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Beweis. Da kommutativ ist, gilt für alle die Identität und damit . Damit folgt aber , also , mit Satz 2.2.4 (1) und aus (2) damit . □
3.1.2 Definition. Sei lokalkompakte abelsche Gruppe. Dann heißen die stetigen Gruppenhomomorphismen Charaktere der Gruppe . Die Menge der Charaktere sei mit bezeichnet.
Beweis. Wir gehen ähnlich zu Proposition 2.3.1 vor, allerdings ist die Situation eindimensional und damit einfacher. Jedem Gruppencharakter ordnet man die integrierte Darstellung
(3.2) |
zu. Diese ist ein -Homomorphismus.
Sei umgekehrt . Dann existiert ein mit
(3.3) |
Sei mit . Dann gilt für jedes
und somit fast überall. Wir können damit stetig wählen. Darüberhinaus folgt
(3.5) |
und damit . Da nach Lemma 1.2.5 (in der Fassung für Algebren ohne Eins, siehe Übung) gilt und gilt folgt und ist ein Gruppencharakter. □
3.1.4 Korollar (Duale Gruppe). Die Menge wird durch punktweise Multiplikation
(3.6) |
zu einer abelschen Gruppe. Versehen mit der Topologie der lokalgleichmäßigen Konvergenz ist diese lokalkompakt.
Beweis. Die Gruppeneigenschaften sind klar, inverse Elemente sind durch gegeben. Weiter bestimmt jeder Charakter eine unitäre Darstellung auf und ist die zugeordnete Funktion positiven Typs auf . Also entspricht der Menge und ist damit lokalkompakt bezüglich der schwach-* Topologie auf . Die Topologie der schwach-*-Konvergenz stimmt auf mit der Topologie der lokalgleichmäßigen Konvergenz überein. □
3.1.5 Beispiele. Die Gruppe wird als Dual von bezeichnet. Wichtige Beispiele sind
(3.7) |
gegeben sind.
(3.8) |
(3.9) |
(3.10) |
das Dual zu . Die Charaktere sind durch (3.9) gegeben.
(3.11) |
parametrisiert durch die endlichen Teilmengen , , gegeben.
(3.12) |
Mit der induzierten Topologie ist lokalkompakter metrischer Raum. Wir betrachten nur die additive Gruppe. Elemente von können als -adische Zahlen
(3.13) |
mit Ziffern und einem Anfangsindex geschrieben werden. Für spricht man von ganzen -adischen Zahlen, die Menge der ganzen -adischen Zahlen sei mit bezeichnet. Sie ist eine kompakte Teilmenge von .
Ein Charakter von ist durch
(3.14) |
gegeben. Dieser bestimmt alle anderen Gruppencharaktere (siehe Übung). Sie sind von der Form
(3.15) |
für ein und es gilt mit dieser Identifikation .
Auf kompakten Gruppen wird das Haarmaß so normalisiert, daß gilt.
3.1.6 Proposition. Sei kompakte abelsche Gruppe. Dann ist diskret und die Charaktere bilden eine Orthonormalbasis des .
Beweis. Da kompakt ist, sind beschränkte Funktionen quadratintegrierbar. Für gilt
(3.16) |
sowie für alle mit existiert ein mit
und damit . Also bilden die Charaktere ein Orthonormalsystem. Da die Charaktere nach dem Satz von Gelfand–Raikov (Satz 2.4.8) punktetrennend auf und als Gruppe unter Multiplikation abgeschlossen sind, ist nach dem Satz von Stone–Weierstraß dicht. Da ebenso dicht in ist, bilden die Charaktere eine Orthonormalbasis.
Da die Einbettung stetig ist, muß diskret sein. □