] >
Abstrakte harmonische Analysis im Sinne dieses Skripts ist die Verbindung von Funktionalanalysis mit Invarianzeigenschaften und Symmetrien und sollte damit als Fortsetzung der Vorlesung Funktionalanalysis betrachtet werden.
Gegenstand der abstrakten harmonischen Analysis sind weitreichende Verallgemeinerungen der aus den Grundvorlesungen bekannten Theorie der Fourierreihen und der Fouriertransformation hin zu einer symmetriebasierten Strukturtheorie von Banachalgebren auf homogenen Räumen.
Zur Motivation einige Beispiele. Die Fouriertransformation auf
ist eng mit der additiven Struktur der reellen Zahlen verbunden. Es gilt der Faltungssatz
für die über die Addition definierte Faltung
Analoges gilt für periodische Funktionen und ihre Fourierreihen,
mit der entsprechenden Faltung auf . In beiden Fällen wurde die Gruppenstruktur in eine Integraltransformation für Funktionen / Distributionen übersetzt. Diese ist von Interesse, sobald man Problemstellungen mit der durch die Gruppenstruktur beschriebenen Symmetrie untersucht. Eine stark stetige Gruppe unitärer Operatoren ist eine stark stetige Abbildung in die Operatoren eines Hilbertraumes mit . Wiederum spielt die additive Struktur von eine Rolle und es wird sich zeigen, daß eine Darstellung als Fouriertransformierte
eines regulären projektionswertigen Spektralmaßes besitzt. Dieser als Satz von Stone bekannte Sachverhalt entspricht einem Spektralsatz für (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren und ist nur ein Beispiel eines abstrakten Resultats, welches sich direkt aus den zugrundeliegenden Symmetrien ergibt.
Andere Beispiele ergeben sich beim Studium von Situationen, welche invariant unter Rotationen sind. Hier spielen die Liegruppen und , sowie deren homogene Räume eine Rolle. Eine anders geartete Symmetrie ergibt sich bei Problemen der Signaltheorie. Signale sind Funktionen aus , für deren Studium neben den oben schon genutzten Translationen noch Modulationen, also Multiplikationen mit für gegebenes , von Bedeutung sind. Beides sind unitäre Operatoren des . Da Translationen und Modulationen nicht kommutieren, erzeugen sie zusammen eine nichtkommutative Gruppe unitärer Operatoren. Diese wird als Heisenberggruppe bezeichnet und ihre Struktur ist wichtig in der Zeit-Frequenz-Analysis (Phasenraumanalysis) sowie für Probleme der Quantenmechanik.