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3.2.1. Sei nun eine unitäre Darstellung der lokalkompakten abelschen Gruppe . Betrachten wir nun
(3.1) |
so ist eine kommutative C*-Unteralgebra mit Eins. Damit kann der Spektralsatz 1.3.5 angewandt werden. Es existiert also ein Spektralmaß auf , so daß jedes Element durch das Integral
(3.2) |
über die Gelfandtransformation der Algebra dargestellt ist. Um diese Formel richtig zu interpretieren, benötigen wir eine Charakterisierung des Spektrums der Algebra . Da ein stetiger -Homomorphismus ist (Proposition 2.3.1) induziert er eine injektive stetige Abbildung . Diese bildet das Spektralmaß auf das Spektralmaß auf ab. Nach Lemma 3.1.3 gilt und die Gelfandtransformierte von ist gerade . Also folgt
(3.3) |
Weiter folgt in Analogie zu Proposition 2.3.1
für eine Approximation der Eins und mittels majorisierter Konvergenz1. Also folgt
3.2.2 Satz (Spektralsatz für unitäre Darstellungen). Sei eine unitäre Darstellung der lokalkompakten abelschen Gruppe . Dann existiert ein Spektralmaß auf dem Dual , so daß
(3.6) |
Umgekehrt bestimmt jedes Spektralmaß auf auf diese Weise eine unitäre Darstellung von .
Beweis. Es bleibt die Umkehrung zu beweisen. Sei also ein Spektralmaß auf und durch (3.6) definiert. Dann ist und das meßbare Funktionalkalkül liefert
(3.7) |
und
(3.8) |
und damit die -Homomorphie. Weiter ist nach dem Satz über die majorisierte Konvergenz schwach stetig. Zusammen mit der Darstellungseigenschaft folgt damit aus
(3.9) |
für , , die starke Stetigkeit. □
Eine Folgerung ist hervorzuheben. Speziell für den Fall erhält man den Satz von Stone. Dieser charakterisiert stark stetige Gruppen unitärer Operatoren beziehungsweise in einer äquivalenten Fassung (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren. Wir geben zwei Fassungen, die zweite kann als Spezialfall der ersten aufgefaßt werden.
3.2.3 Korollar (Satz von Stone). Sei eine stark stetige Gruppe unitärer Operatoren. Dann existiert ein Spektralmaß auf , so daß für alle
(3.10) |
gilt. Umgekehrt bestimmt jedes Spektralmaß auf durch (3.10) eine stark stetige Gruppe unitärer Operatoren.
3.2.4 Korollar (Diskreter Satz von Stone). Sei eine periodische stark stetige Gruppe unitärer Operatoren. Dann existiert eine Familie von Orthogonalprojektoren mit für alle und für , so daß für alle
(3.11) |
Eine weitere unmittelbare Folgerung von Satz 3.2.2 ist die nachfolgende Charakterisierung von Funktionen positiven Typs.
3.2.5 Satz (Satz von Bochner2). Sei lokalkompakt und abelsch. Dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
Das Maß ist dabei eindeutig bestimmt.
Beweis. Ist oder , so ist die Aussage trivial. Damit kann man o.B.d.A. annehmen, daß bzw. normiert sind. [] Jedem entspricht nach Lemma 2.4.3 eine zyklische unitäre Darstellung auf einem Hilbertraum mit zyklischem Vektor . Damit folgt mit Satz 3.2.2 die Existenz eines Spektralmaßes auf
(3.13) |
und mit folgt die Behauptung. [] Sei . Dann gilt
unter Ausnutzung des Satzes von Fubini. Zusammen mit erhält man damit . Eindeutigkeit: Angenommen, zwei Maße und erfüllen (3.12),
(3.15) |
Dann folgt und nach Multiplikation mit einem und Integration
(3.16) |
Nach Lemma 3.1.3 ist aber gerade die Gelfandtransformierte von . Das Bild von unter der Gelfandtransformation ist dicht in (da -Homomorphimus, Korollar 1.2.12) und damit folgt . □
3.2.6 Beispiel. Als Spezialfall für ergibt sich der Satz von Caratheodory3–Toeplitz (vergleiche Übung). Zu gegebenen komplexen Zahlen existiert genau dann ein positives Maß auf mit
(3.17) |
wenn alle Toeplitzmatrizen
(3.18) |
selbstadjungiert und positiv semidefinit sind.
3.2.7 Beispiel. Speziell für impliziert der Satz von Bochner, daß es genau dann ein positives Maß mit
(3.19) |
gibt, wenn eine Funktion positiven Typs ist, also
(3.20) |
für alle und beliebige Punkte und Gewichte gilt.
1Letzteres nur, wenn die Umgebungsbasis der Eins auf abzählbar ist. Sollte dies nicht der Fall sein und für ein Netz genutzt werden müssen, ist dies noch zu zeigen. Eine Variante dafür ist es, den Pontrjaginschen Dualitätssatz zu verwenden, um lokal gleichmäßig auf zu zeigen (die Topologie auf ist die der lokal-gleichmäßigen Konvergenz der Charaktere auf , die Menge für kompakt also offen in und somit für alle mit ). Dazu beachte man, daß im Beweis von Lemma 3.3.7 Plancherel vermeidet und direkt gezeigt werden kann. Für die Existenzaussage in Satz 3.2.5 kann man direkt Krein–Milman auf die schwach-* kompakte Menge anwenden. Ihr Bild unter (3.12) ist eine kompakte konvexe Teilmenge von , welche enthält und somit gleich .
2Salomon Bochner, 1899–19823Constantin Caratheodory, 1873–1950