \chi(M_n t).\] Für \(t=0\) hat die Reihe genau einen von Null verschiedenen Summanden und es gilt \(f(0)=\alpha_0\). Für jedes andere \(t\ne0\) sind nur endlich viele der Summanden ungleich Null. Damit ist \(f\in \mathrm C^\infty({\mathbb R}\setminus\{0\})\) und es genügt, die Folge \(M_n\) so zu konstruieren, daß \(f^{(n)}(0)=\alpha_n\) gilt.

Für \(n=1\) sei \(M_1\) so groß gewählt, daß \[\sup_t \left| \alpha_1 t \chi(M_1 t) \right| \le |\alpha_1| M_1^{-1} \le 2^{-1}.\] Für größere \(n\) sei \(M_n\) so groß, daß \[\begin{split} \sum_{k=0}^{n-1} &\sup_t \left| \frac{\alpha_n}{n!} \frac{{\,\mathrm d}^k}{{\,\mathrm d}t^k} t^n \chi(M_n t) \right| \\ &\le \sum_{k=0}^{n-1} \frac{|\alpha_n|}{n!} \sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} \frac{n!}{(n-\ell)!} \sup_ t \left| t^{n-\ell} M_n^{k-\ell} \chi^{(k-\ell)} (M_n t) \right| \\ & \sum_{k=0}^{n-1} |\alpha_n| \sum_{\ell=0}^{k} \frac1{(n-\ell)!} \binom{k}{\ell} M_n^{k-n} \sup_ s \left| s^{n-\ell} \chi^{(k-\ell)} (s)\right| \le 2^{-n} \end{split}\] gilt. Dann konvergiert die Reihe \[\sum_{n=N}^\infty \frac{\alpha_n}{n!} t^n \chi(M_n t)\] wegen \[\left\| \sum_{n=N}^\infty \frac{\alpha_n}{n!} t^n \chi(M_n t)\right\|_{\rm C^{N-1}} \le \sum_{n=N}^\infty \left\| \frac{\alpha_n}{n!} t^n \chi(M_n t) \right\|_{\rm C^{n-1}} \le \sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\le 1\] absolut in \(\mathrm C^{N-1}({\mathbb R})\) und der Grenzwert sowie die ersten \(N-1\) Ableitungen verschwinden in \(t=0\). Also folgt \[f(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \frac{\alpha_n}{n!} t^n \chi(M_n t) + \sum_{n=N}^\infty \frac{\alpha_n}{n!} t^n \chi(M_n t)\] und der erste Summand ist lokal um \(t=0\) ein Polynom und besitzt bis zur Ordnung \(N-1\) die vorgegebenen Ableitungen. ◻

Proof. Wir folgen der Beweisidee von Borel und wählen eine hinreichend schnell wachsende Folge \(m_n\). Dann ist für jedes \(x\in X\) die Summe \[f(x) = \sum_n \chi_{m_n}(x) \psi_n(x)\] endlich und es bleibt, die Asymptotik der Reihenreste zu untersuchen. Wir wählen \(m_n\) so groß, daß \[\| \chi_{m_n} (x) \psi_n(x) \| \le 2^{-n} \varphi_{k}(x),\qquad k<n,\] gilt. Dies kann erfüllt werden, da \(\psi_n\in\mathbf o_{\mathcal F}(\varphi_k)\) für alle \(k<n\) gilt und dies für festes \(n\) nur endlich viele Bedingungen sind. Damit folgt \[\begin{split} \left\| f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} \chi_{m_n}(x) \psi_n(x) \right\| &\le \|\psi_N(x)\| + \sum_{n>N} \| \chi_{m_n} (x) \psi_n(x) \| \\ &\le \|\psi_N(x) \| + \sum_{n>N} 2^{-n} \varphi_N(x) \in \mathcal O_{\mathcal F}(\varphi_N) \end{split}\] und der Satz ist bewiesen. ◻

Proof. Schritt 1. Wir zeigen zuerst die schwächere Form des Theorems unter der Voraussetzung \(\ln(1+ |f(z)|) \in \mathcal O (|z|^\alpha )\) für ein \(\alpha<\frac \pi{2\theta}\). Wir betrachten die Menge \(\Sigma_\theta\cap B_R\). Die Funktion \[F(z) = f(z) {\mathrm e}^{-\epsilon z^\beta}\] mit \(\alpha<\beta< \frac \pi{2\theta}\) erfüllt auf den berandenden Strahlen \(\arg z =\pm\theta\) die Abschätzung \[|F(z)| = {\mathrm e}^{-\epsilon|z|^\beta \cos\beta\theta} |f(z)|\le 1\] sowie auf dem Kreisbogensegment mit Radius \(R\) die Abschätzung \[|F(z)| \le {\mathrm e}^{-\epsilon R^\beta\cos\beta\theta}|f(z)| \le {\mathrm e}^{C R^\alpha - \epsilon R^\beta\cos\beta\theta}\to0,\qquad R\to\infty.\] Damit impliziert das Maximumprinzip aber \[\max_{z\in \Sigma_\theta\cap B_R} |F(z)| \le 1\] für \(R\) hinreichend groß und, da \(\epsilon>0\) beliebig war, folgt die Behauptung.

Wir zeigen die Aussage unter der Voraussetzung \(\ln (1+|f(z)|) \in \mathbf o (|z|^\alpha )\) für \(\alpha=\frac \pi{2\theta}\). Dazu betrachten wir \[F(z) = f(z) {\mathrm e}^{-\epsilon z^\alpha}\] und nutzen, daß für reelles \(z\) wegen \(|F(z)| = {\mathrm e}^{-\epsilon z^\alpha} |f(z)| \to0\), \(z\to\infty\), die Existenz von \(M=\sup_{z\in{\mathbb R}_+} |F(z)|\) folgt. Damit kann auf jedem der Teilsektoren \(0\le\arg z\le \theta\) die Abschätzung aus Schritt 1 genutzt werden. Es gilt also \[|F(z)| \le \max\{1, M\},\qquad z\in\Sigma_\theta.\] Es folgt wiederum \(|f(z)|\le M\) in \(\Sigma_\theta\). Damit ist aber die schwächere Voraussetzung von Schritt 1 für \(f\) erfüllt und die Behauptung folgt durch erneute Anwendung von Schritt 1, diesmal für den ganzen Sektor. ◻

Proof. (i) Durch Substitution von \(z\) durch \(z^\gamma\) kann man erreichen, daß \(\theta<\pi/2\) gilt. Sei also im folgenden \(\theta<\pi/2\) und für \(\lambda>0\) die Funktion \[F_\lambda(z) = \frac z{\lambda+z} (f(z)-a)\] definiert. Sei weiter \(\epsilon>0\) und \(R\) so groß, daß \(|f(z)-a|<\epsilon\) für \(\arg z=\pm\theta\) und \(|z|>R\). Dann gilt insbesondere \(|F_\lambda(z)|\le\epsilon\) für diese \(z\). Da \(f\) beschränkt ist, existiert weiter \(\lambda>0\), sodaß \(|F_\lambda(z)| \le M R /\lambda = \epsilon\) für \(|z|\le R\). Also folgt \(|F_\lambda(z)| \le\epsilon\) in \(\Sigma_\theta\) und damit \[|f(z)-a| \le (1+\lambda/{|z|}) \epsilon < 2\epsilon,\qquad |z|\ge \lambda.\] (ii) folgt mit der Wahl \(F(z)=(f(z)-\frac12(a+b))^2\), da dann wegen (i) \[F(z) - \frac14(a-b)^2 = (f(z)-a)(f(z)-b)\to0\] gleichmäßig auf dem Sektor \(\alpha\le \arg z\le \beta\) gilt. ◻

Proof. Anwenden von Satz  auf die Funktion \(f(\ln\zeta)\), die auf dem Sektor \(\Sigma_b\cap\{|\zeta|\ge 1\}\) definiert ist. ◻

Proof. Sei \(\Re z> \delta> \delta_{\cal L}(f)\). Dann gilt aufgrund der Definition von \(\delta_{\cal L}(t)\) \[|f(t)| \le C {\mathrm e}^{\delta t}\] und somit die punktweise Abschätzung \[| \mathcal L[f](z) | \le \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t \Re z} |f(t)|{\,\mathrm d}t\le C \int_0^\infty {\mathrm e}^{(\delta -\Re z)t} {\,\mathrm d}t = \frac{C}{\Re z-\delta}.\] Also konvergiert das Integral absolut und lokal gleichmäßig und \(\mathcal L[f]\) ist holomorph auf jeder Halbebene \(\{z\;:\;\Re z>\delta\}\) mit \(\delta>\delta_{\cal L}(f)\). ◻

Proof. Folgt direkt aus der Linearität des Integrals. ◻

Proof. Es gilt unter Ausnutzung des Satzes von Fubini \[\begin{split} \mathcal L[f\star g](z) &= \int_0^\infty {\mathrm e}^{-zt} \int_0^t f(t-s) g(s){\,\mathrm d}s{\,\mathrm d}t\\ & = \int_0^\infty {\mathrm e}^{-zs} \int_s^\infty {\mathrm e}^{-z(t-s)} f(t-s) {\,\mathrm d}t g(s) {\,\mathrm d}s\\ & = \mathcal L[f](z) \, \mathcal L[g](z) \end{split}\] solange \(\Re z > \max \{\delta_{\cal L}(f), \delta_{\cal L}(g)\}\). ◻

Proof. (1) folgt direkt aus der Definition. \(\bullet\) folgt, da \(t{\mathrm e}^{-zt} = - \partial_z {\mathrm e}^{-zt}\) und die absolute Integrierbarkeit für \(\Re z>\delta_{\cal L} (f)\) das Vertauschen von Integral und Ableitung rechtfertigt. ◻

Proof. Aus \(\delta > \mathcal \delta_{\cal L}(f')\) folgt \(|f'(t)| \le C{\mathrm e}^{\delta t}\) und damit impliziert \[f(t) = f(0) + \int_0^t f'(s){\,\mathrm d}s\] schon \[|f(t)| \le |f(0)| + C \int_0^t {\mathrm e}^{\delta s}{\,\mathrm d}s = |f(0)| + \frac{ C}{\delta} {\mathrm e}^{\delta t} - \frac{C}{\delta}\] und damit \(\delta_{\cal L}(f)\le \max\{\delta,0\}\). Das impliziert \(\delta_{\cal L}(f) \le \max\{\delta_{\cal L}(f'),0\}\) und somit liefert partielle Integration \[\mathcal L[f'](z) = \int_0^\infty {\mathrm e}^{-zt} f'(t) {\,\mathrm d}t = {\mathrm e}^{-zt}f(t) \bigg|_{t=0}^\infty + z \int_0^\infty {\mathrm e}^{-zt} f(t) {\,\mathrm d}t = z \mathcal L[f](z) -f(0).\] ◻

Proof. Mit dem Verschiebungssatz können wir annehmen, daß \(\delta<-1\) gilt. Da nun sowohl \(\mathcal L[f]\) als auch \(\mathcal L[g]\) auf \(\{\Re z>-1\}\) holomorph sind, liefert der Identitätssatz aus \(\mathcal L[f](z)=\mathcal L[g](z)\) auf \(S\) schon die Gleichheit auf der gesamten Menge \(\{\Re z>-1\}\). Weiter gilt \(f, g \in \mathbf o({\mathrm e}^{-t})\), \(t\to\infty\). Betrachtet man also die Funktionen \(\tilde f(s) = f(-\ln s)\) und \(\tilde g(s)=g(-\ln s)\), so sind diese stetig auf \((0,1]\) und erfüllen \(\lim_{s\to0} \tilde f(s) / s= \lim_{s\to0}\tilde g(s) / s=0\). Wählt man nun speziell die Punkte \(z=n\in{\mathbb N}_0\), so folgt \[\begin{split} \int_0^1 s^n \tilde f(s) \frac{{\,\mathrm d}s}s= \int_0^\infty {\mathrm e}^{-nt}f(t) {\,\mathrm d}t &= \mathcal L[f](n)\\ &= \mathcal L[g](n) = \int_0^\infty {\mathrm e}^{-nt}g(t) {\,\mathrm d}t = \int_0^1 s^n \tilde g(s) \frac{{\,\mathrm d}s}{s} \end{split}\] und, da nach dem Weierstraßschen Approximationssatz die Menge der Polynome dicht in \(\mathrm C[0,1]\) ist, damit die Behauptung \(\tilde f=\tilde g\). ◻

Proof. Es gilt für \(\gamma>\delta_{\cal L}(f)\) und jedes \(t>0\) \[\begin{split} &\frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{\gamma-{\mathrm i}R}^{\gamma+{\mathrm i}R} {\mathrm e}^{tz} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-zs} f(s){\,\mathrm d}s{\,\mathrm d}z = \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_0^\infty \left( \int_{\gamma-{\mathrm i}R}^{\gamma+{\mathrm i}R} {\mathrm e}^{(t-s)z}{\,\mathrm d}z \right) f(s){\,\mathrm d}s\\ & = \frac1\pi \int_0^\infty \frac{{\mathrm e}^{{\mathrm i}R(t-s)}- {\mathrm e}^{-{\mathrm i}R(t-s)}}{2{\mathrm i}} \frac{{\mathrm e}^{(t-s)\gamma}}{t-s} f(s){\,\mathrm d}s\\ & = \frac1\pi \int_0^\infty \frac{\sin((t-s)R)}{(t-s)} {{\mathrm e}^{(t-s)\gamma}} f(s) {\,\mathrm d}s = \frac1\pi \int_{-t}^\infty \frac{\sin (R\tau)}{\tau} {{\mathrm e}^{-\gamma \tau }} f\left(t+\tau\right) {\,\mathrm d}\tau \end{split}\] mit der Substitution \(\tau=s-t\). Wir setzen \(g(t) = {\mathrm e}^{-\gamma t}f(t)\) für \(t\ge0\) und \(g(t)=0\) für \(t<0\). Dann ergibt obiges Integral \[\begin{split} &= {\mathrm e}^{\gamma t} \frac1\pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin (R\tau)}{\tau} g(t+\tau) {\,\mathrm d}\tau\\ &= {\mathrm e}^{\gamma t} \frac1\pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin (R\tau)}{\tau}\left( g\left(t+\tau \right) - g(t) \right){\,\mathrm d}\tau + f(t) \frac1\pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin\tau}{\tau} {\,\mathrm d}\tau, \end{split}\] und es bleibt, das den Grenzwert für \(R\to\infty\) zu untersuchen. Da \[\label{eq:3:euler-int} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin\tau}{\tau} {\,\mathrm d}\tau = \pi\] gilt, liefert der zweite Summand den Wert \(f(t)\). Wir zerlegen das erste Integral in drei Teile \[\label{eq:3:Brom-teile} \begin{split} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin( R\tau)}{\tau} & \left( g(t+\tau ) - g(t) \right){\,\mathrm d}\tau \\ =& \int_{-B}^B \frac{ g(t+\tau ) - g(t) }\tau \sin( R\tau) {\,\mathrm d}\tau\\& + \int_{|\tau|>B} \frac{g(t+\tau)}{\tau} \sin (R\tau) {\,\mathrm d}\tau - g(t) \int_{|\tau|>B} \frac{\sin (R\tau)}{\tau}{\,\mathrm d}\tau \end{split}\] und betrachten diese einzeln. Wir betrachten zuerst die letzten beiden Terme. Aufgrund der Konvergenz des uneigentlichen Integrals gilt \[\lim_{B\to\infty} \int_{|\tau|>B} \frac{\sin( R\tau)}{\tau}{\,\mathrm d}\tau = \lim_{B\to\infty} \int_{|\tau|>RB} \frac{\sin \tau}{\tau}{\,\mathrm d}\tau = 0\] und (gleichmäßig in \(R>1\)) kann \(B\) so groß gewählt werden, daß der dritte Term betragsmäßig kleiner \(\epsilon/3\) ist. Weiter gilt \[\lim_{B\to\infty} \int_{|\tau|>B} \left| \frac{g(t+\tau)}{\tau} \sin( R\tau) {\,\mathrm d}\tau \right| \le \lim_{B\to\infty} \int_{|\tau|>B} \frac{|g(t+\tau)|}{\tau} {\,\mathrm d}\tau =0\] aufgrund der exponentiellen Schranke \(g(t)\le \mathcal O( {\mathrm e}^{-(\delta-\gamma)t})\) für \(\delta_{\cal L}(f)<\delta<\gamma\) und der damit verbundenen absoluten Integrierbarkeit. Wir vergrößern \(B\) bis auch der zweite Term kleiner als \(\epsilon/3\) ist. Es bleibt der erste Term. Für diesen verwenden wir das bekannte Riemann–Lebesgue-Lemma, für jede absolut integrierbare Funktion \(h : [a,b]\to {\mathbb C}\) gilt \[\lim_{R\to\infty} \int_a^b h(\tau) \sin( R\tau) {\,\mathrm d}\tau = 0.\] Da \(f\) und damit auch \(g\) als in \(t\) hölderstetig angenommen wurde, existiert ein \(\alpha>0\) und eine Zahl \(A\), so daß \[\left| \frac{g(t+\tau) - g(t)}{\tau} \right| \le \frac{A}{|\tau|^{1-\alpha}}\] für \(\tau\in [-B,B]\) gilt. Damit ist die linke Seite aber absolut integrierbar über \([-B,B]\) und mit dem Riemann–Lebesgue-Lemma strebt der erste Term in für \(R\to\infty\) gegen Null. Also kann \(R\) so groß gewählt werden, daß dieser betragsmäßig kleiner \(\epsilon/3\) ist. Also ist das gesamte Integral in betragsmäßig kleiner \(\epsilon\) für hinreichend großes \(R\) und, da \(\epsilon\) beliebig war, folgt \[\lim_{R\to\infty} \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{\gamma-{\mathrm i}R}^{\gamma+{\mathrm i}R} {\mathrm e}^{tz} \mathcal L[f](z) {\,\mathrm d}z = f(t)\] und der Satz ist gezeigt. ◻

Proof. Daß \(f(t)\) stetig ist, folgt direkt aus \[\left| f(t) - \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{-{\mathrm i}R}^{{\mathrm i}R} {\mathrm e}^{zt} F(z) {\,\mathrm d}z \right| \le \frac1{2\pi} \int_{{\mathbb R}\setminus[-R,R]} |F({\mathrm i}z)| {\,\mathrm d}z \to 0,\qquad R\to\infty ,\] also der gleichmäßigen Konvergenz des uneigentlichen Integrals. Weiter gilt für \(\Re z>0\) aufgrund der absoluten Konvergenz beider Integrale \[\begin{split} \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t z} \int_{-{\mathrm i}\infty}^{{\mathrm i}\infty} {\mathrm e}^{t\zeta} F(\zeta) {\,\mathrm d}\zeta {\,\mathrm d}t &= \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{-{\mathrm i}\infty}^{{\mathrm i}\infty} F(\zeta) \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t(z-\zeta)} {\,\mathrm d}t {\,\mathrm d}\zeta \\ &= \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{-{\mathrm i}\infty}^{{\mathrm i}\infty} \frac{F(\zeta)}{z-\zeta}{\,\mathrm d}\zeta. \end{split}\] Andererseits gilt für \(\Re z>0\) mit der Cauchyschen Integralformel für den Weg \(\Gamma_R\) bestehend aus dem Halbkreisbogen \(|\zeta|=R\) und dem Intervall \({\mathrm i}[- R,R]\) für \(R>|z|\) \[F(z) = \frac1{2\pi{\mathrm i}} \oint_{\Gamma_R} \frac{F(\zeta)}{z-\zeta}{\,\mathrm d}\zeta \quad \longrightarrow\quad \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{-{\mathrm i}\infty}^{{\mathrm i}\infty} \frac{F(\zeta)}{z-\zeta}{\,\mathrm d}\zeta,\] da nach Voraussetzung das Integral über den Halbkreisbogen für \(R\to\infty\) gegen Null strebt. ◻

Proof. (1) folgt direkt aus obigem Lemma. \(\bullet\) bedarf des Nachrechnens. Wir verschieben den Integrationsweg des Bromwich-Integrals wie in Abbildung  rechts skizziert und lassen danach die horizontalen Reststücken ins Unendliche laufen. Dann gilt für hinreichend großes \(R\) und jedes \(t>0\) \[\begin{split} f(t) - \sum_{k=1}^n \sum_{\ell=0}^{\nu_k-1} \alpha_{k,\ell} t^\ell {\mathrm e}^{-\lambda_k t} = \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{\Gamma_R} {\mathrm e}^{zt} \mathcal L[f](z){\,\mathrm d}z \longrightarrow \frac1{2\pi{\mathrm i}} \int_{\delta-{\mathrm i}\infty}^{\delta+{\mathrm i}\infty} {\mathrm e}^{zt} \mathcal L[f](z){\,\mathrm d}z \end{split}\] und die Konvergenz für \(R\to\infty\) folgt aus der Konvergenz der vertikalen Integralreste (aus der Konvergenz als Hauptwertintegral über die Linie \(\Re z=\gamma\)) sowie aus der Konvergenz der horizontalen Integrale als Konsequenz von . Also folgt \[\begin{split} \left| f(t) - \sum_{k=1}^n \sum_{\ell=0}^{\nu_k-1} \alpha_{k,\ell} t^\ell {\mathrm e}^{-\lambda_k t} \right| \le \frac1{2\pi} {\mathrm e}^{\delta t} \int_{-\infty}^{\infty} | \mathcal L[f](\delta+{\mathrm i}\sigma)|{\,\mathrm d}\sigma \in \mathcal O({\mathrm e}^{\delta t}) \end{split}\] und damit die Behauptung. ◻

Proof. (i) Sei \(F(t) = \int_0^t f(s){\,\mathrm d}s\). Dann gilt mit majorisierter Konvergenz \[\begin{split} z^\rho \mathcal L[f](z) &= z^{\rho+1} \mathcal L[F](z) = z^{\rho+1} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-z t} F(t) {\,\mathrm d}t = z^{\rho} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} F\left(\frac tz\right) {\,\mathrm d}t \\ &= \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} (z+t)^{\rho} \left(1+\frac tz\right)^{-\rho} F\left(\frac tz\right) {\,\mathrm d}t \\ & \longrightarrow \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} t^{\rho} {\,\mathrm d}t \,\frac{\alpha}\rho = \alpha \Gamma(\rho) \end{split}\] für \(z\to0\) unter Ausnutzung der Majorante \({\mathrm e}^{-t}(1+t)^{\rho}\) für \(0<z<1\), da \[\sup_{t,z} \left(1+\frac tz\right)^{-\rho} | F\left(\frac tz\right)| = \sup_s (1+s)^{-\rho} |F(s)|<\infty\] nach Voraussetzung . \(\bullet\) Das ist der eigentliche taubersche Satz von Hardy und Littlewood, wir folgen dem Beweis von Karamata. Wegen gilt für \(z\to+0\) und \(k\in{\mathbb N}\) \[\begin{split} \mathcal L[f](kz) = \int_0^\infty {\mathrm e}^{-kzt} f(t){\,\mathrm d}t \sim \alpha \frac{\Gamma(\rho)}{k^\rho z^{\rho}} = \frac{\alpha}{k^\rho z^\rho} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-kt} (kt)^{\rho} \frac{{\,\mathrm d}t}t = \frac{\alpha}{z^\rho} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-kt} t^{\rho} \frac{{\,\mathrm d}t}t \end{split}\] und damit auch für jedes Polynom \(p\) \[\int_0^\infty p({\mathrm e}^{-tz}) {\mathrm e}^{-tz} f(t) {\,\mathrm d}t \sim \frac{\alpha}{z^\rho} \int_0^\infty p({\mathrm e}^{-t}) {\mathrm e}^{-t} t^{\rho-1}{\,\mathrm d}t,\qquad z\to+0,\] also auch \[\lim_{z\to+0} z^{\rho-1} \int_0^\infty p({\mathrm e}^{-t}) {\mathrm e}^{-t} f(t/z) {\,\mathrm d}t = {\alpha} \int_0^\infty p({\mathrm e}^{-t}) {\mathrm e}^{-t} t^{\rho-1}{\,\mathrm d}t.\] Da die Menge der Polynome dicht im Raum \(\mathrm C([0,1])\) ist, gilt diese Aussage sogar für jedes \(p\in\mathrm C([0,1])\). Um den Beweis zu führen, wählen wir passende stetige Funktionen. Sei für gegebenes \(\epsilon>0\) die Funktion \(g_\epsilon\in\mathrm C([0,1])\) so gewählt, daß \[g_\epsilon(s) \ge \begin{cases} 1/s,\quad & 1/{\mathrm e}\le s\le 1, \\ 0 , & 0\le s<1/{\mathrm e}, \end{cases}\] sowie \[\int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} g_\epsilon ({\mathrm e}^{-t}) t^{\rho-1}{\,\mathrm d}t \le \int_0^1 t^{\rho-1} {\,\mathrm d}t + \epsilon\] erfüllt ist. Mit dieser Funktion folgt \[\begin{split} \limsup_{z\to+0} z^{\rho-1} \int_0^1 f(t/z) {\,\mathrm d}t & \le \limsup_{z\to+0} z^{\rho-1} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} g_\epsilon({\mathrm e}^{-t}) f(t/z) {\,\mathrm d}t \\ &= {\alpha} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} g_\epsilon({\mathrm e}^{-t}) t^{\rho-1}{\,\mathrm d}t \le \alpha \left(\frac1\rho + \epsilon\right) \end{split}\] Analog gilt mit einer stetigen Funktion \(h_\epsilon\in\mathrm C([0,1])\), für die \[0 \le h_\epsilon(s) \le \begin{cases} 1/s,\quad & 1/{\mathrm e}\le s\le 1, \\ 0 , & 0\le s<1/{\mathrm e}, \end{cases}\] sowie \[\int_0^\infty {\mathrm e}^{-t} h_\epsilon({\mathrm e}^{-1}) t^{\rho-1}{\,\mathrm d}t \ge \int_0^1 t^{\rho-1} {\,\mathrm d}t - \epsilon\] gilt, auch \[\begin{split} \liminf_{z\to+0} z^{\rho-1} \int_0^1 f(t/z) {\,\mathrm d}t &\ge \liminf_{z\to+0} z^{\rho-1} \int_0^\infty h_\epsilon(t) f(t/z) {\,\mathrm d}t \\&= {\alpha} \int_0^\infty h_\epsilon(t) t^{\rho-1}{\,\mathrm d}t \ge \alpha \left(\frac1\rho - \epsilon\right). \end{split}\] Da \(\epsilon>0\) beliebig war, folgt \[\frac{\alpha}{\rho} = \lim_{z\to+0} z^{\rho-1} \int_0^1 f(t/z) {\,\mathrm d}t = z^\rho \int_0^{1/z} f(s) {\,\mathrm d}s\] und damit die Behauptung. ◻

Proof. Wir beschränken uns auf den Fall \(A=0\), der Rest ergibt sich durch Ändern des ersten Folgengliedes. Da die Reihe konvergiert, gilt \(a=(a_n)_{n\in{\mathbb N}_0}\in \mathbf o(1)\) und somit auch \(\rho(a)\ge 1\). Also ist die Erzeugendenfunktion \(G_a(z)\) auf \(B_1 = \{ z\in{\mathbb C}\,:\, |z|<1\}\) holomorph und die absolute Konvergenz der Reihe impliziert \[G_a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n = \sum_{n=0}^\infty (A_n-A_{n-1}) z^n = (1-z) \sum_{n=0}^\infty A_n z^n = (1-z) G_A(z)\] mit \(A_n = \sum_{k=0}^n a_k\to0\). Sei nun \(\epsilon>0\) beliebig und \(N\) so groß, daß \(|A_n|<\frac{\epsilon}2\) für \(n\ge N\). Dann folgt für alle \(z\in[0,1)\) \[\left| (1-z) G_A(z)\right| \le (1-z)\sum_{n=0}^{N-1} |A_n| + \frac{\epsilon}2 (1-z) \sum_{N}^\infty z^n \le (1-z) \sum_{n=0}^{N-1} |A_n| + \frac\epsilon2\] und für \(z\) nahe genug bei \(1\) ist auch der erste Term kleiner \(\epsilon/2\). Da \(\epsilon\) beliebig war, folgt die Behauptung. ◻

Proof. Da \(a\sim b\) gilt, existiert zu jedem \(\epsilon>0\) ein \(N\) mit \(|a_n-b_n|\le \frac\epsilon2 a_n\) und damit für \(z\in[0,1)\) \[\begin{split} \left| G_a(z) - G_b(z) \right| \le \sum_{n=0}^\infty |a_n -b_n| z^n \le \sum_{n=0}^{N-1} |a_n-b_n| + \frac{\epsilon}2 \sum_{n=N}^\infty a_n z^n \end{split}\] und da \(G_a(z)\to+\infty\) für \(z\to1\) existiert ein \(\delta>0\), so daß für alle \(z\in(1-\delta,1)\) der erste Summand kleiner ist als \(\frac\epsilon2 G_a(z)\). Damit folgt \[|G_a(z)-G_b(z)|\le \epsilon G_a(z),\qquad 1-\delta<z<1,\] und da \(\epsilon>0\) beliebig war auch die Behauptung. ◻

Proof. (i) Dies folgt aus obigem Lemma. Sei dazu \(A_n = \sum_{k=0}^n a_k\). Da nach Voraussetzung nun \(A_n\sim A\, (n+1)\) gilt, folgt \[G_A(z) = \sum_{n=0}^\infty A_n z^n \sim A \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n = \frac{A}{(1-z)^2},\qquad z\to1-,\] und mit \(G_a(z) = (1-z)G_A(z)\) auch die Behauptung. \(\bullet\) Der Beweis folgt wiederum Karamata. Durch Addition einer konstanten Folge können wir den Beweis auf den Fall \(a_n\ge0\) und \(A>0\) reduzieren. Gilt nun , so folgt durch Ersetzen von \(z\) durch \(z^{k+1}\) für \(z\to1-\) \[\begin{split} G_a(z^{k+1}) =\sum_{n=0}^\infty a_n z^{(k+1)n} &\sim \frac A{1-z^{k+1}} = \frac A{(1-z)(z^{k}+\cdots+z+1)}\\& \sim \frac A{(k +1)(1-z)} \end{split}\] und damit \[\lim_{z\to1-} (1-z) \sum_{n=0}^\infty a_n z^n z^{kn} = \frac A{k+1} = A \int_0^1 t^k {\,\mathrm d}t,\qquad k\in{\mathbb N}_0.\] Also gilt für jedes Polynom \(p\) \[\lim_{z\to1-} (1-z) \sum_{n=0}^\infty a_n z^n p( z^{n} )= A \int_0^1 p(t) {\,\mathrm d}t.\] Die Dichtheit der Polynome in \(\mathrm C[0,1]\) liefert dieses Resultat für jede stetige Funktion \(p\). Approximieren wir nun wiederum \[g(t) = \begin{cases} 1/t,\qquad & 1/{\mathrm e}\le t\le 1\\ 0,& 0\le t< 1/{\mathrm e}\end{cases}\] von oben und von unten durch stetige Funktionen \(g_\epsilon\) und \(h_\epsilon\) mit \(\epsilon\)-Integralfehler, so ergibt sich speziell mit \(z={\mathrm e}^{-1/N}\) \[\limsup_{N\to\infty} (1-{\mathrm e}^{-1/N}) \sum_{n=0}^N a_n \le A \int_0^1 g_\epsilon(t){\,\mathrm d}t \le A \int_{1/{\mathrm e}}^1 \frac{ {\,\mathrm d}t}t +A \epsilon = A(1+\epsilon)\] und entsprechend \[\liminf_{N\to\infty} (1-{\mathrm e}^{-1/N}) \sum_{n=0}^N a_n \ge A \int_0^1 h_\epsilon(t){\,\mathrm d}t \ge A \int_{1/{\mathrm e}}^1 \frac{ {\,\mathrm d}t}t -A \epsilon = A(1-\epsilon)\] und da \(\epsilon\) beliebig war folgt mit \(1-{\mathrm e}^{-1/N}\sim 1/N\) die Behauptung. ◻

Beweis zu Littlewood’s \(\mathcal O\)-Satz, Satz . Sei also \(a_n\) eine Folge, für die \(G_a(z) \to A\) für \(z\to1-\) strebt. Durch Ändern des ersten Folgengliedes können wir dies auf den Fall \(A=0\) reduzieren, es gelte also \(G_a(z) \in \mathbf o(1)\), \(z\to1-\). Dann gilt für \(z\in[0,1)\) und mit \(a_n\in\mathcal O(n^{-1})\) \[\begin{gathered} G_a''(z) = \sum_{n=2}^\infty n (n-1) a_n z^{n-2} \\ \in \mathcal O\left( \sum_{n=2}^\infty (n-1) z^{n-2}\right) = \mathcal O\left(\frac1{(1-z)^2}\right),\qquad z\to1-.\end{gathered}\] Damit folgt aber⁴¹ \[G_a'(z) = \sum_{n=1}^\infty n a_n z^{n-1} \in \mathbf o\left( \frac1{1-z}\right),\qquad z\to1-.\] Setzt man nun \(a_n\in\mathcal O(n^{-1})\) voraus, so ist \(|na_n|\le c\) beschränkt und nach Voraussetzung gilt \[\sum_{n=1}^\infty \left(1-\frac{n a_n}c\right) z^{n-1} = \frac1{1-z} - \frac{G_a'(z)}{c} \sim \frac1{1-z},\qquad z\to1-\] und nach dem Hardy–Littlewood-Theorem folgt \[\sum_{k=1}^n \left(1-\frac{k a_k}c\right) \sim n\] und damit \(\sum_{k=1}^n k a_k \in \mathbf o(n)\). Dies impliziert die Behauptung, es gilt mit \(b_n = \sum_{k=1}^n ka_k\) \[\begin{split} G_a(z) - a_0 &= \sum_{n=1}^\infty \frac{b_{n}-b_{n-1}}{n} z^n = \sum_{n=1}^\infty b_n \left(\frac{z^n}{n} - \frac{z^{n+1}}{n+1}\right)\\ & = \sum_{n=1}^\infty b_n \left( \frac{z^{n}-z^{n+1}}{n+1} + \frac{z^n}{n(n+1)} \right)\\ & = (1-z) \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n+1} z^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n(n+1)}z^n \end{split}\] und da \(b_n\in\mathbf o(n)\) gilt, ist der erste Term \(\mathbf o(1)\) für \(z\to1-\) und da \(\lim_{z\to1-}G_a(z)=0\) gilt, folgt auch \[\lim_{z\to1-} \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n(n+1)}z^n = -a_0.\] Da nun aber die Koeffizienten in \(\mathbf o(1/n)\) sind, folgt mit dem tauberschen \(\mathbf o\)-Satz \[\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n(n+1)} = -a_0\] und mit \[\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty b_n \left( \frac 1n - \frac1{n+1}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n-b_{n-1}}n = \sum_{n=1}^\infty a_n\] folgt die Behauptung. ◻

Proof. Wir nutzen die Hilfsfunktionen \[k_\lambda(\tau) = \max\{ 1- |\tau|/\lambda, 0\},\qquad \widehat k_\lambda(t) = \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} {\,\mathrm d}\tau = \frac \lambda {2\pi} \left( \frac{\sin(\lambda t/2)}{\lambda t/2}\right)^2,\] für die mittels Fubini \[\begin{split} \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) {\mathrm e}^{-\sigma s} {\,\mathrm d}s &= \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-s (\sigma+{\mathrm i}\tau)}{\,\mathrm d}s {\,\mathrm d}\tau\\ &= \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) \frac{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t}}{\sigma+{\mathrm i}\tau} {\,\mathrm d}\tau \end{split}\] für \(\sigma>0\) und entsprechend \[\begin{split} \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) {\mathrm e}^{-\sigma s} f(s) {\,\mathrm d}s &= \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} \int_0^\infty {\mathrm e}^{-s (\sigma+{\mathrm i}\tau)} f(s) {\,\mathrm d}s {\,\mathrm d}\tau\\ & = \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} F(\sigma+{\mathrm i}\tau) {\,\mathrm d}\tau \end{split}\] für \(\sigma>1\) gilt. Also gilt unter Ausnutzung von \(F(z) = G(z) + \frac{A}{z-1}\) \[\begin{split} \int_0^\infty & \widehat k_\lambda(t-s) f(s) {\mathrm e}^{-\sigma s}{\,\mathrm d}s \\ &= \frac{A}{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) \frac{{\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t}}{\sigma+{\mathrm i}\tau-1} {\,\mathrm d}\tau + \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} G(\sigma+{\mathrm i}\tau) {\,\mathrm d}\tau \\ &= A \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) {\mathrm e}^{-s(\sigma-1)} {\,\mathrm d}s + \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} G(\sigma+{\mathrm i}\tau) {\,\mathrm d}\tau. \end{split}\] Da nach Voraussetzung \(G\) stetig auf die abgeschlossene Halbebene \(\{\Re z\ge 1\}\) fortsetzbar ist, konvergiert \(\lim_{\sigma\to 1} G(\sigma+{\mathrm i}\tau) = G(1+{\mathrm i}\tau)\) gleichmäßig in \(\sigma\in[-\lambda,\lambda]\) und es folgt \[\int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) f(s) {\mathrm e}^{- s}{\,\mathrm d}s = A \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) {\,\mathrm d}s + \frac1{2\pi} \int_{-\lambda}^\lambda k_\lambda (\tau) {\mathrm e}^{{\mathrm i}\tau t} G(1+{\mathrm i}\tau) {\,\mathrm d}\tau.\] Da der letzte Summand aufgrund des Riemann–Lebesgue-Lemmas für \(t\to\infty\) gegen Null strebt, folgt \[\lim_{t\to\infty} \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) f(s) {\mathrm e}^{- s}{\,\mathrm d}s = A \lim_{t\to\infty} \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) {\,\mathrm d}s = A.\] Bisher haben wir die Monotonie von \(f\) noch nicht genutzt, dies ist die eigentliche taubersche Bedingung. Es gilt \[\begin{split} A &= \lim_{t\to\infty} \int_0^\infty \widehat k_\lambda(t-s) f(s) {\mathrm e}^{- s}{\,\mathrm d}s = \lim_{t\to\infty} \int_{-\infty}^{\lambda t} \widehat k(s) f(t-s/\lambda) {\mathrm e}^{ s/\lambda-t}{\,\mathrm d}s\\ & \ge \limsup_{t\to\infty} \int_{-a}^{a} \widehat k(s) f(t-s/\lambda) {\mathrm e}^{ s/\lambda-t}{\,\mathrm d}s\\ & \ge \limsup_{t\to\infty} f(t-a/\lambda) {\mathrm e}^{-a/\lambda-t} \int_{-a}^{a} \widehat k(s){\,\mathrm d}s\\ \end{split}\] und damit \[\limsup_{t\to\infty} f(t) {\mathrm e}^{-t} = \limsup_{t\to\infty} f(t-a/\lambda) {\mathrm e}^{a/\lambda-t} \le {\mathrm e}^{-2a/\lambda} \frac{A }{ \int_{-a}^{a} \widehat k(s){\,\mathrm d}s}.\] Speziell mit \(a=\sqrt\lambda\) und für \(\lambda\to\infty\) folgt \(\limsup_{t\to\infty} f(t) {\mathrm e}^{-t} \le A\). Andererseits gilt mit \(M = \sup_{t>0} f(t) {\mathrm e}^{-t}\) (was nach dem gerade gezeigten ja endlich ist) \[\begin{split} A & = \lim_{t\to\infty} ( \int_{-b}^b + \int_{-\infty}^{-b} + \int_{b}^{\lambda t} ) \; \widehat k(s) f(t-s/\lambda) {\mathrm e}^{ s/\lambda-t}{\,\mathrm d}s \\ & \le \liminf_{t\to\infty} f(t+b/\lambda) {\mathrm e}^{b/\lambda - t} \int_{-b}^b \widehat k(s) {\,\mathrm d}s + 2 M \int_b^\infty \frac{{\,\mathrm d}s}{s^2} \end{split}\] unter Ausnutzung der Abschätzung \(\widehat k(s) \le 1/s^2\). Also folgt \[\liminf_{t\to\infty} f(t) {\mathrm e}^{-t} = \liminf_{t\to\infty} f(t+b/\lambda) {\mathrm e}^{-b/\lambda-t} \ge {\mathrm e}^{2 b/\lambda} \frac{A -2 M / b}{ \int_{-b}^b \widehat k(s) {\,\mathrm d}s }\] und mit \(b=\sqrt\lambda\) und \(\lambda\to\infty\) folgt \(\liminf_{t\to\infty} f(t) {\mathrm e}^{-t}\ge A\) und damit die Behauptung. ◻

Proof. Die meisten Aussagen ergeben sich aus denen für die Laplacetransformation oder ebenso durch direktes Nachrechnen. Der Beweis verbleibt als Übung. ◻

Proof. (1) Die Holomorphie folgt direkt aus der absoluten und lokal gleichmäßigen Konvergenz der Reihe, also der Abschätzung \[\begin{gathered} | \mathcal D[a](z) | \le \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n|}{n^{\Re z}} \le C \sum_{n=1}^\infty n^{\delta-\Re z} \\ \le C \left(1+\int_1^\infty t^{\delta-\Re z}{\,\mathrm d}t \right)= C + \frac{C}{\Re z -\delta-1}.\end{gathered}\] für alle \(\Re z-1 > \delta>\delta_{\cal D}(a)\). \(\bullet\) klar. \(\bullet\) folgt aus der absoluten Konvergenz der Reihen und der dadurch erlaubten Umordnung \[\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^z}\right) \left(\sum_{\ell=1}^\infty \frac{b_\ell}{\ell^z} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{n=k\,\ell} a_k b_\ell \right) \frac1{n^z} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(a\ast b)_n}{n^z}.\] ◻

Proof. Es ist nur die Invertierbarkeit einer Folge \((a_n)_{n\in{\mathbb N}}\) mit \(a_1\ne0\) zu zeigen. Die Inverse \((b_n)_{n\in{\mathbb N}}\) müsste \(1=a_1b_1\) zusammen mit \[0 = \sum_{k | n} a_k b_{n/k},\qquad n\ge 2\] erfüllen. Ersteres liefert \(b_1=1/a_1\) und letzteres die Rekursion \[b_n = \frac{-1}{a_1} \sum_{k | n,\; k>1} a_k b_{n/k}.\] Besitzt die Folge \(a_n\) eine zugeordnete Dirichletreihe, gilt also \(\delta_{\cal D}((a_n)) < \infty\), so folgt aus \(|a_n|\le C n^\delta\) für \(\delta>\delta_{\cal D}(a)\) per Induktion \(|b_n|\le D n^{\delta+M}\) für \(M\) so groß, daß \(C (\zeta(M)-1)<|a_1|\). Der Induktionsanfang \(|b_1| = 1/|a_1|\le D\) ist klar, der Induktionsschritt folgt aus \[|b_n| \le \frac{ C D }{|a_1|} \sum_{k=2}^n k^\delta (n/k)^{\delta+M} \le D \frac{C (\zeta(M)-1)}{|a_1|} n^{\delta+M} \le D n^{\delta+M}.\] ◻

Proof. Der Beweis ist analog zu dem der Eulerschen Produktdarstellung der \(\zeta\)-Funktion und folgt damit direkt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. ◻

Proof. Nach Voraussetzung gilt \(\delta_{\cal D}(a)=0\) und \(\mathcal D[a]\in\mathfrak A(\{z: \Re z>1\})\). Wir zeigen zuerst das abelsche Theorem (1). Es gilt \(\zeta(z) \sim 1/(z-1)\) und damit insbesondere \[\begin{split} \mathcal D[a](z) - \frac{A}{z-1}& \sim \mathcal D[a](z) -A \zeta(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n-A}{n^{z}}\\ & = \sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{k=1}^n (a_k - A)\right) \left(\frac1{n^z}-\frac1{(n+1)^z}\right) \end{split}\] mit partieller Summation. Da sich aber nun die Summanden wie \(\mathbf o(n) \mathcal O(n^{-z-1})=\mathbf o(n^{-z})\) verhalten, ergibt die Summe \(\mathbf o(1/(z-1))\) für \(z\to1\). \(\bullet\) Dies ist der eigentliche Satz von Ikehara, Landau hat die Aussage nur unter stärkeren Voraussetzungen zeigen können. Er kann auf Satz  zurückgeführt werden, es gilt mit \(A(t) = \sum_{n\le t} a_n\) \[\frac1z \mathcal D[a](z) = \int_1^\infty t^{-z} A(t) \frac{{\,\mathrm d}t}{t} = \int_0^\infty {\mathrm e}^{-zs} A({\mathrm e}^{s}) {\,\mathrm d}s\] als Laplacetransformierte der Funktion \(s\mapsto A({\mathrm e}^s)\). Die Funktion ist monoton, also gilt \[\lim_{s\to\infty} A({\mathrm e}^s) {\mathrm e}^{-s} = \lim_{t\to\infty} \frac1t A(t)= \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k\le n} a_k = A\] und damit die Behauptung. ◻

Proof. Angenommen, die \(\zeta\)-Funktion besitzt Nullstellen der Ordnung \(\mu\ge0\) in \(z=1+{\mathrm i}\alpha\) und \(\nu\ge0\) in \(z=1+2{\mathrm i}\alpha\) für ein \(\alpha\ne0\). (Dabei sei eine Nullstelle der Ordnung Null einfach keine Nullstelle.) Da \[-\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)} = \sum_{p\,\text{prim}} \frac{\ln p}{p^z-1} = \sum_{p\,\text{prim}} \frac{\ln p}{p^z} + \sum_{p\,\text{prim}} \frac{\ln p}{p^z(p^z-1)}\] gilt und die zweite Reihe für alle \(\Re z>1/2\) absolut und lokal gleichmäßig konvergiert, besitzt auch die erste Reihe einen Pol erster Ordnung in \(z=1\) und \(z=1\pm {\mathrm i}\alpha\) sowie \(1\pm2{\mathrm i}\alpha\). Wir bezeichnen die erste Reihe kurz mit \(\Phi(z)\) und nutzen die Residuen \[\begin{split} &\lim_{\epsilon\to0} \epsilon \Phi(1+\epsilon)=1,\\ &\lim_{\epsilon\to0} \epsilon \Phi(1+\epsilon\pm {\mathrm i}\alpha) = - \mu, \\ &\lim_{\epsilon\to0} \epsilon \Phi(1+\epsilon\pm 2{\mathrm i}\alpha) = - \nu. \end{split}\] Dann gilt \[\sum_{k=-2}^2 \binom{4}{2+k} \Phi(1+\epsilon+{\mathrm i}k\alpha ) = \sum_{p\,\text{prim}} \frac{\ln p}{p^{1+\epsilon}} \left(p^{{\mathrm i}\alpha/2} + p^{-{\mathrm i}\alpha/2}\right)^4 \ge 0\] und es folgt nach Multiplikation mit \(\epsilon\) und Grenzübergang \(\epsilon\to0\), daß \(6-8\mu-2\nu\ge0\) gelten muß. Also ist \(\mu=0\) und es gibt keine (echten) Nullstellen. ◻

Proof. Wir nutzen den tauberschen Satz von Ikehara für die von Mangoldt-Funktion \(\Lambda(n)\) und ihre Dirichletreihe \(F(z)=\mathcal D[\Lambda](z)= - \zeta'(z) / \zeta(z)\). Da die \(\zeta\)-Funktion meromorph auf \({\mathbb C}\) mit einem Pol in \(z=1\) und nullstellenfrei auf der Linie \(\Re z=1\) ist, besitzt \(F\) einen Pol in \(z=1\) mit Residuum \(1\) und keine weiteren Pole auf der Linie \(\Re z=1\). Also gilt mit Satz  (2) \[1 = \lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{k=1}^n \Lambda(k) \le \liminf_{n\to\infty} \frac1n \sum_{p\,\text{prim},\; p\le n} \frac{\ln n}{\ln p} \ln p = \liminf_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} \pi(n).\] Dies liefert die untere Schranke \(n\in \mathcal O( \pi(n) \ln n )\). Andererseits gilt aber für beliebiges \(\epsilon>0\) \[\begin{split} \sum_{k=1}^n \Lambda(k)& \ge \sum_{p\,\text{prim},\;p\le n} \ln p \ge \sum_{n^{1-\epsilon} \le p\le n} \ln p \ge \ln (n^{1-\epsilon}) \sum_{ n^{1-\epsilon} \le p\le n}1 \\ &\ge \ln (n^{1-\epsilon}) \left( \pi(n) -\pi(n^{1-\epsilon})\right) \in (1-\epsilon) \ln (n) \pi(n) + \mathcal O(n^{1-\epsilon}) \end{split}\] und damit auch die obere Schranke \[(1-\epsilon) \limsup_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} \pi(n) \le \lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{k=1}^n \Lambda(k) = 1.\] Da \(\epsilon>0\) beliebig war, ist der Satz bewiesen. ◻

Proof. (1) ergibt sich als Anwendung des erweiterten Euklidischen Algorithmus im Ring \(\mathfrak M(\Omega)[z]\). Dieser liefert mit Polynomen \(r(z,\lambda)\) und \(s(z,\lambda)\) die Bezout-Darstellung \[1 = \mathrm{ggT}(p,q) (z,\lambda) = p(z,\lambda) r(z,\lambda) + q(z,\lambda) s(z,\lambda)\] und gemeinsame Nullstellen von \(p(z,\cdot)\) und \(q(z,\cdot)\) können damit nur in den Polstellen von \(r(\cdot,\lambda)\) und \(s(\cdot,\lambda)\), also in Polstellen der Koeffizienten der Polynome \(r\) oder \(s\) auftreten. Diese sind aber für meromorphe Funktionen diskret (besitzen also höchstens auf dem Gebietsrand \(\partial\Omega\) Häufungspunkte).\(\bullet\) folgt direkt aus (1). Ist \(\lambda\) mehrfache Nullstelle von \(p(z,\lambda)\), so gilt \(\partial_\lambda p(z,\lambda)=0\). Da aber \(\partial_\lambda(z,\lambda)\) kleineren Grad als \(p(z,\lambda)\) besitzt, müssen die beiden Polynome teilferfremd sein und die Behauptung folgt. ◻

Proof. Die Aussage folgt durch Zerlegen des Polynoms in irreduzible Faktoren nach Division durch den führenden Koeffizienten. Der Fall (i) entspricht einfach vorkommenden irreduziblen Faktoren, während im Fall (ii) mindestens ein irreduzibler Faktor doppelt vorkommt. ◻

Proof. Als Konsequenz des Satzes von Rouché sind die Nullstellen eines Polynoms stetige Funktionen der Koeffizienten des Polynoms. Da \(p\) irreduzibel ist, existieren also für eine hinreichend kleine Umgebungen \(U\) von \(z_0\) auch genau \(k\) (für \(z\ne z_0\) einfache) Nullstellen \(\lambda_{*,j}(z)\) mit \[\lim_{z\to z_0} \lambda_{*,j}(z) = \lambda_*.\] Wir betrachten die Menge dieser Nullstellen. Da diese stetig von \(z\) abhängen, bleibt die Gesamtheit bei einem geschlossenen Umlauf von \(z_0\) erhalten. Jedoch kann sich die Nummerierung der \(\lambda_{*,j}\) ändern. Es existiert also eine Permutation \(\sigma \in \mathbf S_k\) mit \[\lambda_{*,j}(z) \rightsquigarrow \lambda_{*,\sigma(j)} (z),\qquad j=1,\ldots, k\] bei einem Umlauf von \(z\) um \(z_0\). Wir zerlegen diese Permutation in Zykel und betrachten die zugehörigen Nullstellen einzeln. Seien diese wiederum mit \(\lambda_{*,1}(z)\) bis \(\lambda_{*,k}(z)\) (möglicherweise mit kleinerem \(k\)) bezeichnet. Subsituiert man nun \(z-z_0=\zeta^k\), so läuft \(z\) bei einem Umlauf von \(\zeta\) um den Ursprung jeweils \(k\)-fach um den Ursprung und die \(\lambda_{*,j}\) gehen jeweils in sich über. Da damit aber die Funktionen \(\zeta\mapsto \lambda_{*,j}(z_0+\zeta^k)\) auf einer punktierten Umgebung des Ursprungs beschränkt und holomorph sind, sind sie im Ursprung selbst holomorph und es gilt \[\lambda_{*,j}(z_0+\zeta^k) = \lambda_* + \sum_{\ell=1}^\infty \beta_\ell \zeta^\ell\] als konvergente Reihe mit entsprechenden Koeffizienten \(\beta_\ell\in{\mathbb C}\). Das ist aber gerade die Behauptung. ◻

Proof. (i) Nach Multiplikation des Polynoms mit \((z-z_0)^\nu\) ergibt sich in einer Umgebung \(U\) des Punktes \(z_0\) \[(z-z_0)^\nu p(z,\lambda) = \beta_n q(z,\lambda) + (z-z_0) r(z,\lambda)\] mit einem monischen Polynom \(q\in\mathfrak A(U)[\lambda]\) vom Grad \(\deg q=n\), \(\beta_n\ne0\) und einem weiteren Polynom \(r \in\mathfrak A(U)[\lambda]\) vom Grad \(\deg r=m\). Wir wählen \(U\) so klein, daß \(z_0\) der einzige Ausnahmepunkt dieses Polynoms in \(U\) ist. Seien nun \(\mu_1(z),\ldots, \mu_n(z)\) die Lösungen zu \(q(z,\mu)=0\). Diese sind holomorph für \(z\ne z_0\) mit möglichen Verzweigungspunkten in \(z=z_0\) und insbesondere einfach.

Mit dem Satz von Rouché angewandt in der \(\lambda\)-Ebene folgt nun, daß für \(z\) nahe genug an \(z_0\) in der Nähe jedes \(\mu_j(z)\) eine Nullstelle \(\lambda_j(z)\) des Polynoms \(p(z,\lambda)\) liegt, insbesondere also auch \[\lim_{z\to z_0} \lambda_j(z) = \lim_{z\to z_0}\mu_j(z) = \mu_j(z_0)\] gilt. Damit besitzt jedes dieser \(\lambda_j(z)\) eine Darstellung als Potenz- oder Puiseuxreihe um \(z_0\).

(ii) Wir substituieren \(\lambda = \sigma^{-1}\) und erhalten nach Multiplikation mit \(\sigma^m\) das neue Polynom \[\sigma^m p(z,\sigma^{-1}) = \sum_{k=0}^m \alpha_k(z) \sigma^{m-k}.\] Nach erneuter Multiplikation mit \((z-z_0)^\nu\) entsteht daraus \[(z-z_0)^\nu \sigma^m p(z,\sigma^{-1} ) = \sigma^{m-n} \beta_n \tilde q(z,\sigma) + (z-z_0) \tilde r(z,\sigma)\] mit einem Polynom \(\tilde q(z,\sigma) = \sigma^{n} q(z,\sigma^{-1})\) vom Grad \(n\) und mit \(\tilde q(z_0,0)=1\), sowie einem Polynom \(\tilde r(z,\sigma) = \sigma^m r(z,\sigma^{-1})\) vom Grad \(m\). Damit hat der erste Summand in \(\sigma=0\) eine Nullstelle der Ordnung \(m-n\), während der zweite wiederum klein wird. Wir wählen eine kleine Umgebung \(U\) von \(z_0\) und ein \(\epsilon>0\), so daß \(|\tilde q(z,\sigma)|>1/2\) auf \(U\) und für \(|\sigma|<\epsilon\). Wählt man nun \(U\) klein genug, also \(|z-z_0|\le C \epsilon^{m-n}\) für hinreichend kleines \(C\), so implizert wiederum der Satz von Rouché die Existenz von \(m-n\) Nullstellen \(\sigma_j(z)\) von \(\sigma^m p(z,\sigma^{-1})\) mit \(|\sigma_j(z)|\le \epsilon\). Damit besitzen diese \(\sigma_j(z)\) eine Darstellung als Potenz- oder Puiseuxreihe im Entwicklungspunkt \(z_0\). ◻

Proof. Die Aussage folgt aus der Darstellung der Resolvente als Neumannreihe. Für \(z\in\Omega\) und \(|\lambda|>\|A(z)\|\) gilt \[R_A(z,\lambda)=\lambda^{-1} \big(1-\lambda^{-1}A(z)\big)^{-1}=\lambda^{-1}\sum_{k=0}^\infty\lambda^{-k}(A(z))^k\] als lokal gleichmäßig konvergente Reihe. In der Nähe von \(z_0\in\Omega\) und \(\lambda_0\in{\mathbb C}\setminus\mathop{\mathrm{spec}}(A(z_0))\) gilt \[\begin{split} R_A(z,\lambda)&= R_A(z_0,\lambda_0) \Big(1-\big((\lambda_0-A(z_0))-(\lambda-A(z))\big) R_A(z_0,\lambda_0)\Big)^{-1} \\ &= R_A(z_0,\lambda_0) \sum_{k=0}^\infty \Big(\big((\lambda_0-A(z_0))-(\lambda-A(z))\big) R_A(z_0,\lambda_0)\Big)^k \end{split}\] für alle \(z\) und \(\lambda\) mit \[\|(\lambda_0-A(z_0))-(\lambda-A(z))\|< \| R_A(z_0,\lambda_0)\| ^{-1}.\] Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert Holomorphie. ◻

Proof. Da die Eigenwerte von \(A(z)\) stetig von \(z\) abhängen existiert um \(z\) eine kleine Umgebung, so daß der (von \(z\) unabhängige) Integrationsweg \(\Gamma\) auf der Umgebung keinen Eigenwert von \(A(z)\) durchläuft. Damit folgt lokale Holomorphie mit dem Satz von Morera. Weiterhin hängt \(P_\Gamma(z)\) nur von der Homotopieklasse des Weges \(\Gamma\) ab. Seien nun \(\Gamma\) und \(\Gamma'\) homotope nicht durch \(\mathop{\mathrm{spec}}A(z)\) verlaufende Wege, so daß \(\Gamma\) ganz im Inneren von \(\Gamma'\) liegt. Dann gilt aufgrund der Resolventenidentität \[R_A(z,\lambda)-R_A(z,\mu)= - (\lambda-\mu)R_A(z,\lambda)R_A(z,\mu)\] und unter Ausnutzung des Residuensatzes die Identität \[\begin{split} P_\Gamma(z)^2&=\frac{1}{2\pi{\mathrm i}}\oint_{\Gamma'} R_A(z,\lambda){\,\mathrm d}\lambda \; \frac{1}{2\pi{\mathrm i}}\oint_{\Gamma} R_A(z,\mu){\,\mathrm d}\mu \\ &= \frac1{4\pi^2} \oint_\Gamma \oint_{\Gamma'} \frac{R_A(z,\lambda) - R_A(z,\mu)} {\lambda-\mu} {\,\mathrm d}\lambda{\,\mathrm d}\mu\\ &= \frac1{4\pi^2} \oint_{\Gamma'} \underbrace{ \oint_{\Gamma} \frac{R_A(z,\lambda) } {\lambda-\mu} {\,\mathrm d}\mu}_{=0}{\,\mathrm d}\lambda - \frac1{4\pi^2} \oint_\Gamma \underbrace{ \oint_{\Gamma'} \frac{R_A(z,\mu)} {\lambda-\mu} {\,\mathrm d}\lambda}_{=2\pi{\mathrm i}\,R_A(z,\mu)} {\,\mathrm d}\mu\\ & = \frac1{2\pi{\mathrm i}} \oint_{\Gamma} R_A(z,\mu){\,\mathrm d}\mu = P_\Gamma(z). \end{split}\] und damit die zu zeigende Behauptung. ◻

Proof. (1) entspricht der Neumannreihe für . Diese ist absolut und lokal gleichmäßig konvergent in \(z\), falls \[\| \big( A(z) - A_0 \big) R_0(\lambda) \| < 1\] gilt. Dies erlaubt insbesondere das Umsortieren der Reihenglieder und das Ordnen nach Potenzen von \(z-z_0\). \(\bullet\) folgt daraus durch gliedweise Integration, vorausgesetzt \(z\) ist so nah bei \(z_0\), daß \[\| A(z) - A_0 \| < \max_{\lambda\in\Gamma} \| R_0(\lambda)\|^{-1}\] die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe entlang \(\Gamma\) sichert. Daß das Integral analytisch in \(z\) ist, ergibt sich wiederum direkt aus dem Satz von Morera. \(\bullet\) folgen aus (2). ◻

Proof. Es genügt, den Potenzreihenansatz \[f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\beta_n}{n!} (z-z_0)^n\] in die Gleichung einzusetzen und mittels Koeffizientenvergleich die noch unbekannten \(\beta_n\), \(n\ge m\), zu bestimmen. Dazu nutzen wir die Potenzreihen \[\alpha_k(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma_{k,n}}{n!} (z-z_0)^n\] der um \(z_0\) holomorphen Koeffizienten und erhalten aus der Differentialgleichung \[(\beta_{n+m})_{n\in{\mathbb N}_0} = - \sum_{k=0}^{m-1} (\gamma_{k,n})_{n\in\mathbb N_0} \lozenge (\beta_{n+k})_{n\in{\mathbb N}_0} ,\] mit der Kombination aus und daraus rekursiv die Koeffizienten \[\beta_{n+m} = - \sum_{k=0}^{m-1} \sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell} \gamma_{k,\ell} \beta_{n-\ell+k}.\] Es bleibt die Konvergenz der Reihe zu zeigen. Da alle Koeffizienten holomorph um \(z_0\) sind, gilt \(\rho_{E} (\gamma_k) > \rho > 0\), also \(|\gamma_{k,n}| / n! \in \mathcal O(\rho^{-n})\) für \(n\to\infty\). Eingesetzt in die Rekursion folgt induktiv \[\begin{split} \frac{|\beta_{n+m}|}{(n+m)!} &\le \sum_{k=0}^{m-1} \sum_{\ell=0}^n \binom{n}{\ell} \frac{ C \ell! \rho^{-\ell} \; M (n-\ell+k)! \rho^{-n+\ell-k} }{(n+m)!}\\ & = C M \rho^{-n-m} \sum_{k=0}^{m-1} \sum_{\ell=0}^n\frac{n!}{\ell! (n-\ell)!} \frac{\ell! (n-\ell+k)! }{(n+m)!} \rho^{m-k} \\ & = C M \rho^{-n-m} \sum_{k=0}^{m-1} \left( \sum_{\ell=0}^n \frac{(\ell+k)! }{\ell! }\right) \frac{n! }{(n+m)! } \rho^{m-k}\\ & \le M\rho^{-n-m} C \sum_{k=0}^{m-1} \frac{n+1 }{n+m } \rho^{m-k} \\ & \le M\rho^{-n-m} C \left(\rho+\cdots +\rho^{m-1}\right) \le M\rho^{-n-m} \end{split}\] für \(M \ge \max_{0\le k<m} | \beta_k | \rho^k/ k!\) und \(\rho\) klein genug. Damit folgt \(\rho_E(\beta)>\rho\) und das Lemma ist gezeigt. ◻

Proof. (1) folgt direkt aus dem Identitätssatz holomorpher Funktionen. (2) folgt aus (1) und obigem Theorem. (3) ergibt sich aus (2). ◻

Proof. Der Beweis folgt durch Differenzieren. Direkt aus der Definition der Wronskideterminante folgt \[\begin{split} \frac{{\,\mathrm d}}{{\,\mathrm d}z} \mathcal W(f_1,\ldots,f_m) & = \frac{{\,\mathrm d}}{{\,\mathrm d}z} \det \begin{bmatrix} f_1(z) & f_2(z) & \cdots & f_m(z) \\ \partial_z f_1(z) & \partial_z f_2(z) & \cdots & \partial_z f_m(z) \\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ \partial_z^{m-1} f_1(z) & \partial_z^{m-1} f_2(z) & \cdots & \partial_z^{m-1} f_m(z) \end{bmatrix}\\ &= \quad \det \begin{bmatrix} \partial_z f_1(z) & \partial_z f_2(z) & \cdots &\partial_z f_m(z) \\ \partial_z f_1(z) & \partial_z f_2(z) & \cdots & \partial_z f_m(z) \\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ \partial_z^{m-1} f_1(z) & \partial_z^{m-1} f_2(z) & \cdots & \partial_z^{m-1} f_m(z) \end{bmatrix}\\ &\quad + \det \begin{bmatrix} f_1(z) & f_2(z) & \cdots & f_m(z) \\ \partial_z ^2f_1(z) & \partial_z^2 f_2(z) & \cdots & \partial_z^2 f_m(z) \\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ \partial_z^{m-1} f_1(z) & \partial_z^{m-1} f_2(z) & \cdots & \partial_z^{m-1} f_m(z) \end{bmatrix}\\ & \hspace{6cm} \vdots\\ &\quad +\det \begin{bmatrix} f_1(z) & f_2(z) & \cdots & f_m(z) \\ \partial_z f_1(z) & \partial_z f_2(z) & \cdots & \partial_z f_m(z) \\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ \partial_z^{m} f_1(z) & \partial_z^{m} f_2(z) & \cdots & \partial_z^{m} f_m(z) \end{bmatrix}\\ \end{split}\] \[\begin{split} & = -a_{m-1}(z) \det \begin{bmatrix} f_1(z) & f_2(z) & \cdots & f_m(z) \\ \partial_z f_1(z) & \partial_z f_2(z) & \cdots & \partial_z f_m(z) \\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ \partial_z^{m-1} f_1(z) & \partial_z^{m-1} f_2(z) & \cdots & \partial_z^{m-1} f_m(z) \end{bmatrix}\\ & = -a_{m-1}(z) \;\mathcal W(f_1,\ldots, f_m)(z) \end{split}\] aufgrund der Linearität der Determinante. In allen bis auf der letzten der auftretenden Determinanten sind Zeilen doppelt. ◻

Proof. Durch eine lineare Substitution kann man annehmen, daß \(z_0=0\) gilt. Wir machen den Ansatz \[f(z) = z^r \sum_{n=0}^\infty {\beta_n} z^n\] zur Bestimmung der Lösung. Zusammen mit den Potenzreihen der Koeffizientenfunktionen \[\alpha_k(z) = z^{k-m} \sum_{n=0}^\infty \gamma_{k,n} z^{n}\] erhalten wir durch Einsetzen in \[\label{eq:4:FrobAnsKoeff} \begin{split} 0 &= \sum_{k=0}^m z^{k-m} \left( \sum_{\ell=0}^\infty \gamma_{k,\ell} \,z^{\ell} \right) \left( \sum_{j=0}^\infty \beta_j \,(j+r)_k \,z^{j+r-k} \right)\\ &= \sum_{n=0}^\infty z^{n+r-m} \sum_{k=0}^m \sum_{\ell=0}^n \gamma_{k,\ell} \, (r+n-\ell)_k \, \beta_{n-\ell} \end{split}\] und Koeffizientenvergleich liefert Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten \(\beta_n\). Um diese kurz aufschreiben zu können, definieren wir neben dem Indikatorpolynom \[p(r) = \sum_{k=0}^m \gamma_{k,0}\, (r)_k\] die Hilfspolynome \[h_{\ell}(r) = \sum_{k=0}^m \gamma_{k,\ell}\, (r)_k.\] Koeffizientenvergleich in liefert damit \[\begin{split} n=0: & \qquad\qquad \beta_0 p(r) = 0\\ n=1: & \qquad\qquad \beta_1 p(r+1) = - h_1(r) \beta_0\\ n=2: & \qquad\qquad \beta_2 p(r+2) = - h_2(r) \beta_0 - h_1(r+1) \beta_1\\ &\qquad\vdots \\ n:&\qquad\qquad \beta_n p(r+n) = - \sum_{\ell=1}^n h_\ell(r+n-\ell) \beta_{n-\ell}\\ \end{split}\] und damit für \(r\) mit \(p(r)=0\) die mögliche Wahl \(\beta_0=1\) und rekursiv \[\beta_{n} = - \sum_{\ell=1}^n \frac{h_\ell(r+n-\ell)}{p(r+n)} \beta_{n-\ell}.\] Da \(p(r+n)\ne0\) für alle \(n\in {\mathbb N}\) gilt, ist die Folge \((\beta)_n\) wohldefiniert und es bleibt \(\rho((\beta_n)_{n\in{\mathbb N}})>0\) und damit die lokal gleichmäßige Konvergenz der Reihe nachzuweisen. Dies überlassen wir als Übung. ◻

Proof. Der Beweis erfolgt durch Einsetzen und Nachrechnen. Die Definition von \(g\) liefert \[\begin{split} g'(z) &= \frac{ a_1(z)}2 g(z) + \exp\left(\frac12 \int^z_{z_0} a_1(\zeta){\,\mathrm d}\zeta \right) f'(z),\\ g''(z) &= \frac{a_1'(z)}2 g(z) + \frac{ a_1^2(z) }4 g(z) + \exp\left(\frac12 \int^z_{z_0} a_1(\zeta){\,\mathrm d}\zeta \right) \bigg(a_1(z) f'(z) + f''(z) \bigg), \end{split}\] und damit \[\begin{split} g''(z) &+ a_0(z) g(z) - \frac{2a_1'(z)+a_1^2(z)}4 g(z) \\&= \exp\left(\frac12 \int^z_{z_0} a_1(\zeta){\,\mathrm d}\zeta \right) \bigg(f''(z) + a_1(z) f'(z) + a_0(z) f(z) \bigg) = 0. \end{split}\] ◻

Proof. Schritt 1. Da nach Voraussetzung \(z^2\alpha(z)\to\infty\) strebt, gilt \(\alpha(z)\ne0\) für \(|z|\) hinreichend groß. Wir betrachten ein System erster Ordnung in \(V(z) = \big(f(z),f'(z)\big)^\top\). Dann gilt \[\partial_z V(z) = A(z) V(z) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \alpha(z) & 0 \end{bmatrix} V(z).\] Die Koeffizientenmatrix hat die Eigenwerte \(\pm\sqrt{\alpha(z)}\) und die zugehörigen Eigenvektoren können genutzt werden, die Koeffizientenmatrix zu diagonalisieren. Sei also \[M(z) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -\sqrt{\alpha(z)} & \sqrt{\alpha(z)} \end{bmatrix},\qquad M^{-1}(z) = \frac1{2\sqrt{\alpha(z)}} \begin{bmatrix} \sqrt{\alpha(z)} & -1 \\ \sqrt{ \alpha(z) }& 1 \end{bmatrix}\] und bezeichne \(V_1(z) = M(z)^{-1} V(z)\). Dann gilt \[\begin{split} \partial_z V_1(z) &= \big( M^{-1}(z) A(z) M(z) + \big(\partial_z M^{-1}(z)\big) M(z)\big) V_1(z)\\ &=\left( \begin{bmatrix} -\sqrt{\alpha(z)} & 0 \\ 0 & \sqrt{\alpha(z)} \end{bmatrix} + \frac{\alpha'(z)}{4\alpha(z)}\begin{bmatrix} -1 & 1 \\1 & -1 \end{bmatrix} \right) V_1(z)\\ &=\big( \mathcal D(z) + R_1(z)\big) V_1(z). \end{split}\] Gilt nun \(z^2\alpha(z)\in\mathcal O(|z|^n)\), so ist \(\mathcal D(z)\in\mathcal O(|z|^{n/2-1})\) und \(R_1(z)\in\mathcal O(|z|^{-1})\). Wichtig für das weitere ist ebenso, daß \(1/\sqrt{\alpha(z)} \in \mathcal O(|z|^{1/2})\). Dies nutzen wir, um das System weiter zu transformieren. Dazu sei \(N(z)\) eine Lösung der Kommutatorgleichung \[+ R_1(z) - \mathop{\mathrm{diag}}R_1(z) =0,\] also zum Beispiel die Matrix \[N(z) = \frac{\alpha'(z)}{8 \alpha(z) \sqrt{\alpha(z)}}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \in \mathcal O(|z|^{-1/2}).\] Dann ist \((1+N(z))\) für hinreichend großes \(|z|>R\) invertierbar und die transformierte Funktion \(V_2(z) = (1+N(z))^{-1} V_1(z)\) löst wegen der Identität \[\begin{split} & \big(\partial_z - \mathcal D(z) - R_1(z) \big) \big(1+ N(z) \big) V_2(z) \\&\qquad\qquad\qquad\qquad - \big(1+ N(z) \big) \big(\partial_z - \mathcal D(z) - \mathop{\mathrm{diag}}R_1(z)\big)V_2(z) \\ & = \big( \partial_z N(z) - [ \mathcal D(z) , N(z) ] -R_1(z) + \mathop{\mathrm{diag}}R_1(z) \\&\qquad\qquad\qquad\qquad - R_1(z) N(z) + N(z) \mathop{\mathrm{diag}}R_1(z)\big) V_2(z) \\ & = \big(1+N(z)\big) R_2(z) V_2(z) \end{split}\] die Gleichung \[\partial_z V_2(z) = \left( \begin{bmatrix} -\sqrt{\alpha(z)} & 0 \\ 0 & \sqrt{\alpha(z)} \end{bmatrix} - \frac{\alpha'(z)}{4\alpha(z)} + R_2(z) \right) V_2(z).\] Die neue Koeffizientenmatrix erfüllt \(R_2(z) \in \mathcal O(|z|^{-3/2})\) und ist damit entlang von ins unendliche verlaufenden Strahlen absolut integrierbar.

Schritt 2. Wir schreiben das erhaltene System in eine Integralgleichung um und konstruieren daraus wachsende und fallende Lösungen. Dazu schränken wir \(z\) auf einen Sektor \(\Sigma\) ein, auf welchem \(\Re (z\sqrt{\alpha(z)}) \sim \Re (\sqrt{\gamma_0}\; z^{n/2})\) nicht sein Vorzeichen wechselt. Wir wählen weiterhin den Zweig der Wurzelfunktion auf \(\Sigma\) so, daß asymptotisch \(\Re (z\sqrt{\alpha(z)}) > 0\) gilt.

Wir beginnen mit einer wachsenden Lösung und betrachten für ein fest gewähltes \(z_0\in\Sigma\) die Hilfsfunktion \[\widetilde V_2^{+}(z) = \sqrt[4]{\alpha(z)} \exp\left( - \int_{z_0}^z \sqrt{\alpha(\zeta)} {\,\mathrm d}\zeta \right) V_2 (z).\] Diese erfüllt die modifizierte Gleichung \[\partial_z \widetilde V_2^{+}(z) = \left( \begin{bmatrix} -2\sqrt{\alpha(z)} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + R_2(z) \right) \widetilde V_2(z)\] und wir suchen eine Lösung über die aus der Duhameldarstellung folgenden Integralgleichung. Sei dazu \[\Phi_+(z,w) = \begin{bmatrix} \exp\left( -2 \int_w^z \sqrt{\alpha(\zeta)}{\,\mathrm d}\zeta \right) & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\] die Fundamentalmatrix des Hauptteils der modifizierten Gleichung. Da \[\sqrt{\alpha(z)} \sim \sqrt{ \gamma_0 }z^{n/2-1}\qquad \Rightarrow\qquad \int \sqrt{ \alpha(z) }{\,\mathrm d}z \sim \sqrt{\gamma_0} z^{n/2}\] gilt, ist in jedem echt enthaltenen Sektor \(\Sigma'\) \[\sup_{R<|w|<|z|} \| \Phi_+(z,w) \| < \infty.\] Sucht man nun eine Lösung mit \[\widetilde V_2^+(z_0) = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix},\] so liefert die Duhamelsche Formel die Integralgleichung⁶⁰ \[\begin{split} \widetilde V_2^{+}(z) &= \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} + \int_{z_0}^z \Phi(z,w) R_2(w) \widetilde V_2^{+}(w) {\,\mathrm d}w. \end{split}\] Für \(R\) hinreichend groß ist diese Gleichung eindeutig mit dem Banachschen Fixpunktsatz lösbar. Es gilt \[\sup_{z\in\Sigma'} \left\| \int_{z_0}^z \Phi_+(z,w) R_2(w) \widetilde V_2^{+}(w) {\,\mathrm d}w \right\| \le C \int_R^\infty \max_{\theta} \|R_2(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}) \| {\,\mathrm d}r\; \sup_{z\in\Sigma'} \| \widetilde V_2^+(z)\|\] und das Integral strebt mit \(R\to\infty\) gegen Null. Also existiert eine eindeutig bestimmte (stetige) Lösung der Integralgleichung, damit eine Lösung der Differentialgleichung und die so konstruierte Funktion ist holomorph.

Für \(z\to\infty\) konvergiert die so konstruierte Lösung und bei geeigneter Wahl von \(z_0\) liegt der Grenzwert nahe genug bei \((0,1)^\top\), ist also insbesondere von Null verschieden.

Zur Konstruktion einer fallenden Lösung nutzen wir analog die Hilfsfunktion \[\widetilde V_2^{-}(z) = \sqrt[4]{\alpha(z)} \exp\left( \int_{z_0}^z \sqrt{\alpha(\zeta)} {\,\mathrm d}\zeta \right) V_2 (z).\] Zusammen mit den Endbedingungen \[\lim_{z\to\infty} \widetilde V_2^-(z) = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\] erhält man für diese die Integralgleichung \[\begin{split} \widetilde V_2^{-}(z) &= \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} + \int_{z}^\infty \Phi_-(z,w) R_2(w) \widetilde V_2^{-}(w) {\,\mathrm d}w \end{split}\] unter Ausnutzung der Fundamentalmatrix \[\Phi_-(z,w) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \exp\left( 2 \int_w^z \sqrt{\alpha(\zeta)}{\,\mathrm d}\zeta \right) \end{bmatrix}.\] Diese ist für \(|w|>|z|\) auf \(\Sigma'\) beschränkt, \[\sup_{R<|z|<|w|} \| \Phi_-(z,w) \| < \infty\] und der Banachsche Fixpunktsatz liefert ausgehend von \[\sup_{z\in\Sigma'} \left\| \int_{z}^\infty \Phi_-(z,w) R_2(w) \widetilde V_2^{-}(w) {\,\mathrm d}w \right\| \le C \int_R^\infty \max_{\theta} \|R_2(r{\mathrm e}^{{\mathrm i}\theta}) \| {\,\mathrm d}r\; \sup_{z\in\Sigma'} \| \widetilde V_2^-(z)\|\] wiederum die Existenz einer entsprechenden Lösung.

Rücktransformation liefert damit die Existenz von Lösungen der Form \[f_\pm (z) = \frac1{\sqrt[4]{\alpha(z)}} \exp\left( \pm \int \sqrt{ \alpha(z) } {\,\mathrm d}z \right) \left (1 + \mathbf o(1) \right)\] im Sektor \(\Sigma'\). ◻