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3.3.1. Wir wollen im folgenden eine etwas symmetrischere Notation nutzen und bezeichnen Charaktere mit . Für jedes ist die Auswertung ein Gruppencharakter auf . Mit dem Satz von Gelfand–Raikov ergibt sich damit eine Einbettung von in sein doppeltes Dual. Weiter nutzen wir für und die symmetrischere Schreibweise4
(3.1) |
Dabei sei stetig in beiden Komponenten und erfülle . Schreibt man ebenso additiv, so ist in beiden Komponenten additiv,
(3.2) |
und damit -bilinear. Jedem kann man durch
(3.3) |
eine Funktion auf zuordnen. Da die Transformation eine Gelfandtransformation ist, folgt und das Bild von ist eine dichte Teilmenge von . Zusammengefaßt gilt
Proposition. Die Fouriertransformation ist linear und beschränkt, hat ein dichtes Bild und erfüllt den Faltungssatz sowie für .
Im folgenden wollen wir uns mit der Inversion der Fouriertransformation beschäftigen.
Ist , so existiert nach dem Satz von Bochner ein positives Maß mit
(3.4) |
Es gibt genügend Funktionen positiven Typs in und es stellt sich somit die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Funktion und dem Maß auf . Weiterhin sei mit einem Haarmaß versehen.
3.3.2 Lemma (Fouriersche Inversionsformel). Sei von positivem Typ und bezeichne die durch (3.3) gegebene Fouriertransformation. Sei weiter das durch den Satz von Bochner gegebene Darstellungsmaß für . Dann gilt
(3.5) |
mit einer von unabhängigen Konstanten .
Beweis. Wir zeigen dies in zwei Schritten.
Schritt 1: Sei zuerst . Dann gilt . Sei dazu beliebig. Dann gilt mit Fubini
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und somit wegen der Kommutativität und Assoziativität der Faltung
(3.7) |
Da das Fourierbild von dicht in ist, folgt .
Schritt 2: Angenommen, und . Dann folgt aus Schritt 1, daß
(3.8) |
und damit unabhängig von der Wahl von und ist. Sei dieses Maß mit bezeichnet. Es genügt zu zeigen, daß invariant ist. Dies folgt aber wegen
für und einem geeignet gewählten mit in einer Umgebung von und unter Ausnutzung der Notation , für die
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Hilfsaussage: Zu jedem Kompaktum existiert ein mit auf . Dazu sei beliebig. Dann existiert ein mit . Dann ist aber von positivem Typ und es gilt . Da stetig ist, existiert also eine Umgebung von mit auf dieser Umgebung. Wählt man nun zu jedem eine solche Funktion, so liefert dies eine Überdeckung von mit einer entsprechenden endlichen Teilüberdeckung. Die Summe der endlich vielen der Teilüberdeckung zugeordneten Funktionen erfüllt das gewünschte. □
Wir normieren das Haarmaß auf im folgenden so, daß gilt und nennen das zu duale Haarmaß.
3.3.3. Um aus dem gerade gezeigten Lemma eine nutzbare Inversionsformel zu machen, führen wir noch einige Bezeichnungen ein. Zuerst sei
(3.11) |
die komplex-lineare Hülle von ; nach dem Satz von Bochner entspricht dies gerade den angegebenen Integralen für komplexe beschränkte Maße auf . Weiter ist schwach-* abgeschlossen in , besteht aus stetigen Funktionen und ist vollständig bezüglich lokalgleichmäßiger Konvergenz. Bezeichne nun , so ergibt sich aus Lemma 3.3.2
(3.12) |
für alle und punktweise für (fast) alle .
3.3.4 Satz (Plancherel). Die Fouriertransformation setzt sich von stetig zu einer unitären Abbildung fort.
Beweis. Sei . Dann ist und damit folgt
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und . Da dicht in ist, kann die Fouriertransformation stetig zu einer Isometrie fortgesetzt werden. Es bleibt zu zeigen, daß die Fortsetzung ein dichtes Bild besitzt. Sei dazu so gewählt, daß für alle . Damit folgt aber insbesondere für jedes
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Nun ist aber und damit ein Maß. Also liefert die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Bochner (die ohne Postivität des Maßes gilt!), daß dieses Maß das Nullmaß sein muß. Damit gilt fast überall und, da beliebig war, folgt . □
3.3.5 Beispiele. Der Satz von Plancherel definiert die Fouriertransformation auf (als stetige Fortsetzung) und liefert Identitäten sowie Inversionsformeln. Die bekantesten sind nachfolgend aufgelistet.
(3.15) |
gegeben und erfüllen
(3.16) |
Das duale Maß zum Lebesguemaß ist wiederum das Lebesguemaß. Um das zu sehen genügt es, eine Funktion und ihre Fouriertransformierte zu kennen. Gewöhnlich nutzt man dazu den Gaußkern
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(3.18) |
und dem Satz von Plancherel entspricht die Parsevalidentität
(3.19) |
Da das Haarmaß auf der kompakten Gruppe normiert ist, ist das dazu duale Maß gerade das Zählmaß. Das folgt aus Proposition 3.1.6.
(3.20) |
und die zugeordnete Parsevalidentität ist
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und die zugeordnete Parsevalidentität ist
(3.24) |
Dabei sei das Volumen einer Translationszelle des Gitters .
(3.25) |
(3.26) |
und damit ebenfalls die Plancherelidentität
(3.27) |
Das Haarmaß auf ist dabei so normiert, daß das Maß besitzt. Weiter ist die charakteristische Funktion der Menge ihre eigene Fouriertransformierte (Übung).
3.3.6 Beispiel. Mit der Plancherelidentität kann man die Spektralzerlegung der Translationsdarstellung auf berechnen. Es gilt
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für . Damit ist das zugeordnete Spektralmaß gerade durch
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gegeben.
Beweis. Seien und sei
(3.30) |
sowie
(3.31) |
Dann gilt und für beliebiges
(3.32) |
und somit gilt . Analog folgt und da gilt folgt auch . Nach Konstruktion gilt also und . Weiter ist die Menge der Funktionen dicht in für alle . □
3.3.8. Die Plancherelidentität angewandt auf und liefert
(3.33) |
Zusammen mit der Einbettung und der Tatsache, daß die daraus resultierenden Einbettung mit dem isometrischen Isomorphismus der äußeren -Räume zusammenfällt, ergibt sich, daß das Komplement von im doppelten Dual eine Nullmenge sein muß. Es gilt sogar noch mehr, beide Gruppen stimmen als Mengen und als topologische Räume überein:
Beweis. Der Satz von Gelfand–Raikov liefert eine Einbettung von in . In einem ersten Schritt zeigt man, daß diese ein Homöomorphismus ist.
Schritt 1. Sei eine Folge7 und . Dann sind die folgenden Aussagen
äquivalent.
Dabei impliziert (i) offenbar direkt (ii). Gilt (i) nicht, so existiert eine Umgebung von , so daß unendlich viele der nicht in liegen. Nach Lemma 2.4.6 (3) existiert weiterhin ein mit Träger in und . Also folgt und damit die Negation von (ii). Aussage (iii) ist eine Umformulierung von (ii) mit Lemma 3.3.2. Weiterhin ist das Fourierbild von dicht in . Da die Charaktere alle betragsmäßig gleich sind, impliziert (iii) für alle und somit die schwach-*-Konvergenz der Charaktere auf . Das bedeutet aber gerade in und somit (iv). Die Implikation von (iv) nach (iii) ist wiederum klar.
Schritt 2. Nach Schritt 1 ist das Bild von eine lokalkompakte Untergruppe. Wir zeigen, daß jede solche abgeschlossen ist. Nach Voraussetzung existiert eine Umgebung des neutralen Elements, so daß der Abschluß von in kompakt ist. Dieser ist dann aber auch in der Gruppe kompakt (und abgeschlossen). Angenommen, liegt im Abschluß von . Dann existiert mit in . Sei eine symmetrische Umgebung der Eins mit . Dann folgt . Also existiert . Da irgendwann zu gehört, folgt . Wegen und folgt und somit .
Schritt 3. Da das Bild von bei der Einbettung in abgeschlossen ist, ist das Komplement offen. Wäre das Komplement nichtleer, so gäbe es ein mit und . Aber dann folgt für alle
(3.34) |
und mit der Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Bochner auf und daraus Widerspruch zur Wahl von . □
3.3.10 Korollar (Fouriersche Inversionsformel II). Angenommen erfüllt . Dann gilt
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für fast alle (alle , falls stetig ist).
4Da für alle und alle gilt, ergibt sich auf der universellen Überlagerung von eindeutig durch stetiges Fortsetzen des komplexen Logarithmus. Auf ist eindeutig modulo (und für uns interessierende praktische Anwendungen ist es eindeutig).
5Lew Semjonowitsch Pontrjagin (Лев Семёнович Понтрягин), 1908–1988, bewies den Satz für kompakte abelsche Gruppen 6Egbert van Kampen, 1908–1942, verallgemeinerte den Satz auf lokalkompakte abelsche Gruppen7Analog für Netze, falls die Umgebungsbasis von nicht abzählbar ist.