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Es sei im folgenden ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und . Ein Randpunkt heißt Extremalpunkt, wenn es keine zwei Punkte gibt, so daß und für ein . Die Menge der Extremalpunkte von bezeichnen wir mit . Eine nichtleere Teilmenge heißt extremal, wenn für zwei Elemente , deren Verbindungsstrecke
(A.1) |
erfüllt, bereits gilt. Eine kompakte extremale Teilmenge von heißt minimale kompakte extremale Teilmenge von , wenn sie keine echten kompakten, extemalen Teilmengen enthält. Bevor wir den Satz von Krein–Milman beweisen, benötigen wir zwei Lemmata.
Beweis. Wir nehmen an, enthält zwei verschiedene Punkte . Dann existiert nach Hahn–Banach ein , so daß verschiedene Werte auf und annimmt. Sei . Wegen Kompaktheit von ist die Menge
(A.2) |
nicht leer und es gilt , da auf unterschiedliche Werte annimmt. Wegen Stetigkeit von ist eine abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge und damit selbst kompakt. Wir zeigen, daß extremal in (und damit auch in ) ist, was der Minimalität von widerspricht. Seien mit . Dann gibt es ein mit
Nach Definition von gilt , . Ist eine Ungleichheit strikt, so erhält man in der obigen Gleichung den Widerspruch . Also gilt und damit , was zeigt, daß extremal in ist. □
Beweis. Sei die Familie aller kompakten, extremalen Teilmengen von . Diese ist wegen nicht leer und mit der Mengeninklusion partiell geordnet. Sei eine Kette, dann ist eine nicht leere, kompakte, extremale Menge in , die zur Familie gehört und eine untere Schranke für ist. Nach dem Lemma von Zorn hat folglich ein minimales Element, welches nach Lemma A.1.1 die Form für ein . hat also den Extremalpunkt . □
Beweis. Es sei . Dann ist nach Lemma A.1.2 und folglich nichtleer, konvex und abgeschlossen. Wir nehmen an, daß ein existiert, welches nicht in enthalten ist. Nach dem Trennungssatz von Hahn–Banach, Beweis in der Funktionalanalysis, existiert dann ein mit , wobei . Wir definieren
(A.4) |
Dann ist (analog zum Beweis von Lemma A.1.1) extremal in sowie nicht leer und abgeschlossen, also als Teilmenge von kompakt. Nach Lemma A.1.2 existiert folglich ein Extremalpunkt . Weil extremal in ist, ist Extremalpunkt von und es gilt . Wir erhalten
(A.5) |
Ein Widerspruch. □