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Der Bargmannraum besitzt als Hilbertraum analytischer Funktionen einige bemerkenswerte Eigenschaften. So ist die Punktauswertung stetig und der Raum mit einem reproduzierenden Kern ausgestattet. Das erlaubt insbesondere die effektive Berechnung von Operatoren.
Beweis. [1] folgt durch Nachrechnen. Es gilt für
unter Nutzung von Polarkoordinaten in jeder Kopie von . Analog folgt für
(5.5) |
und damit die Orthonormalität. Es gilt mehr, sei und
(5.6) |
Dann ist nach obiger Rechnung die Familie ein Orthonormalsystem in , die zugeordneten Orthogonalreihen entsprechen wiederum Taylorreihen. Für jedes konvergiert die Taylorreihe gleichmäßig auf gegen und somit insbesondere in . Also folgt mit der Parsevalidentität für solche
(5.7) |
Für konvergiert die linke Seite gegen und die rechte Seite mit und dem Satz über monotone Konvergenz gegen
(5.8) |
Damit ist Orthonormalbasis. [2] die Konvergenz der Taylorreihen ergibt sich direkt aus dem soeben bewiesenen. Für die punktweise Abschätzung nutzen wir Cauchy–Schwarz
unter Ausnutzung des multinomischen Lehrsatzes
(5.10) |
[3] folgt aus [2] bis auf die Bestimmung des reproduzierenden Kerns . Diesen erhält man durch Entwicklung bezüglich der Basis,
analog zu obiger Rechnung unter Punkt [2]. Weiterhin gilt
(5.12) |
Die Funktion wird als reproduzierender Kern des Hilbertraumes bezeichnet. Er entspricht auch dem Integralkern des Orthogonalprojektors . In besitzt jeder beschränkte Operator einen analytischen Integralkern:
5.3.2 Proposition (Kernsatz). Sei stetiger linearer Operator und . Dann ist analytisch auf und es gilt
Beweis. Nach Proposition 5.3.1 (3) gilt und damit
(5.14) |
Weiterhin gilt
(5.15) |
und (3) ist gezeigt. Weiterhin ist nach Konstruktion holomorph in und (da antiholomorph in ist) auch in , Hartogs’ Theorem impliziert damit Holomorphie auf . Ebenso folgt (1). Die Abschätzung (2) folgt aus (5.12) und der Ungleichung von Cauchy–Schwarz
(5.16) |
Holomorphie impliziert (4), genauer: Sei mit und . Dann ist ganz auf und durch die Werte für reelle , eindeutig (z.B. durch seine Taylorreihe) bestimmt. Nun sind aber und genau dann reell, wenn . □
5.3.3. Die Heisenberggruppe agiert auf durch
(5.17) |
Damit ergibt sich speziell für den reproduzierenden Kern
(5.18) |
Insbesondere folgt, daß alle im Bild der Bargmanntranformation sind. Damit folgt insbesondere die Irreduzibilität von auf sowie die Surjektivität der Bargmanntransformation.
5.3.4. Zurück zur Bargmanntransformation. Diese kann kurz mit dem Bargmannkern
(5.19) |
als
(5.20) |
geschrieben werden. Da sie unitär ist, ergibt sich als Inversionsformel für mit für ein
(5.21) |
Für allgemeines ist die Inversionsformel schwach zu verstehen,
(5.22) |
Die Bargmanntransformation ist interessant zur Untersuchung von Differentialoperatoren. Dazu betrachten wir auf die Operatoren
(5.23) |
Wegen und mit dem Multiindex mit einer an Position und sonst Null werden diese auch als Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren bezeichnet. Sie sind formal zueinander adjungiert,
wobei wir die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen in der Form und genutzt haben. Da weiterhin gilt, folgt für mit
(5.25) |
und somit
(5.26) |
Damit besitzen und den gemeinsamen Definitionsbereich
(5.27) |
und sind versehen mit diesem zueinander adjungiert. Weiterhin gilt
für alle mit . Damit entsprechen Differentialoperatoren mit polynomialen Koeffizienten auf dem wiederum Differentialoperatoren mit polynomialen Koeffizienten auf .
5.3.5 Beispiel. Eine einfache Anwendung des gerade gezeigten ist die Konstruktion der Hermitefunktionen. Diese sind als
(5.30) |
definiert und bilden damit eine Orthonormalbasis des . Es gilt sowie
(5.31) |
Damit gilt für den Bargmannkern
(5.32) |
Da die Basisfunktionen die Identität
(5.33) |
für sowie erfüllen, sind die Hermitefunktionen insbesondere Eigenfunktionen des Operators
zum Eigenwert
(5.35) |
Der Operator (5.34) wird (bis auf Normierung und mit dem offensichtlichen Definitionsbereich) als harmonischer Oszillator bezeichnet.