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Sei separabler Hilbertraum und ein -wertiges Spektralmaß auf einem lokalkompakten Hausdorffraum . Sei weiter zu jeder beschränkten borelmeßbaren Funktion durch der Operator via (1.24) definiert. Dann gilt
A.3.1 Lemma. Es gibt eine (möglicherweise endliche) Folge von Vektoren mit , so daß
(A.1) |
als orthogonale direkte Summe gilt.
Beweis. Man startet mit einer in dichten Folge und normiert das erste von Null verschiedene Element. Dies liefert . Danach projiziert man die weiteren Folgenglieder auf und wählt das erste mit von Null verschiedener Projektion. Dies normiert liefert . Da gilt, folgt . Im Schritt projiziert man auf und normiert wiederum die erste von Null verschiedene Projektion. Etc. Das liefert die gesuchte Folge und nach Konstrution gilt . □
Das Lemma ist der Ausgangspunkt um folgendes Theorem zu beweisen. Wir schreiben falls . Gilt , so folgt und damit .
A.3.2 Satz (Hellinger1–Hahn). Sei separabel und ein -wertiges Spektralmaß. Dann existiert eine (möglicherweise endliche) Folge von Vektoren mit , so daß
Beweis. Teil 1: Der Beweis beruht auf einer summenerhaltenden Transformation zyklischer Unterräume. Nach Lemma A.3.1 existiert eine Folge mit
(A.2) |
und wir zeigen zuerst, daß es damit auch eine Folge gibt, so daß
(A.3) |
gilt und für alle erfüllt ist. Wir erlauben dabei Nullsummanden.
Schritt 1: Rekursive Zerlegung . Dazu sei und und . Nachdem konstruiert sind, sei
(A.4) |
Nach Konstruktion ist sowie . Sei nun die Dichtefunktion von bezüglich und für und für . Es gilt und damit erfüllen
(A.5) |
nach Konstruktion sowie .
Schritt 2: Regularisation. Sei nun definiert durch
(A.6) |
Die Reihe konvergiert in , da die Elemente paarweise orthogonal sind und gilt. Weiter ist nach Konstruktion . Es bleibt zu zeigen, daß auch gilt.
Da orthogonale Summe ist, folgt . Analog gilt wegen auch . Allerdings gilt hier auch die Umkehrung. Die Dichtefunktion erfüllt nach Konstruktion
(A.7) |
für alle . Also ist und ist gezeigt.
Schritt 3: Wir streichen alle und Normieren die verbleibenden. Wir nutzen wieder die Notation für die dabei entstehende Folge. Dann ergibt sich
(A.8) |
mit normierten Vektoren .
Teil 2: Für jedes wenden wir Teil 1 auf die Summe an und konstruieren auf diese Weise eine Folge mit
(A.9) |
mit normierten Vektoren . Damit folgt insbesondere für
(A.10) |
und damit die Behauptung. □
Wir bezeichnen eine Folge mit den Eigenschaften des Satzes A.3.2 als eine Hellinger–Hahn-Folge des Spektralmaßes . Da für und
(A.11) |
gilt, sind die zyklischen Unterräume kanonisch isomorph zu
(A.12) |
und die Hellinger–Hahn-Zerlegung liefert einen Isomorphismus für eine bezüglich Absolutstetigkeit geordnete Folge von Maßen. Es stellt sich die Frage, inwieweit die Hellinger–Hahn-Zerlegung eindeutig ist. Dazu schreiben wir , falls .
Beweis. Es sei die Projektion von auf . Dann gibt es insbesondere Funktionen mit . Weiter gilt wegen
(A.13) |
für die Radon–Nikodým-Dichten bezüglich
(A.14) |
als monotone (und damit konvergente) Reihe. Also existiert eine meßbare Dichtefunktion und . Wenn man die Rollen von und vertauscht, folgt insbesondere . Weiter gilt und die Reihe
(A.15) |
konvergiert nach dem Satz über die majorisierte Konvergenz gegen eine integrierbare Funktion. Wir zeigen, daß der Grenzwert fast überall gleich Null ist. Sei dazu borel. Gliedweise Integration liefert dann
unter Ausnutzung von .
Angenommen, wir haben schon gezeigt, daß für alle gilt. Sei nun eine Nullmenge bezüglich . Angenommen, ist keine Nullmenge bezüglich , dann gilt für die Dichtefunktionen von bezüglich und von bezüglich sowohl f.ü. auf für alle und es existiert eine Nichtnullmenge mit für alle . Also gilt auf
für . Wir betrachten ein . Damit sind die Vektoren
(A.19) |
normiert und paarweise orthogonal. Widerspruch. □
Wir bezeichnen zwei Spektralmaße und auf mit Werten in und als unitär äquivalent, falls es einen unitären Operator mit
(A.20) |
für alle gibt.
A.3.4 Korollar (Hellinger–Hahn). Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
Beweis. Angenommen, die Spektralmaße sind unitär äquivalent. Dann ist ebenfalls eine Hellinger–Hahn-Folge für und das gerade gezeigte Korollar liefert die Behauptung. Für die Rückrichtung nutzt man die nach Voraussetzung unitären Abbildungen
(A.21) |
und setzt sie auf fort. Nach Konstruktion liefert dies eine Äquivalenz der Spektralmaße. □