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1.2.1 Definition. Sei kommutative Banachalgebra. Eine Unteralgebra heiß Ideal der Algebra , falls
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Das Ideal heißt eigentlich, falls gilt. Ein eigentliches Ideal heißt maximal, falls für jedes eigentliche Ideal mit schon gilt. Die Menge der maximalen Ideale der Algebra wird als Spektrum der Algebra und mit bezeichnet.
1.2.2 Beispiel. Sei . Dann ist
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ein abgeschlossenes Ideal in . Ist und , so ist das Ideal maximal (da es algebraisch die Kodimension 1 besitzt).
1.2.3 Proposition. Sei kommutative Banachalgebra mit Eins und sei ein eigentliches Ideal. Dann gilt
Beweis. [1] klar. [2] die Menge der invertierbaren Elemente ist offen, es existiert also eine Umgebung von die nicht schneidet. Damit ist der Abschluß von verschieden von . Die Idealeigenschaft ist offensichtlich. [3] Anwendung des Zornschen Lemmas. [4] folgt aus [2]. □
1.2.4 Lemma. Sei kommutative Banachalgebra mit Eins und ein maximales Ideal. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes mit .
Beweis. Da jedes maximale Ideal abgeschlossen ist, ist eine Banachalgebra. Bezeichne die kanonische Projektion. Da maximal ist, ist in der Quotientenalgebra jedes von Null verschiedene Element invertierbar (andernfalls würden im Quotienten nichttriviale Ideale existieren deren Urbild unter Ideale sind, welche enthalten). Damit ist nach dem Satz von Gelfand–Mazur aber und der gesuchte Homomorphismus.
Ist ein anderer Homomorphismus mit , so induziert dieser einen Isomorphismus auf dem Quotienten. Wegen folgt . □
Im folgenden identifizieren wir die Elemente von mit ihren erzeugenden Homomorphismen aus ,
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1.2.5 Lemma. Sei für eine Banachalgebra mit Eins. Dann gilt
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und ist eine schwach-* abgeschlossene Teilmenge der abgeschlossenen Einheitskugel von . Versehen mit der induzierten Topologie ist damit ein kompakter Hausdorffraum.
Beweis. Ist invertierbar, so folgt und damit . Da für alle mit aber invertierbar ist, folgt
für alle solchen und insbesondere .
Da schwach-* abgeschlossen in und enthalten in der Einheitskugel von ist, ist nach dem Satz von Alaoglu schwach-* kompakt ist. Also wird zu einem kompakten Hausdorffraum. □
Ist separabel, so ist die schwach-*-Topologie auf von abzählbar vielen Seminormen erzeugt und damit metrisierbar.
1.2.6 Definition. Sei kommutative Banachalgebra mit Eins. Dann ist die Gelfandtransformation
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definiert durch
(1.6) |
Wir bezeichnen im folgenden kurz als .
1.2.7 Satz (Gelfand). Sei kommutative Banachalgebra mit Eins und . Dann gilt
Beweis. [1] klar. [2] Das Element ist nicht invertierbar genau dann, wenn das von erzeugte Ideal eigentlich ist. Das gilt genau dann, wenn es in einem maximalen Ideal enthalten ist. Das ist aber äquivalent dazu, daß und ist nicht in invertierbar. [3] folgt direkt aus [2], da . [4] folgt aus [3] zusammen mit der Inklusion . Es gilt
□
Wir geben drei konkrete Beispiele zu diesem Satz.
1.2.8 Beispiel. Für die Algebra , kompakter Hausdorffraum, ist die Menge der maximalen Ideale gerade durch für gegeben. Daß jedes ein maximales Ideal ist ist klar, es bleibt zu zeigen, daß jedes von dieser Form ist. Sei also eigentliches Ideal. Angenommen, ist in keinem der enthalten. Dann gibt es zu jedem ein mit . Da nun die Mengen den Raum überdecken, existiert wegen der Kompaktheit von eine endliche Teilüberdeckung. Wir finden also ohne gemeinsame Nullstelle. Dann ist aber invertierbar. Widerspruch!
Damit kann das Spektrum der Algebra (als Menge) mit den Punkten aus identifiziert werden und die Gelfandtransformation ist die identische Abbildung. Es gilt noch mehr: Die Abbildung ist schwach-* stetig, da für jedes stetige die Zuordnung stetig ist. Also ist bijektiv und stetig zwischen den Kompakta und und damit ein Homöomorphismus.
1.2.9 Beispiel. Wir betrachten nun die Faltungsalgebra . Diese ist erzeugt von den Folgen und . Damit ist jedes Element eindeutig durch seinen Wert am Erzeuger bestimmt und die (schwach-*) stetige Abbildung
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injektiv, also nach Satz 1.2.7 (3) auch bijektiv und damit homöomorph. Da Faltung mit gerade einem Shiftoperator auf dem entspricht, ist und wir können das Spektrum der Faltungsalgebra mit dem Einheitskreis identifizieren.
Zu jedem existiert also ein mit . Damit folgt für beliebiges wegen
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aber
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Die Gelfandtransformation entspricht also gerade der Zuordnung der Fourierreihe. Damit ergibt Punkt (2) aus Satz 1.2.7 aber
Korollar (Wiener4-Lemma). Angenommen, die durch die absolut summierbare Fourierreihe
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dargestellte Funktion besitzt keine Nullstellen. Dann gilt
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als absolut summierbare Fourierreihe mit entsprechenden Koeffizienten .
1.2.10 Beispiel. Der Folgenraum wird mit dem Cauchyprodukt
(1.12) |
ebenfalls zu einer kommutativen Banachalgebra. Obwohl es sich um eine Unteralgebra des handelt, ist eine eigenständige Betrachtung sinnvoll. Sei dazu wiederum und , dann ist das Einselement in und die Algebra von und erzeugt. Jedes ist durch seinen Wert an der Stelle eindeutig bestimmt. Allerdings entspricht die Faltung mit nun dem Rechtsshift in und besitzt damit das Spektrum . Analog zum vorigen Beispiel entspricht also jedem ein eindeutig bestimmter Homomorphismus mit
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und es ergibt sich für
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Damit bildet die Gelfandtransformation die Algebra auf in holomorphe und auf stetige Funktionen ab. Das Bild von ist die Wiener-Algebra
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Punkt (2) aus Satz 1.2.7 ergibt wiederum eine Variante des Wiener-Lemmas. Jedes Element in ohne Nullstellen und Nullrandwerte ist in invertierbar.
Korollar (Wiener-Lemma). Sei . Angenommen, die auf analytische und stetige Funktion
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besitzt keine Nullstellen auf . Dann existiert mit , also
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In diesem Fall ist das Bild der Gelfandtransformation offenbar nicht dicht in .
In gewissen Fällen ist die Gelfandtransformation bijektiv. Zur Vorbereitung einer entsprechenden Aussage benötigen wir ein Dichtheitsresultat, welches den bekannten Approximationssatz von Weierstrass verallgemeinert.
1.2.11 Satz (Stone5–Weierstraß). Sei kompakter Hausdorffraum und eine -Unteralgebra mit Eins, welche Punkte auf trennt, d.h., für mit existiert ein mit . Dann ist dicht in .
Beweis. vgl. Kantorovitz, Satz 5.38 und Satz 5.39. □
Beweis. Anwendung des Satzes von Stone–Weierstrass auf das Bild . Dabei handelt es sich offenbar um eine -Unteralgebra. Weiter gibt es für mit auch ein mit und die -Unteralgebra ist punktetrennend. □
Das folgende Lemma liefert ein Kriterium dafür, daß die Gelfandtransformation ein -Homomorphismus ist.
Beweis. [1] Es genügt die Rückrichtung. Jedes ist als Summe mit und schreibbar. Da dann und gilt, folgt
und damit die Behauptung. [2] Sei mit und . Sei weiter mit . Betrachtet man nun , , so folgt und damit
Damit ist aber für alle und somit . Mit [1] folgt nun die Behauptung. □
Insbesondere haben wir in (2) gezeigt, daß für eine C*-Algebra mit Eins stets
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gilt. Das wird im folgenden Abschnitt noch benötigt werden. Vorerst das Hauptresultat: kommutative -Algebren mit Eins sind nichts anderes als Algebren stetiger Funktionen auf einem Kompaktum.
1.2.14 Satz (Gelfand–Naimark6). Sei kommutative C*-Algebra mit Eins. Dann ist die Gelfandtransformation ein isometrischer -Isomorphismus von auf .
Beweis. Nach Satz 1.2.7, Lemma 1.2.13 und Korollar 1.2.12 ist die Gelfandtransformation ein *-Homomorphismus mit dichtem Bild. Es genügt, die Isometrie zu zeigen. Sei und . Wegen
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folgt per Induktion und somit nach Satz 1.2.7 (3) und der Formel für den Spektralradius . Also gilt
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und die Gelfandtransformation ist isometrisch. Insbesondere ist injektiv und besitzt ein abgeschlossenes Bild, welches mit übereinstimmen muß. □