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1.3.1. Sei im folgenden ein Hilbertraum mit . Ein Operator wird bekanntlich als normal bezeichnet, wenn er mit seinem Adjungierten kommutiert, also wenn gilt. Weiterhin gilt bekanntlich für . Damit erzeugen , und eine kommutative C*-Unteralgebra von auf die der Satz von Gelfand–Naimark anwendbar ist. Sei also
(1.1) |
diese Algebra. Da jeder Homomorphismus ein -Homomorphismus ist, ist er durch seinen Wert im Element bestimmt.7 Die Abbildung
(1.2) |
ist ein ein Homöomorphismus und wird im folgenden genutzt, das Spektrum mit dem Spektrum des Operators zu identifizieren. Insbesondere ergibt sich für . Nach dem Satz von Gelfand–Naimark ergibt sich ein isometrischer -Isomorphismus zwischen und . Für jedes sei das entsprechende Urbild mit bezeichnet. Dann entspricht für polynomiales der Operator gerade dem Wert des Polynoms in ,
(1.3) |
Entsprechendes gilt für Funktionen für . Für diese gilt
(1.4) |
gleichmäßig auf dem Spektrum beziehungsweise als normkonvergente Reihe. Weiterhin erhält man für den adjungierten Operator, .
Sind nun zwei beliebige Elemente des Hilbertraumes , so bestimmt die Abbildung
(1.5) |
wegen
(1.6) |
eine stetige Linearform auf dem Raum der stetigen Funktionen , nach dem Darstellungssatz von Riesz also ein komplexes Radonmaß auf . Damit ergibt sich eine Integraldarstellung des Operators
(1.7) |
als Integral über das Spektrum von . Die hier auftretende Abbildung wird dabei als Spektralmaß bezeichnet.
Wir wollen das im folgenden etwas allgemeiner fassen und betrachten eine beliebige kommutative -Unteralgebra mit Eins der C*-Algebra . Dann gilt
1.3.2 Satz. Sei kommutative C*-Algebra beschränkter Operatoren eines Hilbertraumes mit . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung
(1.8) |
welche jedem Paar ein komplexes Radonmaß auf zuordnet, so daß für jedes und seine inverse Gelfandtransformierte die Identität
(1.9) |
gilt. Für die Abbildung gilt darüberhinaus
Beweis. Da die Gelfandtransformation eine Isometrie ist, gilt wie oben
(1.10) |
und die Abbildung ist stetige Linearform auf . Damit existiert nach dem Darstellungssatz von Riesz8 ein eindeutig bestimmtes komplexes Radonmaß mit (1.9). Die Zuordnung ist offensichtlich linear im ersten und anti-linear im zweiten Argument und damit sesquilinear. Da die Gelfandtransformation ein -Homomorphismus ist, gilt weiterhin
(1.11) |
für alle und somit . Da für nichtnegatives die Funktion stetig und nichtnegativ ist, gilt wegen auch und somit
(1.12) |
Damit ist positives lineares Funktional und somit ein positives Maß. Insbesondere folgt
(1.13) |
Die Abschätzung folgt direkt aus (1.10). □
Nachdem wir nun ein Maß auf haben, hindert uns niemand daran auch andere Funktionen zu integrieren. Es bezeichne im folgenden die C*-Algebra der beschränkten borelmeßbaren Funktionen auf versehen mit der Supremumsnorm. Für jedes ist
(1.14) |
nach dem Satz von Fréchet–Riesz existiert also ein eindeutig bestimmtes mit
(1.15) |
für alle und mit . Für stetiges stimmt nach Konstruktion mit der inversen Gelfandtransformierten von überein.
1.3.3 Satz. Die Abbildung definiert einen -Homomorphismus von nach . Darüberhinaus gelten folgende Eigenschaften:
Beweis. Die Zuordnung ist offenbar linear und es gilt wegen
(1.16) |
Für die Homomorphismuseigenschaft bleibt zu zeigen. Sind beide Funktionen stetig, so ist gerade die Homomorphieeigenschaft der Gelfandtransformation. Damit gilt
(1.17) |
und somit . Das impliziert aber für jedes
und damit . Damit folgt aber nun für beliebiges
(1.19) |
Kommutiert nun mit jedem zu stetigem , so gilt
(1.20) |
und damit . Damit folgt aber sofort für beliebiges
(1.21) |
und (1) ist gezeigt. Wir zeigen noch die Eigenschaft (2). Der Satz über majorisierte Konvergenz impliziert wegen der gleichmäßigen Beschränktheit von in und
(1.22) |
und damit die schwache Operatorkonvergenz . □
Sei nun eine Borelmenge und ihre charakteristische Funktion. Dann bezeichne den soeben konstruierten Operator . Die Abbildung ist ein projektionswertiges Spektralmaß, die dazu notwendigen Eigenschaften folgen direkt aus Satz 1.3.3.
1.3.4 Definition. Sei lokalkompakter Hausdorffraum und seine Borelalgebra. Sei weiter Hilbertraum. Eine Abbildung heißt projektionswertiges Spektralmaß, falls
(1.23) |
als konvergente Reihe in der starken Operatortopologie gilt.
Für Paare bestimmt vermittels ein Maß . Das Spektralmaß heißt regulär, falls für alle und ein reguläres Borelmaß ist.
Ist nun ein Spektralmaß auf und eine beschränkte borelmeßbare Funktion, so liefert der Satz von Fréchet–Riesz die Existenz eines eindeutig bestimmten Operators mit
(1.24) |
für alle . Dieser wird als
(1.25) |
bezeichnet.
Damit ergibt sich aus den Sätzen 1.3.2, 1.3.3 zusammen mit Definition 1.3.4 die folgende Spektraldarstellung kommutativer -Algebren beschränkter Operatoren.
1.3.5 Satz (Spektralsatz). Sei kommutative C*-Unteralgebra von , welche die Identität enthält. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes reguläres projektionswertiges Spektralmaß auf mit
(1.26) |
für alle .
1.3.6 Korollar (Spektralsatz für normale Operatoren). Sei normal und bezeichne sein Spektrum. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes reguläres projektionswertiges Spektralmaß auf mit
(1.27) |
sowie
(1.28) |
für alle Polynome .
Beweis. Man betrachtet die von , und erzeugte Unteralgebra von . Diese ist nach Voraussetzung kommutativ und . □
Korollar 1.3.6 ist nicht die allgemeinste Formulierung des Spektralsatzes für normale Operatoren, wir werden ihn später in Satz 1.3.10 noch wesentlich verallgemeinern und insbesondere charakterisieren, welche Operatoren sich als meßbare Funktionen von darstellen lassen.
Für den folgenden Satz benötigen wir noch eine Bezeichnung. Für eine Teilmenge bezeichne
(1.29) |
den Kommutant.
1.3.7 Satz (von-Neumann9). Sei eine -Algebra mit . Dann gilt für den schwachen Abschluß und den starken Abschluß
(1.30) |
Beweis. Schritt 1: Es gilt . Wir zeigen, daß der Kommutant einer Teilmenge schwach abgeschlossen ist. Da die Abbildung für gegebenes schwach stetig ist, ist ebenso stetig. Sei nun . Dann existieren und mit und somit eine Umgebung von , welche disjunkt zu ist. Damit ist schwach abgeschlossen.
Also ist schwach abgeschlossen. Da gilt, ist der schwache Abschluß von in enthalten.
Schritt 2: Es gilt . Sei . Jede in der starken Topologie offene Umgebung von enthält eine Menge der Form
(1.31) |
für eine endliche Folge und ein .
Wir beschränken uns vorerst auf den Fall und bezeichnen mit . Sei nun und der Orthogonalprojektor auf . Wir zeigen zuerst, daß . Sei dazu beliebig. Dann ist Grenzwert einer Folge , . Ist nun beliebig, so konvergiert gegen . Damit folgt . Da beliebig war, folgt für alle und, da eine -Algebra ist sowie
(1.32) |
Also gilt und damit .
Damit gilt nach Voraussetzung . Da gilt, ist damit und es existiert somit ein mit .
Für den Fall betrachtet man den Hilbertraum und identifiziert mit . Bezeichnet man nun zu durch den Operator der auf jeder Komponente durch wirkt. Für diesen gilt und . Sei weiter . Dies ist wiederum eine -Unteralgebra mit Identität. Also folgt speziell mit und obigem Argument die Existenz eines mit . Damit liegen die Blockdiagonaleinträge von aber gerade im Schnitt von mit der starken Umgebung von . Also enthält jede starke Umgebung von Elemente aus .
Schritt 3: . Dies gilt nach Definition der schwachen Operatortopologie. □
Eine schwach (und damit stark) abgeschlossene -Algebra von Operatoren mit Identität wird als von-Neumann-Algebra bezeichnet.
Zum Schluß soll noch der Zusammenhang zwischen dem stetigen Funktionalkalkül und dem meßbaren Funktionalkalkül angesprochen werden. Sei dazu kommutative C*-Unteralgebra von , welche die Identität enthält. Sei weiter das zugeordnete Spektralmaß auf .
Beweis. Es gilt genau dann, wenn und damit falls . Letzteres impliziert aber für jedes
(1.33) |
und die Menge ist damit -Nullmenge. □
Mit der Polarisationsformel
(1.34) |
ist damit auch klar, daß es sich um eine -Nullmenge für alle handeln muss. Motiviert davon sagen wir, eine Borelmenge auf ist eine -Nullmenge, falls gilt; äquivalent dazu, falls für alle die Menge eine -Nullmenge ist. Ist separabel, so existiert darüberhinaus ein Maß, welches diese Nullmengen charakterisiert. Sei dazu eine Orthonormalbasis von . Da eine stetige sesquilineare Abbildung ist, ist durch die abzählbar vielen Maße bestimmt. Sei nun
(1.35) |
Diese Reihe ist absolut konvergent (da ) und bestimmt damit ein positives Maß . Nach Konstruktion sind alle bezüglich dieses Maßes absolutstetig. Als Folgerung des Satzes von Radon–Nikodým ergibt sich
Wir verstehen als Dualraum zu und versehen ihn mit der schwach-* Topologie. Nach Konstruktion besteht gerade aus den Funktionen aus modulo -Nullfunktionen, was wiederum nach Konstruktion gerade die -Nullfunktionen sind. Die schwach-* Topologie auf ist nur von der Äquivalenzklasse von bezüglich gegenseitiger Absolutstetigkeit abhängig.
1.3.10 Satz (von Neumann, Riesz–Sz.-Nagy). Sei separabel und normal. Sei weiter die und erzeugte C*-Unteralgebra von und das zugeordnete Spektralmaß. Dann ist das meßbare Funktionalkalkül
(1.37) |
schwach-*–schwach stetig und bijektiv.
Beweis. Wegen Lemma 1.3.8 besteht der Nullraum des Funktionalkalküls gerade aus den meßbaren Funktionen mit für alle . Das sind aber nach Konstruktion gerade die -Nullfunktionen. Damit ist die angegebene Abbildung wohldefiniert und nach Satz 1.3.3 (2) gilt ebenso .
Weiter gilt
sowie und das Funktionalkalkül ist stetig. Es bleibt die Surjektivität zu zeigen. Dazu nutzen wir eine Idee von F. Riesz und B. Sz.-Nagy. Für sei der -zyklische Unterraum definiert als
(1.39) |
wobei der Einfachheit halber gesetzt wurde. Dann ist ein - und -invarianter Unterraum, ebenso . Da separabel ist, kann als orthogonale direkte Summe solcher Unterräume geschrieben werden, wir finden also eine (möglicherweise endliche) Folge mit
(1.40) |
Bezeichne den Orthogonalprojektor auf . Dann gilt sowie . Sei nun . Da mit kommutiert, ist jeder der Räume unter invariant.
Sei (absolut konvergent und) mit geeignet gewählten . Dann ist ebenso -invariant und nach Konstruktion existiert eine Folge von Polynomen mit
(1.41) |
für . Da damit aber eine Cauchyfolge in ist folgt
(1.42) |
und somit sind die Cauchyfolgen in . Also existiert ein mit
(1.43) |
Seien nun . Dann existieren Polynome mit und und damit folgt und, da kompakt ist, gilt insbesondere und konvergiert in all diesen Räumen gegen . Da stetig eingebettet ist, folgt
(1.44) |
für . Da mit allen kommutiert folgt für dieselbe Folge von Polynomen
(1.45) |
und damit Konvergenz von in allen und somit (1.44) für alle . Nach Konstruktion ist diese Menge dicht in . Wir zeigen, daß dies sogar für alle gilt. Sei dazu zu die Menge definiert. Diese ist borelmeßbar, also ist ein Orthogonalprojektor. Da mit und kommutiert, gilt und ebenso mit auch in allen , . Also gilt
(1.46) |
und da sowohl als auch beschränkt sind, gilt dies stetig fortgesetzt für alle . Insbesondere folgt damit (da für )
(1.47) |
und damit ist bezüglich aller Spektralmaße , , quadratintegrierbar. Also gilt insbesondere auch mit dem Satz über majorisierte Konvergenz
(1.48) |
für alle . Sei nun . Angenommen, wäre keine -Nullmenge. Dann gäbe es ein im Bild des Projektors . Da dann der Träger des Maßes in enthalten sein muß, folgt
(1.49) |
im Widerspruch zur Wahl von . □