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Sei ein Gebiet. Eine Funktion heißt holomorph auf , falls sie auf differenzierbar ist, es also zu jedem ein mit
(B.1) |
gibt. Sie heißt weiterhin analytisch auf , falls sie lokal um jeden Punkt durch eine konvergente Potenzreihe
(B.2) |
mit Koeffizienten dargestellt werden kann.
B.1.1 Lemma (Osgood1). Angenommen, ist stetig und besitzt in jedem Punkt in partielle komplexe Ableitungen , . Dann ist ist analytisch.
Beweis. Sei und seien Radien, so daß die abgeschlossene Polydisk
(B.3) |
in enthalten ist. Sei weiter . Dann impliziert partielle komplexe Differenzierbarkeit partielle Holomorphie und damit die Gültigkeit der Cauchyschen Integralformel
(B.4) |
Da wir über eine kompakte Menge integrieren, der Integrand als stetig vorausgesetzt wurde und für die geometrischen Reihen
(B.5) |
absolut konvergieren, folgt nach Vertauschen von Integration und Summation
(B.6) |
Damit ist analytisch. □
Die Stetigkeitsvoraussetzung ist dabei nicht nötig, um aus partieller Holomorphie die Holomorphie zu schließen. Das genau besagt der nachfolgend zitierte Satz von Hartogs.
B.1.2 Satz (Hartogs2). Angenommen, ist partiell komplex differenzierbar. Dann ist stetig.