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Unitäre Darstellungen erlauben es, strukturelle Aussagen über die Banachalgebra zu treffen. Sie stehen in engem Zusammenhang zu -Homomorphismen der Gruppenalgebra in geeignete Operatoralgebren. Sei dazu unitäre Darstellung und . Dann bestimmt die Identität
(2.1) |
ein eindeutiges Element . Dieses wird kurz als
(2.2) |
bezeichnet. Wir bezeichnen weiter einen Homomorphismus als nichtentartet, falls für jede Folge4 mit in
(2.3) |
gilt. Ist diskret und das Einselement, so impliziert dies .
2.3.1 Proposition. Sei eine unitäre Darstellung von . Dann definiert das Integral (2.2) einen nichtentarteten *-Homomorphismus mit . Weiterhin ist jeder nichtentartete -Homomorphismus mit von dieser Form.
Beweis. Schritt 1: Die Abschätzung ergibt sich direkt aus über
(2.4) |
Für die weiteren Eigenschaften werden wir nur formal mit (2.2) rechnen (was korrekt ist, da es sich um ein Bochnerintegral handelt; was aber ebenso durch Innenproduktbildung und Ausnutzung der Stetigkeit zum Vertauschen von Innenprodukt und (Riemann-)Integral nachgerechnet werden kann und sollte). Die Homomorphieeigenschaften ergeben sich zu
und
Weiter ist nichtentartet, da nach Definition für jede -Folge mit
(2.7) |
gilt.
Schritt 2: Nun skizzieren wir noch den Beweis der Rückrichtung. Ist von der Form (2.2), so gilt für jede -Folge . Sei nun umgekehrt nichtentartet, und wiederum eine -Folge. Dann gilt
(2.8) |
und da stetiger Homomorphismus ist,
(2.9) |
Also konvergiert auch in für jedes . Weiter ist beschränkt. Da nichtentartet ist, ist
(2.10) |
dicht und konvergiert damit stark in . Sei nun . Dann gilt und man sieht leicht, daß der Grenzwert von der Wahl der -Folge unabhängig ist. Da nichtentartet war, gilt . Weiter folgt
(2.11) |
und damit auf sowie
(2.12) |
und ist unitär. Stetigkeit ergibt sich, da in schon in und damit impliziert.
Es bleibt zu zeigen. Seien dazu . Dann gilt als -wertiges Integral und somit
(2.13) |
und damit insbesondere auf und damit auf . □
4Eigentlich Filter/Netze. Die Existenz ist trivial: man nehme eine Filterbasis des Umgebungsfilters der Eins aus relativ kompakten Mengen und normiert . Dann gilt . Mit dem Lemma von Urysohn kann man die auch alle stetig mit kompaktem Träger wählen.