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5.4.1. Zum Schluß soll der gerade entwickelte Formalismus genutzt werden, um noch Funktionen des sowie Operatoren auf genauer zu analysieren. Ein erster Schritt sind Phasenraumdarstellungen; diese ordnen (Paaren von) Funktionen auf eine Funktion auf zu. Die erste ist uns schon begegnet:
Die Fourier–Wigner-Verteilung zweier Funktionen entsprach Matrixkoeffizienten der Schrödingerdarstellung. Es gilt
(5.1) |
Die Zuordnung ist sesquilinear, erfüllt die Moyalidentität und liefert damit eine unitäre Abbildung .
5.4.2. Die Wignerverteilung entspricht der symplektischen Fouriertransformation der Fourier–Wigner-Verteilung. Genauer, es gilt
(5.2) |
Die zugeordnete quadratische Wignerverteilung ist reellwertig, aus folgt für ein mit und sie erfüllt
(5.3) |
sowie (wegen )
(5.4) |
Damit kann man sich als eine Art Dichtefunktion vorstellen, welche die Verteilung von auf Orte und Frequenzen beschreibt. Die Vorstellung hat allerdings ein Problem, ist im allgemeinen nicht positiv! Für ungerade ist .
5.4.3 Satz (Hudson8). Angenommen, mit erfüllt für alle und . Dann gilt
(5.5) |
für eine selbstadjungierte Matrix , mit positiv definit, einen Vektor und eine Zahl .
Beweis. Für sei . Dann gilt
(5.6) |
so daß wegen (und nicht identisch verschwindend) sowie der Moyalidentität
(5.7) |
für alle gilt. Damit ist aber
(5.8) |
eine nirgends verschwindende ganze Funktion des . Es gibt also eine ganze Funktion ,
(5.9) |
(Integration z.B. über den Strahl von nach ) mit . Da aber
(5.10) |
gilt, folgt . Sei nun die Potenzreihendarstellung zu und für festes und durch . Dann gilt
(5.11) |
und somit (da die rechte Seite ja eine Fourierreihe ist)
Also gilt
und für muß gelten. Damit ist ein quadratisches Polynom; die weiteren Bedingungen ergeben sich aus sowie . □
Allerdings gilt eine Positivität im Mittel. Sei dazu
(5.15) |
Dann gilt die Halbgruppeneigenschaft für die Faltung auf . Damit folgt nun
Beweis. Wegen der Halbgruppeneigenschaft impliziert (1) schon (2). Für (3) genügt ein Beispiel, so gilt für und stets . Es bleibt (1) zu zeigen. Dazu nutzen wir den Gaußkern mit
(5.16) |
Dann gilt
unter Ausnutzung der Fourierschen Inversionsformel und mit der Substitution zu . Im letzten Schritt wurde sowie genutzt. □
5.4.5. Die Weyltransformation einer Funktion ist der Operator
(5.18) |
Sie erfüllt sowie
(5.19) |
speziell für ist die quadratische Form des Operators also durch
(5.20) |
gegeben. Weyloperatoren gehören damit zur Wignerverteilung als Phasenraumdarstellung. Man kann (5.19) nutzen, um die Weyltransformation für Distributionen zu definieren, dann allerdings für . Umgekehrt besitzt jeder (unbeschränkte) Operator, dessen Definitionsbereich die Schwartzfunktionen enthält, ein distributionelles Weylsymbol.
5.4.6. Eine zweite Phasenraumdarstellung erhält man durch die Bargmanntransformation. Dazu ebenso ein zugehöriger Operator. Wir erinnern, daß die Operatoren und auf über die Bargmanntransformation den Operatoren und auf entsprachen. Damit kann man jeden Differentialoperator auf dem mit polynomialen Koeffizienten in der Form
(5.21) |
oder in der Form
(5.22) |
schreiben. Die Summen sind jeweils endlich. Das kann man zum Ausgangspunkt nehmen um allgemeiner Polynomen Operatoren dieser Form zuzuordnen. Da obige Zuordnungen beide zum Polynom passen, sind diese zu unterscheiden. Wir bezeichnen den ersten als Wickoperator9 und den zweiten als Anti-Wickoperator . Da wir wie oben statt Polynomen wieder allgemeine Funktionen nutzen wollen, sollen die Operatoren als Integraloperatoren dargestellt werden. Dazu nutzen wir die Bargmanntransformation und betrachten die Operatoren auf dem Bargmannraum . Dann gilt für und
(5.23) |
sowie analog für
(5.24) |
Da das unhandlich aussieht nutzen wir die Darstellung mit reproduzierendem Kern
(5.25) |
und erhalten
(5.26) |
für Wickoperatoren sowie
(5.27) |
im Antiwickfall. Man sieht, daß sich die so erhaltenen Operatoren durchaus unterscheiden!
5.4.7 Lemma. Sei beschränkt. Dann besitzt die Darstellung
(5.28) |
mit dem Wicksymbol . Das Wicksymbol ist ganz auf und eindeutig durch seine Einschränkung bestimmt.
Beweis. Die Aussage ergibt sich direkt aus dem Kernsatz (Proposition 5.3.2) auf . □
Die Aussage dieses Lemmas gilt auch für unbeschränkte Operatoren, solange die reproduzierenden Kerne für alle zum Definitionsbereich des Operators und seines adjungierten gehören. Damit gibt es eine Bijektion zwischen Operatoren und Wicksymbolen. Im Falle von Anti-Wickoperatoren ist dies anders, nicht jeder Operator besitzt ein Antiwicksymbol. Sei dazu beschränkt und meßbar, so kann man den Anti-Wickoperator
(5.29) |
zuordnen (man schreibt um die nicht-Holomorphie der Funktion zu betonen). Dieser entspricht der Projektion der Funktion auf den Teilraum der holomorphen Funktionen in und ist damit Beispiel eines Toeplitzoperators. Solche Operatoren besitzen eindeutig bestimmte Symbole:
5.4.8 Lemma. Angenommen, für zwei beschränkte meßbare Funktionen und gelte . Dann gilt fast überall.
Beweis. Die Zuordnung des Anti-Wickoperators ist linear. Damit genügt es zu zeigen, daß aus schon f.ü. folgt. Ersteres ist aber dazu äquivalent, daß für jedes die Funktion im Raum erfüllt. Das heißt aber, daß für alle Multiindizes und
(5.30) |
gelten muß. Allerdings gilt , wie aus der Konstruktion der Hermitefunktionen als Basis von folgt. Damit folgt fast überall. □
Das gerade gezeigte Lemma gilt natürlich auch für unbeschränkte Anti-Wickoperatoren, falls für ein gilt. Damit kann man einem Operator , welcher ein Anti-Wicksymbol besitzt, dieses eindeutig zuordnen. Wir bezeichnen dies mit . Es stellt sich die Frage, welche Operatoren Anti-Wicksymbole besitzen. Das sind recht wenige.
Beweis. Erfolgt durch Nachrechnen. Zuerst zu (1); es gilt für das Wicksymbol nach Lemma 5.4.7
da der Ausdruck in Klammern gerade das Innenprodukt darstellt. Analog ergibt sich im Falle von (2)
wegen für den Gaußkern und die Schrödingerdarstellung sowie der Kovarianzeigenschaft der quadratischen Wignerverteilung. Mit
(5.35) |
folgt die Behauptung. □
Ein Operator, welcher ein Anti-Wicksymbol besitzt, besitzt damit notwendigerweise das Weylsymbol
(5.36) |
welches damit Einschränkung einer ganzen Funktion des auf den ist. Trotz allem sind Anti-Wickoperatoren schön, für diese ist selbstadjungiert und positiv definit, falls als Funktion positiv und reellwertig ist. So einfache Kriterien gelten weder für Weyl- noch für Wickoperatoren.