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Zyklische Darstellungen kann man durch spezielle Funktionen auf der Gruppe bis auf Äquivalenz klassifizieren. Es gilt
2.4.1 Lemma. Zwei zyklische unitäre Darstellungen und in Hilberträume und sind genau dann unitär äquivalent, wenn es normierte zyklischen Vektoren und gibt, so daß für alle gilt.
Beweis. [] Angenommen, es existiert ein unitärer Operator . Dann gilt wegen für einen zyklischen Vektor von und mit
(2.1) |
Weiterhin ist zyklisch, da .
[] Angenommen, es gibt zyklische Vektoren und mit für alle . Dann gilt
(2.2) |
und ist wohldefiniert und linear fortsetzbar zu einer Isometrie von auf . Die stetige Fortsetzung liefert eine Isometrie mit dichtem Bild und damit eine unitäre Abbildung. □
Im folgenden sollen solche Funktionen genauer betrachtet werden. Vorerst eine Definition:
2.4.2 Definition. Eine beschränkte meßbare Funktion heißt von positivem Typ, falls für alle
(2.3) |
gilt. Sie heiße normiert, falls . Die Menge der Funktionen positiven Typs auf wird mit bezeichnet.
(2.4) |
von positivem Typ, normiert und stetig.
Beweis. [1.] Sei unitäre Darstellung und mit . Dann ist die zugeordnete Funktion von positivem Typ. Die Funktion ist nach Konstruktion stetig, es gilt , , sowie für beliebiges
[2.] Sei von positivem Typ und normiert. Dann definiert
(2.6) |
wegen auf eine stetige Sesquilinearform, aber im allgemeinen kein Innenprodukt. Um einen Innenproduktraum zu konstruieren, betrachten wir die (abgeschlossene) Teilmenge . Diese bildet einen Unterraum, da für und beliebiges auf Grund der Ungleichung von Cauchy–Schwarz5 stets folgt. Also induziert ein Skalarprodukt auf dem Quotientenraum und wir definieren als Vervollständigung von bezüglich des induzierten Skalarprodukts .
Für jedes gilt dann für die Linkstranslation
aufgrund der Linksinvarianz des Haarmaßes und mit den Substitutionen sowie . Damit induziert auch auf dem Quotientenraum eine Darstellung, die sich zu einer unitären Darstellung von auf fortsetzen läßt. Wir bezeichnen diese als .
Sei nun eine Approximation der Eins in . Dann gilt für beliebiges
Da gilt, existiert (nach Übergang zu einer Teilfolge) der schwache Grenzwert6 in , und es gilt
(2.9) |
Weiter gilt für
(2.10) |
und damit
Also ist für alle . Weiter folgt aus für alle schon und damit die Dichtheit von in . Also ist zyklisch für die Darstellung und es gilt
und damit fast überall. □
2.4.4. Funktionen positiven Typs gibt es viele; das gerade gezeigte Lemma erlaubt es, daraus eine große Zahl zyklischer unitärer Darstellungen zu konstruieren. Ist und bezeichnet , dann ist von positivem Typ. Das folgt, da wegen
(2.13) |
die Funktion von positivem Typ ist und damit auch . Insbesondere liefert der letzte Satz, daß jede Funktion von positivem Typ automatisch stetig ist und sowie erfüllt.
Beweis. [1.] Konvexität und schwach-*-Abgeschlossenheit folgt direkt aus (2.3), schach-*-Kompaktheit folgt aus dem Satz von Alaoglu. [2.] ergibt sich aus der ersten Aussage zusammen mit dem Satz von Krein–Milman. [3.] Sei mit . Dann gilt und ist normiert. Sei nun und definiert wie im Beweis zu Lemma 2.4.3 (2). Angenommen wäre reduzibel. Dann gäbe es einen nichttrivialen und -invarianten Unterraum von mit . Sei weiter der zyklische Vektor von und mit und seine Zerlegung unter der direkten Summe. Dann gilt
(2.15) |
mit und sowie . Dann gilt . Widerspruch zu . [4.] Sei irreduzibel und o.B.d.A. auf für . Angenommen, es gibt mit . Dann folgt für beliebiges
(2.16) |
und damit . Also ist eine beschränkte Sesquilinearform auf und es gibt einen beschränkten Operator auf mit
(2.17) |
Für diesen Operator gilt nun alle und ihre Projektionen
und somit . Da irreduzibel ist, folgt mit einem und damit für alle . Damit gilt aber und wegen und auch , also und . Damit ist extremal. □
Wir benötigen noch ein paar elementare Eigenschaften von Funktionen positivem Typs. Bezeichne dazu im folgenden . Es gilt , die Menge beschreibt also genau die Äquivalenzklassen irreduzibler unitärer Darstellungen von .
Beweis. [1.] Da für eine unitäre Darstellung in einem Hilbertraum und ein mit gilt, folgt mit Cauchy-Schwarz
[2.] Sei . Dann gilt
(2.20) |
und gleichmäßig stetig auf . Also ist gleichgradig stetig in .
Wir führen die Aussage auf dies zurück. Sei dazu , und . Dann existiert eine kompakte Umgebung der Eins mit für ein noch zu bestimmendes . Somit ist
(2.21) |
eine Umgebung von mit
(2.22) |
für alle sowie
unter Ausnutzung von (1). Weiter existiert wegen der zuerste gezeigten Aussage eine Umgebung von in mit für alle und alle . Also gilt für alle und alle
und mit klein genug, so daß gilt, folgt die Behauptung. [3.] Alle Funktionen der Form mit gehören zu . Damit enthält die lineare Hülle alle Funktionen der Form (Polarisation) und somit insbesondere alle Faltungen mit . Mit einer Approximation der Eins folgen die Dichtheitsaussagen. □
2.4.7 Korollar. Auf stimmen die schwach-* Topologie und die Topologie der lokalgleichmäßigen Konvergenz (als Funktionen auf ) überein.
2.4.8 Satz (Gelfand–Raikov7). Seien mit . Dann existiert ein Hilbertraum und eine irreduzible unitäre Darstellung mit .
Beweis. Ist , so existiert ein mit . Dies kann als Linearkombination von stetigen Funktionen positiven Typs gewählt werden. Damit existiert insbesondere eine Linearkombination von Extrempunkten mit . Also muß es insbesondere auch ein mit geben. Die zugeordnete unitäre Darstellung ist irreduzibel und erfüllt . □
Der Satz von Gelfand–Raikov impliziert, daß jede lokalkompakte Gruppe genug irreduzible Darstellungen besitzt, um ihre (topologische) Gruppenstruktur zu beschreiben. Er war der Ausgangspunkt für ein intensives Studium abstrakter harmonischer Analysis auf Gruppen. Wir wollen uns im folgenden auf spezielle Familien von Gruppen beschränken und für diese alle irreduziblen unitären Darstellungen klassifizieren sowie die mit ihnen verbundenen Integraltransformationen untersuchen.
5Diese gilt für positiv semi-definite Sesquilinearformen, wie
zusammen mit der Wahl für zeigt. Für die verbleibenden folgt sofort für alle und damit .
6Wegen der Beschränktheit existieren im Hilbertraum schwach konvergente Teilfolgen. Im folgenden verwenden wir diese Teilfolge.
7Dimitri Abramovich Raikov (Дмитрий Абрамович Райков), 1905-1981