] >
4.4.1. Im folgenden soll die linksreguläre Darstellung von auf
(4.1) |
betrachtet werden. Nach Satz 4.1.4 zerfällt diese in irreduzible Darstellungen. Zur Konstruktion dieser nutzen wir eine ähnliche Idee wie im Beispiel 4.2.9 und betrachten Polynome
(4.2) |
Dann gilt für jedes .
Proposition. Sei fixiert (der Nordpol der Sphäre) und bezeichne
(4.3) |
den Stabilisator von . Dann gilt
Wir versehen mit dem normierten Haarmaß. Weiter sei für eine Funktion
(4.4) |
die zugeordnete zonale Funktion. Diese erfüllt
(4.5) |
Solche Funktionen sind innerhalb von im wesentlichen eindeutig bestimmt.
Beweis. Angenommen, für ein wäre . Dann wäre und somit endlichdimensional. Andererseits ist nach Stone-Weierstraß dicht in . Widerspruch. Damit ist für nichttrivial und wir finden ein Element mit . Die zugeordnete Funktion erfüllt das gesuchte.
Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Dazu sei zuerst durch definiert. Schränkt man auf den Schnitt von mit einer durch gehenden Ebene ein, so ist ein Polynom vom Grad in den Variablen und . Weiter ist gerade in und somit ein Polynom in und . Also ist ein Polynom vom Grad .
Auf Grund der -Orthogonalität erfüllt die Folge der so konstruierten für
(4.8) |
Als Folge von Orthogonalpolynomen sind die aber mit der Normierung eindeutig bestimmt. □
Die Orthogonalpolynome mit (4.8) und geeigneter Normierung werden als Gegenbauerpolynome zum Gewicht bezeichnet. Diese, sowie die Funktionen , sind nach Konstruktion reellwertig. Da auf orthogonal ist, handelt es sich um die Einschrnkung eines homogenen Polynoms vom Grad .
Beweis. Die linke Seite ist zonal bezüglich des Punktes und damit ein skalares Vielfaches von . Weiter stimmen die linke und die rechte Seite für überein. □
4.4.4 Korollar (Laplace4 -Reihen). Es gilt
(4.10) |
als direkte Summe minimaler invarianter Unterräume der Dimension
(4.11) |
Auf jedem der Unterräume agiert irreduzibel.
Beweis. Die Räume sind nach Konstruktion paarweise orthogonal und da die Konstruktion von unabhängig vom Ausgangselement in ist, gilt . Weiterhin sind Polynome dicht in . □
4.4.5 Korollar. Angenommen, ein Operator erfüllt für alle . Dann existieren Zahlen , , so daß
(4.12) |
gilt.
Beweis. Anwendung des Schur-Lemmas 2.2.4. □
Beweis. Wir betrachten vorerst nur Polynome und den Spezialfall . Jedes solche ist eindeutig in der Form
(4.15) |
mit Koeffizienten und Gegenbauerpolynomen zum Gewicht darstellbar. Weiterhin gehört für und jedes zu und es folgt
(4.16) |
und ergibt sich aus (4.14). Stetige Fortsetzung liefert die Behauptung für alle stetigen . Weiter gilt
(4.17) |
und mit Linearität folgt die Behauptung für alle . □
4.4.8 Beispiel (Wahl von Orthogonalbasen in ). Die Wahl einer Basis von ist nicht kanonisch. Einerseits kann man für jedes eine Auswahl treffen, so daß die Funktionen
(4.19) |
ein vollständiges Orthogonalsystem von bilden. Da die Auswahl von abhängt, ist dies aber für praktische Rechnungen eher unhandlich. Andererseits gilt (modulo Nullmengen), der erste Faktor entspricht dabei für jedes dem Innenprodukt und der zweite bestimmt Koordinaten auf den Schnitten . Das kann man iterativ fortsetzen und man erhält eine iterative Konstruktion einer Orthogonalbasis.
Wir geben nur den ersten Schritt. Der Raum ist invariant unter den Rotationen der Gruppe und zerfällt damit in eine direkte Summe minimal invarianter Teilräume,
(4.20) |
für geeignete Funktionen . Bei richtiger Indizierung gilt und aufgrund von Schur’s Lemma gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion mit
(4.21) |
wobei als homogen vom Grad auf den fortgesetzt zu denken ist. Die auftretenden Funktionen sind dabei Polynome vom Grad in den Variablen und . Zur Konstruktion einer Orthogonalbasis durchlaufen die Funktionen eine Orthogonalbasis von . Insbesondere folgt
(4.22) |
und zusammen mit und für sind alle auftretenden Dimensionen berechenbar. Per Induktion folgt
(4.23) |
Für den speziellen Fall ist man dabei nach einem Schritt fertig, die Standardwahl einer solchen Basis ist in Kugelkoordinaten durch die Funktionen
(4.24) |
sowie
(4.25) |
für gegeben. Dabei bezeichnet das -te Legendrepolynom und assoziierte Legendrefunktionen.
4.4.9 Beispiel. Der Laplace–Beltrami-Operator auf , kommutiert mit der Aktion der Gruppe . Damit sind Kugelfunktionen Eigenfunktionen, es gilt
(4.26) |
Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen und impliziert unter anderem, daß die Funktionen harmonische Polynome auf dem sind.
4.4.10 Beispiel (Funk-Transformation). Für stetige Funktionen definieren wir die Funktransformation
(4.27) |
als Integrale über die Sphären versehen mit dem -dimensionalen Lebesguemaß. Diese bestimmt eine stetige Funktion . Die Funktransformation bildet alle ungeraden Funktionen auf Null ab, es stellt sich die Frage, ob man gerade Funktionen aus ihren Bildern rekonstruieren kann. Da mit der Aktion der Gruppe kommutiert, existieren Zahlen mit
(4.28) |
Diese sind durch spezielle Wahl von berechenbar, es gilt
(4.29) |
Damit sind gerade Funktionen aus ihrer Funktransformation rekonstruierbar. Im Falle gilt und die stetige Fortsetzung von bildet gerade Funktionen aus bijektiv auf gerade Sobolevfunktionen aus ab.