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Sei im folgenden ein kompakter Hausdorffraum, der Raum der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf .
A.2.1 Satz (Stone-Weierstraß). Sei eine *-Unteralgebra mit Eins, die punktetrennend auf ist. Dann ist dicht in .
Beweis. Es bezeichne den Annihilator von , also die Menge aller , so daß für alle gilt. Wir definieren
(A.1) |
dann ist konvex (als Schnitt eines Unterraums mit einer Kugel) und schwach*-kompakt (nach dem Satz von Alaoglu). Ist , so ist , also . Wir nehmen also an, daß gilt. Sei ein extremaler Punkt, welcher nach Lemma A.1.2 existiert. Dann gilt offenbar . Weiter sei der Träger von . Dieser ist als abgeschlossene Teilmenge von kompakt und es gilt . ist offenbar die kleinste Menge mit diesen beiden Eigenschaften. Wir wählen ein mit für alle und definieren
(A.2) |
Weil eine Algebra ist, gilt . Weiter gilt wegen auf auch und . Wir können berechnen:
(A.3) |
Es folgt, daß eine konvexe Kombination von und ist, welche beide in enthalten sind. Da Extremalpunkt ist, gilt aber , also und damit für alle . Sei nun und nehme auf nur reelle Werte an. Hat eine Nullstelle in , so existiert wegen Kompaktheit von eine Konstante , so daß . Wegen ist . Wegen Kompaktheit von existiert weiter eine Konstante , so daß . Nach der obigen Rechnung folgt, daß und damit konstant (auf E) ist. Hätte zwei verschiedene Elemente , so würde, da punktetrennend ist, ein existieren mit . Da *-Unteralgebra ist, sind . Da aber oder gilt, gäbe es eine auf nicht konstante, reellwertige Funktion in . Ein Widerspruch. Also ist einelementig und somit mit und einer Konstanten . Aber mit folgt . Ein Widerspruch zu . Also ist der Fall nicht möglich und der Satz bewiesen. □