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5.1.1 Definition. Sei ein Vektorraum über und eine Bilinearform. Dann heißt symplektisch, falls
Ein Vektorraum mit einer symplektischen Form heißt symplektischer Vektorraum. Ein lineare Abbildung zwischen zwei symplektischen Vektorräumen heißt symplektisch, falls
(5.1) |
für alle gilt.
5.1.2 Beispiel. Ein (sehr allgemeines) Beispiel ist das folgende. Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über und sein Dual. Dann definiert
(5.2) |
eine symplektische Form auf dem Produktraum .
5.1.3 Proposition. Sei ein endlichdimensionaler symplektischer Vektorraum. Dann ist und es existiert ein symplektischer Isomorphismus von auf versehen mit der symplektischen Form (5.2).
Beweis. Der Beweis beruht auf der Konstruktion einer symplektischen Basis in . Sei dazu ein Vektor. Da nichtentartet ist, existiert insbesondere ein mit . Da gilt, ist zweidimensional. Sei nun
(5.3) |
das symplektische Komplement von . Dann gilt , da jedes
(5.4) |
erfüllt, und , da für jedes
(5.5) |
gilt. Weiterhin ist die Einschränkung von auf wiederum symplektisch. Angenommen, ein erfüllt für alle . Das impliziert mit Linearität für alle und alle und damit .
Da gilt, liefert das Verfahren nach endlich vielen Schritten den trivialen Vektorraum und wir haben eine Basis von mit
(5.6) |
für alle . □
5.1.4 Lemma. Sei ein symplektischer Vektorraum. Dann definiert
(5.7) |
eine Gruppenstruktur auf mit neutralem Element und Inversenbildung .
Beweis. Erfolgt durch Nachrechnen, die Assoziativität folgt aus
während die Eigenschaften des neutralen Elements offensichtlich sind. Die Inversion folgt aus
(5.9) |
unter Ausnutzung von . □
Die so konstruierte Gruppe wird als zu zugeordnete Heisenberggruppe1 bezeichnet. Das kanonische Modell endlichdimensionaler symplektischer Vektorräume liefert die Familie der (symmetrischen) Heisenberggruppen
(5.10) |
mit der Operation
(5.11) |
dem neutralen Element und dem Inversen . Versehen mit der Topologie des handelt es sich um eine lokalkompakte topologische Gruppe. Sie ist unimodular und das Haarmaß durch das Lebesguemaß gegeben.
5.1.5. Auf dem betrachten wir die beiden Darstellungen
(5.12) |
und
(5.13) |
des . Diese erfüllen die Kommutatorrelation
(5.14) |
kommutieren also bis auf den skalaren Phasenfaktor . Die Struktur der Heisenberggruppe ist so gewählt, daß eine Darstellung exstiert, welche sowohl die Translationen als auch die Modulationen enthält. Wie man leicht nachrechnen kann, ist mit
(5.15) |
eine unitäre Darstellung von in ,
mit und .
1Werner Heisenberg, 1901–1976