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4.2.1. Sei unitäre Darstellung. Dann werden die Funktionen
(4.1) |
als Matrixelemente der Darstellung bezeichnet. Ist eine fest gewählte Orthonormalbasis von , so ergibt sich die Darstellung von als Matrix bezüglich dieser Basis,
(4.2) |
Im folgenden bezeichne die lineare Hülle der Matrixkoeffizienten von .
4.2.2 Proposition. Die Menge hängt nur von der Äquivalenzklasse von ab. Sie ist invariant unter Links- und Rechtstranslationen und bildet ein (nicht notwendigerweise abgeschlossenes) zweiseitiges Ideal in der Faltungsalgebra .
Beweis. Ist und unitär, so gilt und somit . Weiter gilt
(4.3) |
und ist linksinvariant. Analog folgt und damit die Rechtsinvarianz. Die Idealeigenschaften folgen analog mit und . □
Es ist natürlich, die Räume als Teilräume des Hilbertraumes (versehen mit dem linksinvarianten Haarmaß der Gruppe ) zu verstehen.
4.2.3 Proposition (Schur-Orthogonalität). Seien und irreduzible unitäre Darstellungen der kompakten Gruppe in Hilberträumen und sowie die zugehörigen Räume der Matrixelemente. Dann gilt
(4.4) |
für eine Orthonormalbasis von . Insbesondere gilt .
Beweis. Sei und
(4.5) |
Dann gilt
(4.6) |
und somit . Zum Beweis der Schur-Orthogonalität nutzen wir eine spezielle Wahl von . Sei dazu und . Sei weiter , so daß für beliebige und
Angenommen, . Dann folgt aus dem Lemma von Schur und somit . Ist andererseits , so gilt für ein und damit für die spezielle Wahl , , und
(4.8) |
und es bleibt die Bestimmung der Konstanten . Dazu nutzen wir
(4.9) |
und erhalten
(4.10) |
Also bilden die Funktionen ein Orthonormalsystem. Da die eine Basis von bilden, gilt offensichtlich und das gefundene Orthonormalsystem ist vollständig. □
Die Räume sind sowohl unter Links- als auch unter Rechtstranslationen invariant. Die gerade konstruierte Orthonormalbasis erlaubt dafür eine einfache Basisdarstellung.
Sei im folgenden
(4.13) |
die Menge der (endlichen) Linearkombinationen von Matrixelementen. Die Funktionen aus kann man als Verallgemeinerung der trigonometrischen Polynome auf die Gruppe auffassen.
Beweis. Die Menge ist punktetrennend auf , da nach dem Satz von Gelfand–Raikov die irreduziblen Darstellungen von punktetrennend sind. Es genügt die Algebrastruktur nachzuweisen. Wir beginnen mit der komplexen Konjugation. Sei und
(4.14) |
eine irreduzible unitäre Darstellung dieser Klasse auf dem , so ist definiert durch für alle ebenso eine irreduzible unitäre Darstellung (Übung). Diese wird oft als kontragrediente Darstellung zu bezeichnet. Also ist zu jedem auch .
Seien nun zwei irreduzible Darstellungen und und Matrixkoeffizienten. Wir konstruieren eine Darstellung, so daß ein Matrixelement dieser Darstellung ist. Sei dazu
(4.15) |
und wir definieren uns auf eine Darstellung vermittels
(4.16) |
Diese ist unitär bezüglich der Hilbert–Schmidt-Norm auf dem Raum der Matrizen,
Weiter gilt mit der Matrix mit -Eintrag und allen anderen Einträgen
(4.18) |
Da die Darstellung selbst direkte Summe irreduzibler Darstellungen ist, handelt es sich bei um eine endliche Linearkombination von Matrixkoeffizienten irreduzibler Darstellungen und damit um ein Element von . Also ist eine -Unteralgebra von . Mit dem Satz von Stone–Weierstraß ist damit dicht in und somit auch in für alle . □
Beweis. [1] folgt direkt aus Lemma 4.2.5 in Kombination mit der Schur-Orthogonalität. [2] folgt analog, da die Projektion eines Elementes auf durch die Funktion
(4.23) |
gegeben ist. Die Plancherelidentität ergibt sich direkt aus der Orthogonalreihendarstellung. □
Beweis. [1] Da die Spur auf Kommutatoren verschwindet, gilt . Sei nun mit . Dann gilt
und damit wegen der Irreduzibilität von schon . Also gilt und da folgt die Behauptung. [2] folgt direkt aus [1] mit für . [3] Die Projektion auf berechnet sich wegen (4.23) zu
(4.27) |
Die matrixwertige Funktion auf den irreduziblen Darstellungen von wird als (nichtkommutative) Fouriertransformierte von bezeichnet. Die Fouriertransformation besitzt analoge Eigenschaften zu der auf abelschen Gruppen.
4.2.8 Proposition (Eigenschaften der Fouriertransformation).
4.2.9 Beispiel. Es bezeichne die Menge der Quaternionen,
(4.28) |
verstanden als -Algebra mit der Multiplikation definiert durch
(4.29) |
Mit der Involution und als Norm folgt die Existenz inverser Elemente für alle . Damit wird zu einem Schiefkörper. Wir bezeichnen weiter als Skalarteil von . Die -Sphäre
(4.30) |
wird damit zu einer (Lie-) Gruppe. Das Haarmaß dieser Gruppe ist durch das Oberflächenmaß der Sphäre gegeben. Um die irreduziblen Darstellungen dieser Gruppe zu bestimmen, betrachten wir Polynome aus eingeschränkt auf die Sphäre und die rechtsreguläre Darstellung von auf diesen,
(4.31) |
Da die Quaternionenmultiplikation -linear ist, ist für jedes homogene Polynom vom Grad auch homogen und von diesem Grad. Damit ergibt sich für jedes eine endlichdimensionale Darstellung auf den homogenen Polynomen vom Grad . Diese zerfällt in irreduzible Darstellungen, allerdings gibt es von jedem Grad bis auf Äquivalenz höchstens eine. Dazu beobachten wir, daß der Charakter einer auf homogenen Polynomen vom Grad agierenden irreduziblen Darstellung selbst ein homogenes Polynom vom Grad ist. Weiterhin sind Charaktere -orthogonal und erfüllen (4.24). Da zu genau dann ein mit existiert, wenn gilt, kann man die Charaktere als Funktionen von auffassen. Diese sind polynomial (als Polynom in den Koeffizienten von , also in und , mit bezüglich gerader Symmetrie). Es gilt also für die Charaktere , zweier irreduzibler Darstellungen von wegen (4.10)
(4.32) |
was zu einer eindeutig bestimmten Familie von Orthogonalpolynomen führt. Diese werden als Gegenbauerpolynome3 bezeichnet. Die Matrixkoeffizienten der zugehörigen Darstellungen heißen Kugelfunktionen. Da Polynome eingeschränkt auf dicht im sind, ist jede irreduzible Darstellung bis auf Äquivalenz von dieser Form.