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4.1.1. Sei eine zyklische unitäre Darstellung der kompakten Gruppe mit zyklischem Vektor , . Dann definiert
(4.1) |
ein neues, von abhängendes, Innenprodukt auf . Es gilt
(4.2) |
sowie genau dann, wenn für alle und damit genau dann, wenn . Bezüglich dieses Innenproduktes ist unitär,
Damit liefert der Satz von Fréchet–Riesz die Existenz eines positiven selbstadjungierten Operators mit
(4.4) |
für alle , also
(4.5) |
4.1.2 Lemma. Sei zyklische unitäre Darstellung der kompakten Gruppe mit zyklischem Vektor und definiert durch (4.5). Dann ist der Operator positiv, selbstadjungiert und kompakt und erfüllt und .
Beweis. Positivität und Selbstadjungiertheit ergeben sich direkt aus obiger Konstruktion. Ist , so gilt und damit . Weiterhin gilt
und damit . Es bleibt die Kompaktheit zu zeigen. Da kompakt ist, ist gleichmäßig stetig. Also existieren zu gegebenem disjunkte meßbare Mengen mit und Punkte mit für alle . Also gilt
für und damit für
(4.8) |
Da das Bild von endlichdimensional ist, ist kompakt und damit als Normgrenzwert kompakter Operatoren auch . □
Beweis. Sei definiert durch (4.5). Da gilt, impliziert Schur’s Lemma 2.2.4 die Existenz eines mit . Da aber kompakt ist, folgt die Kompaktheit der Identität und somit . □
4.1.4 Satz (vollständige Reduzibilität). Sei unitäre Darstellung einer kompakten Gruppe in einen Hilbertraum . Dann existiert eine Zerlegung
(4.9) |
des Hilbertraumes in endlichdimensionale -invariante Teilräume, auf welchen irreduzibel ist.
Beweis. Nach Satz 2.2.8 existiert eine Zerlegung von in eine direkte Summe von Teilräumen, auf welchen zyklisch ist. Es genügt damit zu zeigen, daß jede zyklische Darstellung in endlichdimensionale irreduzible zerfällt. Sei also im folgenden zyklisch auf und der in (4.5) definierte Operator. Dieser ist selbstadjungiert, kompakt und besitzt einen trivialen Nullraum. Damit existiert eine Zerlegung von in endlichdimensionale Eigenunterräume
(4.10) |
und zugehörige Eigenprojektoren . Also ist jeder der Unterräume invariant unter .
Da mit jedem invarianten Teilraum von auch sein orthogonales Komplement invariant ist, ist jeder dieser endlichdimensionalen invarianten Teilräume direkte Summe minimaler invarianter Teilräume. Auf diesen ist nach Definition irreduzibel. □
4.1.5. Wir führen einige Bezeichnungen ein. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen irreduzibler unitärer Darstellungen. Zu jeder irreduziblen Darstellung bezeichne die zugehörige Äquivalenzklasse und die Dimension der Darstellung.
Die Zerlegung in invariante Teilräume aus Satz 4.1.4 ist nicht eindeutig. Zu einer gegebenen unitären Darstellung und einem -invarianten Unterraum bezeichne
(4.11) |
die Einschränkung von auf den Teilraum sowie zu gegebenem
(4.12) |
der Aufspann aller Teilräume, auf denen zu äquivalent ist. Die Räume sind kanonisch und unabhängig von der im Satz 4.1.4 konstruierten Zerlegung. Das ergibt sich aus folgender Proposition. Der Beweis beruht auf Schur’s Lemma 2.2.5.
4.1.6 Proposition. Sei unitäre Darstellung der kompakten Gruppe und seien . Dann gilt
Beweis. [1] Seien und invariante Teilräume von mit und . Sei der Orthogonalprojektor auf . Dann ist und somit und damit wegen der Irreduzibilität und Nichtäquivalenz beider Darstellungen . Also folgt und somit nach Konstruktion . [2] ergibt sich direkt aus [1], da in einem der enthalten sein muß. □
4.1.7 Korollar. Sei unitäre Darstellung der kompakten Gruppe . Dann gilt
(4.13) |
wobei die Vielfachheit von in bezeichne und auf jedem der Summanden durch Matrixmultiplikation mit agiere.