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2.2.1 Definition. Sei lokalkompakte Gruppe und ein Hilbertraum, . Eine unitäre Darstellung von in ist ein stark stetiger Gruppenhomomorphismus
(2.1) |
in die Gruppe der unitären Operatoren des Hilbertraumes . Es gilt also
(2.2) |
sowie
(2.3) |
2.2.2 Beispiel. Ist die additive Gruppe der reellen Zahlen, so bezeichnet man unitäre Darstellungen von in oft als unitäre Gruppen von Operatoren. Dabei handelt es sich also um stark stetige Operatorfamilien mit und sowie . Diese werden uns später nochmals begegnen. Vorerst sollen allgemeinere Gruppen für eine Rolle spielen.
2.2.3 Definition. Seien und zwei unitäre Darstellungen in Hilberträumen und , so bezeichne
(2.4) |
die Menge der Verflechtungsoperatoren der Darstellungen und . Wir schreiben kurz .
Die Menge ist eine Unteralgebra von . Analog zu Satz 1.3.7 folgt, daß schwach abgeschlossen ist und es sich damit um eine von-Neumann-Algebra handelt.
2.2.4 Satz (Lemma von Schur3). Es sind äquivalent:
Eine Darstellung, für die diese Aussagen gelten, heißt irreduzibel. Existiert ein Vektor mit , so heißt die Darstellung und auch dieser Vektor zyklisch.
Beweis. [21] Sei , . Dann gilt auch und somit auch sowie . Damit genügt es selbstadjungierte Operatoren aus zu betrachten und zu zeigen, daß diese Vielfache der Identität sind.
Sei also o.B.d.A. der Operator selbstadjungiert. Da nach Voraussetzung mit kommutiert, kommutiert insbesondere auch mit allen meßbaren Funktionen von und somit auch mit für jede Borelmenge . Angenommen ist keine Nullmenge, also .
Sei nun im Bild von . Dann gilt wegen (2) für die zyklischen Unterräume . Damit ist aber und da beliebige Nichtnullmenge war , .
[1] Angenommen, (2) gilt nicht. Dann existiert ein Vektor mit . Also gilt als orthogonale direkte Summe zweier nichttrivialer Teilräume. Sei weiter definiert als . Dann gilt, da beide Teilräume invariant läßt
Also gilt und somit (1) nicht. □
2.2.5 Korollar (Lemma von Schur, II). Seien irreduzible unitäre Darstellungen der Gruppe . Dann gilt entweder oder für ein invertierbares .
Beweis. Sei . Wegen
(2.6) |
folgt . Also folgt und . Damit folgt aus Satz 2.2.4, daß und für gilt. Wegen folgt . Es gibt also zwei Fälle, entweder ist und damit oder der Operator ist unitär, insbesondere invertierbar.
Seien nun , . Dann ist und somit ein Vielfaches der Identität. Also folgt wiederum aus Satz 2.2.4, daß . Also ist . □
2.2.6 Beispiel. Dieses Beispiel erklärt die Bezeichnung. Sei die additive Gruppe der ganzen Zahlen und ein unitärer Operator. Dann ist eine unitäre Darstellung. Die Menge besteht gerade aus den mit und kommutierenden Operatoren,
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Weiter ist der von erzeugte zyklische Unterraum von . Allerdings ist die Darstellung im Allgemeinen nicht irreduzibel. Sonst würde die Existenz einer Zahl mit implizieren und kann nur dann gleich sein, wenn gilt.
Analoges gilt für den Fall und allgemein jede abelsche Gruppe.
2.2.7 Beispiel. Sei nun . Dann ist eine unitäre Darstellung. Diese wird als die linksreguläre Darstellung von in bezeichnet. Die linksreguläre Darstellung ist für nichttriviale kompakte Gruppen nicht irreduzibel, die Menge der konstanten Funktionen bildet einen invarianten Unterraum.
2.2.8 Satz (zyklische Reduzibilität). Sei eine unitäre Darstellung der Gruppe in einem Hilbertraum . Dann existiert eine (nicht notwendig abzählbare) Familie von Teilräumen , , so daß
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als orthogonale direkte Summe gilt und auf jedem zyklisch ist.
Beweis. Wir beschränken uns zuerst auf den Fall, daß separabel ist und geben einen konstruktiven Beweis basierend auf dem Gram–Schmidt-Verfahren. Der allgemeine Fall benötigt das Zornsche Lemma.
Sei also , , eine abzählbare dichte Teilmenge von mit für alle . Sei weiter der von erzeugte zyklische Unterraum von . Da unitär ist, gilt . Betrachtet man nun so gilt entweder oder . Im ersten Fall streichen wir aus der Liste der , im zweiten sei und . Dies führen wir rekursiv fort. Das Verfahren bricht entweder nach endlich vielen Schritten ab und liefert damit eine Zerlegung von in eine endliche direkte Summe von zyklischen Unterräumen oder es bricht nicht ab und zerlegt in eine abzählbare direkte Summe zyklischer Unterräume.
Nun der allgemeine Fall. Sei die Menge aller abgeschlossenen zyklischen Unterräume von und
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geordnet durch Inklusion. Dann gilt offenbar und für jede aufsteigende Kette gilt für jedes . Damit existiert nach dem Lemma von Zorn ein maximales Element . Für dieses gilt
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da andernfalls echt größer wäre. □