Vorlesung Harmonische Analysis

Gegenstand der Vorlesung ist eine Einführung in die abstrakte harmonische Analysis. Ziel ist dabei eine weitreichende Verallgemeinerung der aus den Grundvorlesungen bekannten Theorie der Fourierreihen und der Fouriertransformation hin zu einer Strukturtheorie von Banachalgebren über homogenen Räumen.

Struktur

Die Vorlesung wird sich inhaltlich an das Buch von G. Folland A Course in Abstract Harmonic Analysis anlehnen. Vorausgesetzt werden deshalb gute Kenntnisse der Funktionalanalysis. Aufbauend darauf werden behandelt

1. Spektraltheorie von Banachalgebren; das Spektrum einer Algebra; die Sätze von Gelfand-Naimark; Konstruktion von Spektralmaßen
2. Topologische Gruppen; die Existenz des Haarmaßes; unitäre Darstellung und zyklische Vektoren; Irreduzibilitätskriterien und Schur-Lemma; Funktionen positiven Typs; der Satz von Gelfand-Raikov
3. Lokalkompakte abelsche Gruppen; Pontrjagin-Dualität; Fourierreihen und Fouriertransformation; Spektralzerlegungen; Sätze von Stone und Floquet-Bloch
4. Kompakte Gruppen; der Satz von Peter-Weyl; Laplacereihen
5. Heisenberggruppen; der Satz von Stone-von-Neumann; Weylquantisierung und Phasenraum

Scheinbedingung: Aktive Mitarbeit in Vorlesungen und Übungen.

Skript: xhtml-Version (benötigt eventuell ein Plugin)

Übungsblätter: Blatt 1, Blatt 2, Blatt 3 (Themen), Blatt 4, Blatt 5, Blatt 6, Blatt 7, Blatt 8, Blatt 9 , Blatt 10

Literatur

Neben dem oben erwähnten Buch von Folland sind auch weitere Bücher von Interesse. Genutzt werden unter anderem

• G.B. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis
  { CRC Press 1995; ISBN 978-0849384905 }
• G.B. Folland, Harmonic Analysis in Phase Space
  { Princeton University Press 1989; ISBN 978-0691085289 }
• Y. Katznelson, Introduction to Harmonic Analysis
  { Cambridge University Press 2004; ISBN 978-0521543590 }
• S. Kantorovitz, Introduction to Modern Analysis
  { Oxford University Press 2003; ISBN 978-01992003154 }