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Sei unitäre Darstellung der kompakten Gruppe in einem Hilbertraum . Ziel ist es wiederum, alle Operatoren zu beschreiben. Als motivierendes Beispiel betrachten wir wiederum linksinvariante Operatoren, also Operatoren, welche mit Linkstranslationen kommutieren.
4.3.1 Lemma. Sei beschränkt und gelte für alle die Kommutatoridentität . Dann existiert eine Folge von Matrizen mit
(4.1) |
sowie
(4.2) |
Beweis. Da die Matrixkoeffizienten eine Orthogonalbasis bilden, genügt es, komponentenweise auf anzuwenden. Sei dazu
(4.3) |
Dann gilt für jedes
und ist von unabhängig. Sei nun . Dann gilt nach Konstruktion (4.1) sowie . □
4.3.2. Für den allgemeinen Fall erinnern wir zuerst an das in Korollar 4.1.7 angegebene kanonische Modell unitärer Darstellungen. Vorerst etwas Notation. Im weiteren Verlauf der Vorlesung nutzen wir folgende (nicht ganz literaturkonforme) Variante des Hilbertraumtensorprodukts. Wir schreiben für zwei Hilberträume und
(4.5) |
aufgefaßt als Hilbertraum bezüglich des Spurinnenproduktes. Weiter sei zu und
(4.6) |
der zugeordnete Rang-1-Operator. Die Tensorprodukte sind dicht in . Ist einer der Räume endlichdimensional, so gilt . Für Operatoren und sei der Operator auf , welcher auf den Rang-1-Operatoren durch
(4.7) |
agiert.
Sei nun gegeben. Ordnet man dann jeder irreduziblen Darstellung die Vielfachheit zu, dann existiert ein bis auf unitäre Äquivalenz eindeutig bestimmter Isomorphismus
(4.8) |
Bezeichnet man den Isomorphismus mit und versteht als Vektor mit Komponenten aus , so gilt für jedes
(4.9) |
als Matrixmultiplikation. Zwei Darstellungen und sind genau dann unitär äquivalent, wenn ihre Vielfachheiten übereinstimmen, also gilt.