] >
(1.1) |
erfüllt. Besitzt ein Einselement , so sagen wir sei eine Banachalgebra mit Eins und identifizieren dieses über die kanonische Einbettung
(1.2) |
mit dem Einselement in .
(1.3) |
für und .
(1.4) |
gilt.
1.1.2 Beispiele. Beispiele zu Banachalgebren sollten aus der Funktionalanalysis bekannt sein. Wichtig für uns sind
(1.5) |
mit der Faltung
(1.6) |
als Produkt und der Folge als Einselement;
(1.7) |
modulo Nullfunktionen mit der Faltung
(1.8) |
als Produkt;
(1.9) |
mit der punktweisen Multiplikation als Produkt und der konstanten Funktion als Einselement.
Dabei sind und , Hilbertraum, -Algebren. Die Faltungsalgebren werden mit den Involutionen bzw. zu Banach-*-Algebren, sind aber keine -Algebren.
1.1.3 Definition. Seien und Banachalgebren. Eine Abbildung mit
für und , wird als stetiger Algebrenhomomorphismus bezeichnet. Die Menge aller stetigen Algebrenhomomorphismen sei im folgenden mit bezeichnet. Ein Algebrenhomomorphismus von *-Algebren heißt *-Homomorphismus, falls
gilt. Die Menge der -Homomorphismen sei .
1.1.4 Beispiel. Einen ersten Zusammenhang zu Fourierreihen liefert folgendes Beispiel. Sei . Dann liefert die zugeordnete Fourierreihe
(1.10) |
eine -periodische stetige Funktion aus und die Abbildung ist ein Homomorphismus. Die Involution auf ist gerade so gewählt, daß dieser zum *-Homomorphismus wird.
1.1.5 Definition. Sei Banachalgebra mit Eins und . Dann bezeichnet die Menge
(1.11) |
die Resolventenmenge des Elementes und für
(1.12) |
die Resolvente des Elementes . Weiter bezeichent das Spektrum des Elementes in .
Die wichtigsten Eigenschaften der Resolvente sind in folgender Proposition zusammengefaßt. Für einen Beweis verweisen wir auf die Funktionalanalysis / überlassen ihn als Übung. Wir benötigen im folgenden nur die letzte Aussage.
(1.13) |
(1.14) |
sowie
(1.15) |
(1.16) |
holomorph.
(1.17) |
1.1.7 Korollar (Satz von Gelfand2–Mazur3). Angenommen, in einer Banachalgebra mit Eins ist jedes von Null verschiedene Element invertierbar. Dann gilt .
Beweis. Angenommen, . Dann existiert ein . Da für dieses und jedes aber gilt, folgt . Widerspruch. Also ist . □