] >
Im folgenden sollen alle irreduziblen Darstellungen der Heisenberggruppe konstruiert werden. Wir folgen dabei nicht dem Originalbeweis von Stone und von Neumann sondern den Arbeiten von Mackey2 (die sich auf viele andere Gruppen verallgemeinern lassen). Die Konstruktion basiert auf der Hellinger–Hahn-Zerlegung von Spektralmaßen sowie folgendem elementaren Lemma.
5.2.1 Lemma. Sei ein positives endliches Radonmaß auf einer Gruppe und gelte für alle . Dann ist absolutstetig bezüglich des Haarmaßes von .
Beweis. Die folgende Beweisidee geht auf L. Loomis3 zurück. Sei o.B.d.A. . Sei eine Borelmenge. Dann ist
(5.1) |
und, da borelsch ist, auch mit dem Satz von Fubini
(5.2) |
Somit ist (und ) genau dann eine Nullmenge bezüglich des Haarmaßes, wenn für fast alle Null ist. Nach Voraussetzung sind das aber gerade -Nullmengen. □
5.2.2. Ist eine unitäre Darstellung der Heisenberggruppe in einem separablen Hilbertraum , so liefert die Einschränkung von auf das Zentrum eine unitäre Darstellung von in . Also existiert ein Spektralmaß auf , so daß
(5.3) |
gilt. Da gilt, folgt für jede Borelmenge . Ist irreduzibel, so impliziert das für ein .
Darstellungen zu verschiedenen sind nicht äquivalent. Im folgenden konstruieren wir zu jedem alle irreduziblen Darstellung mit .
5.2.3 Satz (Stone–von Neumann). Sei eine irreduzible unitäre Darstellung der Heisenberggruppe . Dann gilt bis auf unitäre Äquivalenz entweder
Beweis. Erster Fall: . Da in diesem Fall gilt und kommutiert, handelt es sich um eine irreduzible Darstellung des und es folgt sowie für .
Zweiter Fall: . Es sei das Spektralmaß der Darstellung , . Dann gilt
(5.5) |
und wegen
folgt
und damit .
Wir ersetzen durch das kanonische Modell bezüglich des Spektralmaßes ,
(5.8) |
wobei , die spektrale Vielfachheit und das dominante Maß ist. Nach obiger Rechnung gilt
(5.9) |
Damit existiert nach Lemma 5.2.1 eine Dichtefunktion von bezüglich des Lebesguemaßes, gilt und insbesondere auch ; wir können das kanonische Modell also durch
(5.10) |
ersetzen. Weiter agiert auf durch Multiplikation,
(5.11) |
und durch Translation um ,
(5.12) |
Also agiert auf jedem einzelnen Summanden des kanonischen Modells. Wegen Irreduzibilität folgt und somit sowie
(5.13) |
und damit die Behauptung. □
5.2.4. Die endlichdimensionalen Darstellungen sind eher uninterressant und werden im folgenden keine Rolle spielen. Für die unendlichdimensionalen Darstellungen der Heisenberggruppe schreiben wir
(5.14) |
Diese werden als Schrödingerdarstellungen4 von bezeichnet. Der Parameter entspricht dem Planckschen Wirkungsquantum der Quantenmechanik. Im folgenden werden wir Variablen in mit Großbuchstaben bezeichnen und schreiben somit kurz für .
Bevor wir weitere Aussagen beweisen, fassen wir zuerst einige wichtige Formeln zusammen.
(5.15) |
(5.16) |
von positivem Typ auf und normiert. Sie wird als quadratische Fourier–Wigner-Verteilung5 von zum Parameter bezeichnet. Wir beschränken uns auf den Fall . Einsetzen der Definition der Schrödingerdarstellung liefert dann für
die -Abhängigkeit wird oft ignoriert und stattdessen betrachtet. Eng dazu verwand sind die Matrixkoeffizienten der Darstellung,
(5.18) |
mit expliziter Form
(5.19) |
Wiederum beschränkt man sich oft auf den Fall und definiert . In diesem Fall gilt die Moyal-Identität6
(5.20) |
(welche direkt aus der Plancherel-Identität der Fouriertransformation folgt) sowie die Abschätzung
(5.21) |
Die stetige Fortsetzung ist unitär und wird als Fourier–Wigner-Transformation bezeichnet.
(5.22) |
Es gilt mit . Verwandt dazu ist die nichtkommutative Fouriertransformation, wir definieren
(5.23) |
und geben wiederum der Vollständigkeit halber eine explizite Formel dafür an. Es gilt für und
und ist ein Integraloperator mit Integralkern
(5.25) |
Für das folgende benötigen wir den Schwartzraum auf der Heisenberggruppe; wir bezeichnen eine Funktion als Schwartzfunktion, falls sie als Funktion auf Schwartz ist.
5.2.5 Satz (Plancherel-Identität). Sei . Dann ist Hilbert–Schmidt für alle , es gilt die Inversionsformel
(5.26) |
sowie
(5.27) |
Die stetige Fortsetzung der Fouriertransformation liefert einen isometrischen Isomorphismus
(5.28) |
Beweis. Ist eine Schwartzfunktion, so ist der Integralkern des Operators ein Schwartzfunktion auf , der Operator ein Spurklasseoperator. Wir berechnen zuerst den Operator ; es gilt
mit der Substitution , also und für die neue Funktion . Für Schwartzfunktionen besitzt dieser ebenso eine Schwartzfunktion als Integralkern und es gilt
mit und unter Ausnutzung der Fourierschen Inversionsformel sowie
(5.31) |
Zusammengefaßt ergibt das (5.26). Weiterhin folgt aus dem Satz von Plancherel für die Fouriertransformation des
mit der Fouriertransformation in der -ten und -ten Komponenten und damit die Identität (5.27). □
5.2.6. Bis jetzt haben wir die Darstellungen von im Hilbertraum realisiert. Es gibt gute Gründe den Hilbertraum zu wechseln und statt dessen die Heisenberggruppe auf dem Bargmannraum7
(5.33) |
agieren zu lassen. Dabei bezeichnet die Menge der auf ganz analytischen Funktionen und , , das Lebesguemaß auf . Weiter sei für die holomorphe Fortsetzung des Innenprodukts auf auf ganz . Einen ersten Zusammenhang zur Schrödingerdarstellung liefert die Bargmanntransformation. Sei dazu
(5.34) |
die normierte Gaussfunktion, . Dann ist auf Grund der Moyalidentität eine Isometrie. Wegen
und der lokal-gleichmäßigen Konvergenz bezüglich und der damit offenkundigen Analytizität des Integrals ist
(5.36) |
eine Isometrie von in . Wir werden noch zeigen, daß diese surjektiv ist. Die Schrödingerdarstellung kann dadurch auf den Bargmannraum übertragen werden, es gilt mit und
mit und . Will man wiederum allgemeine Schrödingerdarstellungen zu betrachten, so wählt man für den Bargmannraum aller ganzen Funktionen auf mit
(5.38) |
und für den Raum aller antiholomorphen Funktionen auf mit derselben Schranke. Im folgenden betrachten wir nur den Fall .